第6讲向量的内积与正交化.ppt

《第6讲向量的内积与正交化.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第6讲向量的内积与正交化.ppt（12页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第第6节节 向量的内积与正交化向量的内积与正交化一一 向量的内积、长度及向量间的夹角向量的内积、长度及向量间的夹角定义定义 内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数。内积也称作点积点积或点乘点乘，并记作 x y。由于向量又可看作矩阵，借用矩阵记号，向量(列矩阵)x,y 的内积又可写成 (x,y)=xT y。内积具有下列性质(其中 x,y,z 为 n 维向量，k 为实数)：(1)(x,y)=(y,x);(2)(kx,y)=k(x,y);(3)(x+y,z)=(x,z)+(y,z);(4)(x,x)0，当且仅当 x=0 时,(x,x)=0。内积还满足施瓦茨施瓦茨(Schwarz)不等式不等式

2、定义：定义向量 的长度长度(范数范数,模模)为向量的长度具有下述性质：(1)非负性：当 x0 时，|x|0；当 x=0 时，|x|=0；(2)齐次性：|k x|=|k|x|；(3)施瓦茨不等式：|(x,y)|x|y|；(4)三角不等式：|x+y|x|+|y|。在二、三维空间中有向量夹角的概念，在更高维的向量空间中，夹角并没有直观的含义。但由施瓦茨不等式，当 x0,y0时，有称该角度为非零向量x与y的夹角夹角。当(x,y)=0时，x与y的夹角为 ,此时称向量x与y正交正交，记为 。由于零向量与任意同维向量的内积为0，所以规定规定零向零向量与任意同维向量正交。量与任意同维向量正交。二二 正交的向量

3、组及向量组的正交化正交的向量组及向量组的正交化 若一组向量两两正交，且不含0向量，则称该向量组为正交向量组。定理定理：正交的向量组必线性无关。例：例：在 n维向量空间中可以找到 n 个两两正交的向量。这是因为1)对任意的 有非零解，从而任取一非零解作为 则 正交；2)又因方程组 亦有非零解，从而可确定与 正交的 ；3)如此下去进一步确定出 ，即得 n 个两两正交的非零向量组。若现已有线性无关的向量组 ，也可以构建一个与之等价的且两两正交的向量组：以上过程称为施密特施密特(Schimidt)正交化过程正交化过程。进一步，可将 单位化（规范化），对施密特正交化过程，应注意向量组 与向量组 等价，其

4、中 t=1,r例：例：例：可得：定理定理：方阵 A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列(行)向量都是单位向量，且两两正交。三三 正交矩阵与正交变换正交矩阵与正交变换定义：如果 n 阶矩阵 A 满足 ATA=E则称 A 为正交矩阵正交矩阵，简称正交阵正交阵。对正交阵 A 按列自然分块，则有正交矩阵有如下性质：1)若 A 为正交矩阵，则|A|=1 或|A|=-1；2)A为正交矩阵，则 AT=A-1 也为正交矩阵；3)若A，B为同阶正交矩阵，则 AB 也为正交矩阵。定义：若 P 为正交矩阵，则线性变换 y=Px 称为正交变换。性质性质：正交变换保持线段长度不变。设 y=Px 为正交变换，则有由于任意两点的距离均不变，从而正交变换不改变图形的形状，这是正交变换的优良特性。