第3章-刚体力学基础.ppt

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1、刚体运动随处可见刚体运动随处可见,摩天轮摩天轮是一种具有水平转轴是一种具有水平转轴、能在铅垂平面内回能在铅垂平面内回转的装置。轮盘和座舱的运动各有什么样的特点转的装置。轮盘和座舱的运动各有什么样的特点?如何描述如何描述?第第第第3 3章章章章 刚体力学基础刚体力学基础刚体力学基础刚体力学基础“伦敦眼伦敦眼”（高（高135米）米）坐落在伦敦泰晤士河畔，是伦敦的地标坐落在伦敦泰晤士河畔，是伦敦的地标性建筑性建筑。一一.刚体刚体特殊的质点系，特殊的质点系，理想化模型理想化模型形状形状和和体积体积不变化不变化二二.自由度自由度确定物体的位置所需要的独立坐标数确定物体的位置所需要的独立坐标数 物体的自由

2、度数物体的自由度数sOi=1xyzO(x,y,z)i=3i=2xyzOi=3+2+1=6 当刚体的运动受到某些限制当刚体的运动受到某些限制 自由度减少自由度减少3.13.1 刚体运动概述刚体运动概述刚体运动概述刚体运动概述三三.刚体的平动刚体的平动刚体运动时，若在刚体内所作的刚体运动时，若在刚体内所作的任一条直线任一条直线都始终保持和自都始终保持和自身平行身平行 刚体平动刚体平动平动的特点平动的特点:刚体中各质点的运动情况相同刚体中各质点的运动情况相同.结论：结论：刚体的平动可归结为质点运动刚体的平动可归结为质点运动.一大型回转类一大型回转类“观览圆盘观览圆盘”如图所示。圆盘的半径如图所示。圆

3、盘的半径R=25 m，供人乘坐的吊箱高度，供人乘坐的吊箱高度L=2 m。若大圆盘绕水平轴均速转。若大圆盘绕水平轴均速转动，转速为动，转速为0.1 r/min。例例解解求求 吊箱底部吊箱底部A点的轨迹及点的轨迹及A点的速度和加速度的大小。点的速度和加速度的大小。吊箱吊箱平动平动讨论：讨论：.角坐标角坐标一一.描述描述 刚体绕定轴转动的角量刚体绕定轴转动的角量刚体的刚体的平动平动和和绕定轴转动绕定轴转动是刚体的是刚体的两种最简单最基本运动两种最简单最基本运动刚体内各点都绕同一直线刚体内各点都绕同一直线(转轴转轴)作作圆周圆周运动运动_刚体转动刚体转动转转轴轴固定不动固定不动 定轴转动定轴转动(运动

4、学方程运动学方程)ll 刚体定轴转动刚体定轴转动刚体定轴转动刚体定轴转动转转转转动动动动平平平平面面面面参考方向参考方向参考方向参考方向角速度角速度角加速度角加速度3.23.2 刚体定轴转动的运动学规律刚体定轴转动的运动学规律刚体定轴转动的运动学规律刚体定轴转动的运动学规律 二二.定轴转动刚体上各点的速度和加速度定轴转动刚体上各点的速度和加速度P,刚体刚体 参参考考方方向向zOr基点基点O O任意点都绕同一轴作圆周运动任意点都绕同一轴作圆周运动,且且 ，都相同都相同l l 矢量表示矢量表示矢量表示矢量表示 刚体转动的刚体转动的刚体转动的刚体转动的角速度矢量角速度矢量角速度矢量角速度矢量角加速度

5、矢量角加速度矢量角加速度矢量角加速度矢量 速度与角速度的矢量关系式速度与角速度的矢量关系式加速度与角加速度的矢量关系式加速度与角加速度的矢量关系式定轴定轴P,刚体刚体 参参考考方方向向zOr基点基点O 三三三三.刚体定轴转动运动学的两类问题刚体定轴转动运动学的两类问题刚体定轴转动运动学的两类问题刚体定轴转动运动学的两类问题uu 第一类问题第一类问题第一类问题第一类问题已知刚体转动运动方程已知刚体转动运动方程已知刚体转动运动方程已知刚体转动运动方程 =(t t)，求角速度求角速度求角速度求角速度 、角加速度、角加速度、角加速度、角加速度 -微分问题微分问题微分问题微分问题uu 第二类问题第二类问

