第九章-4三重积分及其计算.ppt

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1、3/3/20233/3/20231 1其中其中 dv 称为体积元，其它术语与二重积分相同称为体积元，其它术语与二重积分相同若极限存在，则称函数可积若极限存在，则称函数可积若函数在闭区域上连续，若函数在闭区域上连续，则一定可积则一定可积由定义可知由定义可知三重积分与二重积分有着完全相同的性质三重积分与二重积分有着完全相同的性质三重积分的物理背景三重积分的物理背景以以 f(x,y,z)为体密度的空间物体的质为体密度的空间物体的质量量下面我们就借助于三重积分的物理背景来讨论下面我们就借助于三重积分的物理背景来讨论其计算方法。其计算方法。3/3/20233/3/20232 2二、在直角坐标系中的计算法

2、二、在直角坐标系中的计算法 如果我们用三族平面如果我们用三族平面 x =常数，常数，y=常数常数,z =常数常数对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体其体积为其体积为故在直角坐标系下的面积元为故在直角坐标系下的面积元为三重积分可写成三重积分可写成和二重积分类似，三重积分可化成三次积分进行计算和二重积分类似，三重积分可化成三次积分进行计算具体可分为先单后重和先重后单具体可分为先单后重和先重后单3/3/20233/3/20233 3先单后重先单后重3/3/20233/3/20234 4也称为先一后二，切条法（也称为先一后二，切条法（先先z次次y

3、后后x ）注意注意用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分。的三次积分。3/3/20233/3/20235 5化三次积分的步骤化三次积分的步骤投影，得平面区域投影，得平面区域穿越法定限，穿入点穿越法定限，穿入点下限，穿出点下限，穿出点上限上限对于二重积分，我们已经介绍过化为累次积分的方法对于二重积分，我们已经介绍过化为累次积分的方法例例1 将将化成三次积分化成三次积分其中其中 为长方体，各边界面平行于坐标面为长方体，各边界面平行于坐标面解解将将 投影到投影到xoy面得面得D，它是一个矩形它是一个矩形在在D内任意固定一点（内任意固定一点（x,

4、y)作平行于作平行于 z 轴的直线轴的直线交边界曲面于两点，其竖坐标为交边界曲面于两点，其竖坐标为 l 和和 m （l m)3/3/20233/3/20236 6oxyzmlabcdD。(x,y)例例2 计算计算其中其中 是三个坐标面与平面是三个坐标面与平面 x+y+z=1 所围成的区域所围成的区域3/3/20233/3/20237 7Dxyzo解解画出区域画出区域D3/3/20233/3/20238 8解解3/3/20233/3/20239 93/3/20233/3/202310103/3/20233/3/20231111 除了上面介绍的先单后重法外，利用先重后除了上面介绍的先单后重法外，利

5、用先重后单法或切片法也可将三重积分化成三次积分单法或切片法也可将三重积分化成三次积分先重后单，就是先求关于某两个变量的二重积分先重后单，就是先求关于某两个变量的二重积分再求关于另一个变量的定积分再求关于另一个变量的定积分若若 f(x,y,z)在在 上连续上连续介于两平行平面介于两平行平面 z=c1 ,z=c2 (c1 c2 )之间之间用任一平行且介于此两平面的平面去截用任一平行且介于此两平面的平面去截 得区域得区域则则先重后单先重后单3/3/20233/3/20231212 易见，若被积函数与易见，若被积函数与 x,y 无关，或二重积无关，或二重积分容易计算时，用截面法较为方便，分容易计算时，

6、用截面法较为方便，就是截面的面积，如截面为圆、椭圆、三角就是截面的面积，如截面为圆、椭圆、三角形、正方形等，面积较易计算形、正方形等，面积较易计算 尤其当尤其当 f(x,y,z)与与 x,y 无关时无关时3/3/20233/3/202313133/3/20233/3/20231414例例5 计算计算解解故故3/3/20233/3/20231515例例6解一解一解二解二 先单后重先单后重将将 投影到投影到 xoy 面得面得D先重后单先重后单3/3/20233/3/20231616（用极坐标，用对称性）（用极坐标，用对称性）此例介绍的是一种计算三重积分的方法，这此例介绍的是一种计算三重积分的方法，

7、这种方法也具有一定的普遍性，这就是我们将要介种方法也具有一定的普遍性，这就是我们将要介绍的柱坐标系下的计算法绍的柱坐标系下的计算法3/3/20233/3/20231717三、小结三、小结三重积分的定义和计算三重积分的定义和计算（计算时将三重积分化为三次积分）（计算时将三重积分化为三次积分）在直角坐标系下的体积元素在直角坐标系下的体积元素3/3/20233/3/20231818思考题思考题选择题选择题:3/3/20233/3/20231919练练 习习 题题3/3/20233/3/202320203/3/20233/3/202321213/3/20233/3/20232222练习题答案练习题答案3/3/20233/3/20232323精品课件精品课件！3/3/20233/3/20232424精品课件精品课件！3/3/20233/3/202325253/3/20233/3/20232626