6、题第二类问题第二类问题已知已知已知已知角速度角速度角速度角速度或或或或角加速度角加速度角加速度角加速度及初始条件，求及初始条件，求及初始条件，求及初始条件，求转动运动方程转动运动方程转动运动方程转动运动方程 =(t t)-积分问题积分问题积分问题积分问题l l 对于刚体绕定轴匀变速转动，对于刚体绕定轴匀变速转动，对于刚体绕定轴匀变速转动，对于刚体绕定轴匀变速转动，角加速度角加速度角加速度角加速度 =常量常量常量常量，有，有，有，有电动机转子作定轴转动，开始时它的角速度电动机转子作定轴转动，开始时它的角速度 0=0，经，经150s其转速达到其转速达到12000r/min，已知转子的角加速度，已知

7、转子的角加速度 与时间与时间t的平的平方成正比。方成正比。设设 （k为比例常量）为比例常量）分离变量并积分：分离变量并积分：在这段时间内，转子转过的圈数。在这段时间内，转子转过的圈数。例例解解求求当当t=150s，转子的角速度为，转子的角速度为有有3.3.1 3.3.1 力矩力矩力矩力矩力力改变刚体的转动状态改变刚体的转动状态 刚体获得角加速度刚体获得角加速度 力力 F 对对z 轴的力矩轴的力矩(力在垂直于轴的平面内力在垂直于轴的平面内)质点获得加速度质点获得加速度改变质点的运动状态改变质点的运动状态hA 力力 F 对对z 轴的力矩轴的力矩(力不在垂直于轴的平面内力不在垂直于轴的平面内)力矩取

8、决于力的大小、方力矩取决于力的大小、方向和作用点向和作用点在刚体的定轴转动中，力矩只在刚体的定轴转动中，力矩只有两个指向有两个指向（r F右手螺旋右手螺旋）3.33.3 刚体绕定轴转动定律刚体绕定轴转动定律刚体绕定轴转动定律刚体绕定轴转动定律结论：结论：(1)(1)力对点力对点的的力矩力矩O .力对轴力对轴的的力矩力矩(2)(2)力力对任意点的力矩，在对任意点的力矩，在通过该点通过该点的的任一轴上的任一轴上的投影投影，等于，等于该力该力对该轴对该轴 的力矩的力矩讨论讨论h A 对对对对P Pi i:两边同乘以两边同乘以两边同乘以两边同乘以 r ri i ：切向：切向：切向：切向：对刚体中所有质

9、点求和对刚体中所有质点求和对刚体中所有质点求和对刚体中所有质点求和法向：法向：法向：法向：.3.3.2 3.3.2 刚体绕定轴转动定律刚体绕定轴转动定律刚体绕定轴转动定律刚体绕定轴转动定律所以所以所以所以合外力矩合外力矩合外力矩合外力矩刚体的转动惯量刚体的转动惯量刚体的转动惯量刚体的转动惯量（刚体定轴转动定律）（刚体定轴转动定律）（刚体定轴转动定律）（刚体定轴转动定律）l l 刚体定轴转动定律是力矩的瞬时作用规律，也可以写成矢刚体定轴转动定律是力矩的瞬时作用规律，也可以写成矢刚体定轴转动定律是力矩的瞬时作用规律，也可以写成矢刚体定轴转动定律是力矩的瞬时作用规律，也可以写成矢 量关系式，即量关系

10、式，即量关系式，即量关系式，即l l 刚体定轴转动定律是刚体定轴转动动力学的基本方程，如刚体定轴转动定律是刚体定轴转动动力学的基本方程，如刚体定轴转动定律是刚体定轴转动动力学的基本方程，如刚体定轴转动定律是刚体定轴转动动力学的基本方程，如 同质点力学中的同质点力学中的同质点力学中的同质点力学中的 ；l l 刚体定轴转动定律中的刚体定轴转动定律中的刚体定轴转动定律中的刚体定轴转动定律中的MM、转动惯量、转动惯量、转动惯量、转动惯量J J和角加速度和角加速度和角加速度和角加速度 三个物三个物三个物三个物 理量都是相对于同一转轴而言的；理量都是相对于同一转轴而言的；理量都是相对于同一转轴而言的；理量

11、都是相对于同一转轴而言的；讨论讨论讨论讨论l l 刚体定轴转动定律中的刚体定轴转动定律中的刚体定轴转动定律中的刚体定轴转动定律中的MM是作用在刚体上的合外力矩；是作用在刚体上的合外力矩；是作用在刚体上的合外力矩；是作用在刚体上的合外力矩；力矩是使刚体改变转动状态的原因，是使刚体转动产生力矩是使刚体改变转动状态的原因，是使刚体转动产生力矩是使刚体改变转动状态的原因，是使刚体转动产生力矩是使刚体改变转动状态的原因，是使刚体转动产生角加速度的原因。角加速度的原因。角加速度的原因。角加速度的原因。3.3.3 3.3.3 转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量对质量连续分布的刚体对质量连续分布的刚体对质量连续

12、分布的刚体对质量连续分布的刚体对质量离散分布的质点系对质量离散分布的质点系对质量离散分布的质点系对质量离散分布的质点系u计算转动惯量的基本公式计算转动惯量的基本公式r质量线分布，质量线分布，质量线分布，质量线分布，为线密度为线密度为线密度为线密度()质量面分布，质量面分布，质量面分布，质量面分布，为面密度为面密度为面密度为面密度()质量体分布，质量体分布，质量体分布，质量体分布，为体密度为体密度为体密度为体密度()在细杆上在细杆上x 处取线元处取线元dx(1)取如图所示的坐标取如图所示的坐标细杆对过中点的垂直转轴的转动惯量为细杆对过中点的垂直转轴的转动惯量为试求质量为试求质量为m，长为，长为l

13、 的均质细杆对如下给定轴的转动惯量。的均质细杆对如下给定轴的转动惯量。(1)转轴垂直于杆并通过杆的中点；转轴垂直于杆并通过杆的中点；(2)转轴垂直于杆并通过杆的一端。转轴垂直于杆并通过杆的一端。解解(2)以细杆的一端以细杆的一端 为坐标原点，取如图所示的坐标为坐标原点，取如图所示的坐标例例线元的质量为线元的质量为则此时的转动惯量为：则此时的转动惯量为：圆环上各线质量元圆环上各线质量元dm到转轴的距到转轴的距离均为离均为R，所以有，所以有试求一质量为试求一质量为m，半径为，半径为R的均质细圆环对通过其中心且垂的均质细圆环对通过其中心且垂直于环面的转轴的转动惯量。直于环面的转轴的转动惯量。在圆环上

14、任取质量元在圆环上任取质量元dm，则，则解解例例 讨论讨论讨论讨论质量不均匀细圆环？质量不均匀细圆环？任取一半径为任取一半径为r，宽度，宽度dr的圆环。的圆环。看成是许多半径不同的同心圆环的集合：看成是许多半径不同的同心圆环的集合：试求半径为试求半径为R，质量为，质量为m的均质薄圆盘，对过盘心且垂直于的均质薄圆盘，对过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量。盘面的轴的转动惯量。解解例例圆环的质量为圆环的质量为:圆环的转动惯量为圆环的转动惯量为则整个圆盘的转动惯量为则整个圆盘的转动惯量为 讨论讨论讨论讨论质量分布对转动惯量的影响？质量分布对转动惯量的影响？(2)(2)刚体的总质量：刚体的总质量：刚体的总

15、质量：刚体的总质量：l l 影响转动惯量影响转动惯量影响转动惯量影响转动惯量J J大小的三个因素大小的三个因素大小的三个因素大小的三个因素(1)(1)刚体的转轴位置：刚体的转轴位置：刚体的转轴位置：刚体的转轴位置：同一刚体依不同的转轴而有不同的同一刚体依不同的转轴而有不同的同一刚体依不同的转轴而有不同的同一刚体依不同的转轴而有不同的J J ；刚体的转动惯量与其自身的总质量成正比；刚体的转动惯量与其自身的总质量成正比；刚体的转动惯量与其自身的总质量成正比；刚体的转动惯量与其自身的总质量成正比；(3)(3)质质质质量相对转轴的分布：量相对转轴的分布：量相对转轴的分布：量相对转轴的分布：转动惯量与其

16、形状、大小和密度分布有关。转动惯量与其形状、大小和密度分布有关。转动惯量与其形状、大小和密度分布有关。转动惯量与其形状、大小和密度分布有关。l l 转动惯量叠加定理转动惯量叠加定理转动惯量叠加定理转动惯量叠加定理 ROmzLCMz(1)平行轴定理平行轴定理:刚体绕任意轴的转动惯量刚体绕任意轴的转动惯量:刚体绕通过质心的轴刚体绕通过质心的轴:两轴间垂直距离两轴间垂直距离平行轴定理证明：平行轴定理证明：CzMzroriL mixO例例 均匀圆盘的转动惯量均匀圆盘的转动惯量ROm求求解解例例 均匀薄圆盘的转动惯量均匀薄圆盘的转动惯量 yx z 圆盘圆盘 R C m求求l (薄板薄板)垂直轴定理垂直轴

17、定理x,y轴在薄板内；轴在薄板内；z 轴垂直轴垂直薄板。薄板。zxy解解常常常常见见见见刚刚刚刚体体体体的的的的转转转转动动动动惯惯惯惯量量量量刚体刚体（质量为（质量为m）转轴位置转轴位置转动惯量转动惯量细棒细棒（棒长为（棒长为l）通过中心与棒垂直通过中心与棒垂直通过端点与棒垂直通过端点与棒垂直细圆环细圆环（半径为（半径为R）通过中心与环面垂直通过中心与环面垂直直径直径薄圆盘薄圆盘（半径为（半径为R）通过中心与盘面垂直通过中心与盘面垂直直径直径空心圆柱空心圆柱（内外半径为（内外半径为R1和和R2）对称轴对称轴球壳球壳（半径为（半径为R）中心轴中心轴球体球体（半径为（半径为R）中心轴中心轴3.3

18、.4 3.3.4 刚体定轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用(1)飞轮的角加速度飞轮的角加速度(2)如以重量如以重量P=98 N的物体挂在的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速绳端，试计算飞轮的角加速解解 (1)(2)两者区别两者区别例例求求一轻绳绕在半径一轻绳绕在半径 r=20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kgm2，飞轮与转轴间的摩擦，飞轮与转轴间的摩擦不计，不计，绳与滑轮间无相对滑动绳与滑轮间无相对滑动，(见图见图)滑块滑块滑块滑块A A、重物、重物、重物

19、、重物B B的质量分别为的质量分别为的质量分别为的质量分别为mm1 1和和和和mm2 2，用一轻绳相连，绳子跨用一轻绳相连，绳子跨用一轻绳相连，绳子跨用一轻绳相连，绳子跨过质量为过质量为过质量为过质量为mm3 3、半径为半径为半径为半径为r r的定滑轮的定滑轮的定滑轮的定滑轮C C（可视为均质圆盘）。滑块（可视为均质圆盘）。滑块（可视为均质圆盘）。滑块（可视为均质圆盘）。滑块A A与水平桌面间的滑动摩擦系数为与水平桌面间的滑动摩擦系数为与水平桌面间的滑动摩擦系数为与水平桌面间的滑动摩擦系数为 k k，滑轮与轴之间的摩擦可，滑轮与轴之间的摩擦可，滑轮与轴之间的摩擦可，滑轮与轴之间的摩擦可忽略不计

20、，不可伸缩的轻绳与滑轮之间无相对滑动。忽略不计，不可伸缩的轻绳与滑轮之间无相对滑动。忽略不计，不可伸缩的轻绳与滑轮之间无相对滑动。忽略不计，不可伸缩的轻绳与滑轮之间无相对滑动。的力矩：的力矩：的力矩：的力矩：受力分析受力分析受力分析受力分析的力矩：的力矩：的力矩：的力矩：例例解解l l力矩分析力矩分析力矩分析力矩分析,取如图所示的正方向取如图所示的正方向取如图所示的正方向取如图所示的正方向l l 列动力学方程列动力学方程列动力学方程列动力学方程若重物若重物若重物若重物B B下降时，滑块下降时，滑块下降时，滑块下降时，滑块A A的加速度的加速度的加速度的加速度a a及绳中的张力。及绳中的张力。及

21、绳中的张力。及绳中的张力。求求对滑轮对滑轮对滑轮对滑轮C C:对滑块对滑块对滑块对滑块A A：对重物对重物对重物对重物B B：且且且且求解以上方程，求解以上方程，求解以上方程，求解以上方程，得得得得 讨论：讨论：讨论：讨论：如图，一钟摆由长度为如图，一钟摆由长度为如图，一钟摆由长度为如图，一钟摆由长度为l l，质量为，质量为，质量为，质量为mm1 1的均质细杆和固定在其的均质细杆和固定在其的均质细杆和固定在其的均质细杆和固定在其一端的质量为一端的质量为一端的质量为一端的质量为mm2 2的摆球（可以看作质点）构成。钟摆可绕的摆球（可以看作质点）构成。钟摆可绕的摆球（可以看作质点）构成。钟摆可绕的

22、摆球（可以看作质点）构成。钟摆可绕过杆另一端的固定轴无摩擦地摆动，开始时把它放置于水过杆另一端的固定轴无摩擦地摆动，开始时把它放置于水过杆另一端的固定轴无摩擦地摆动，开始时把它放置于水过杆另一端的固定轴无摩擦地摆动，开始时把它放置于水平位置，并处于静止状态，然后让它自由下落。平位置，并处于静止状态，然后让它自由下落。平位置，并处于静止状态，然后让它自由下落。平位置，并处于静止状态，然后让它自由下落。受力分析如图受力分析如图受力分析如图受力分析如图钟摆所受的合外力矩钟摆所受的合外力矩钟摆所受的合外力矩钟摆所受的合外力矩（重力的力矩）（重力的力矩）（重力的力矩）（重力的力矩）例例解解求求放手后钟摆

23、摆到放手后钟摆摆到放手后钟摆摆到放手后钟摆摆到 角位置时的角加速度角位置时的角加速度角位置时的角加速度角位置时的角加速度 和角速度和角速度和角速度和角速度 。钟摆系统的总转动惯量钟摆系统的总转动惯量钟摆系统的总转动惯量钟摆系统的总转动惯量由刚体定轴转动定律，有由刚体定轴转动定律，有由刚体定轴转动定律，有由刚体定轴转动定律，有而而而而 匀质圆盘以匀质圆盘以 0 0 在水平桌面上转动在水平桌面上转动,受摩擦力而静止受摩擦力而静止,滑动摩擦系数为滑动摩擦系数为 .解解例例求求 到圆盘静止所需到圆盘静止所需时间时间取一质元取一质元摩擦力矩摩擦力矩R由转动定律由转动定律例例 一个刚体系统，如图所示，一个

24、刚体系统，如图所示，已知，转动惯量已知，转动惯量，现有一水平力，现有一水平力 F 作用于距轴为作用于距轴为 l 处处求求 轴对棒的作用力（也称轴反力）。轴对棒的作用力（也称轴反力）。解解 设轴对棒的作用力为设轴对棒的作用力为 N由质心运由质心运动定理动定理打击中心打击中心质心运动定理与转动定律联用质心运动定理与转动定律联用质点系质点系由转动定律由转动定律 讨论：讨论：讨论：讨论：3.43.4 刚体绕定轴转动的功能关系刚体绕定轴转动的功能关系刚体绕定轴转动的功能关系刚体绕定轴转动的功能关系主要内容：主要内容：1.刚体绕定轴转动的转动动能刚体绕定轴转动的转动动能2.力矩的功力矩的功3.刚体绕定轴转

25、动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理4.刚体的重力势能刚体的重力势能5.含有刚体的力学系统的机械能守恒定律含有刚体的力学系统的机械能守恒定律3.4.1 3.4.1 刚体绕定轴转动的转动动能刚体绕定轴转动的转动动能刚体绕定轴转动的转动动能刚体绕定轴转动的转动动能对刚体上所有质点的动能求和对刚体上所有质点的动能求和对刚体上所有质点的动能求和对刚体上所有质点的动能求和在刚体上任取一质点在刚体上任取一质点在刚体上任取一质点在刚体上任取一质点P Pi i质点质点质点质点P Pi i的动能为的动能为的动能为的动能为（刚体绕定轴转动的转动动能）（刚体绕定轴转动的转动动能）（刚体绕定轴转动的转动动能）（刚体绕

26、定轴转动的转动动能）讨论讨论讨论讨论l l 与质点的动能相比较，也可看出转动惯量与质点的动能相比较，也可看出转动惯量与质点的动能相比较，也可看出转动惯量与质点的动能相比较，也可看出转动惯量J J的地位对应于质的地位对应于质的地位对应于质的地位对应于质 点的质量点的质量点的质量点的质量mm。l l 应用：应用：应用：应用：稳速、储能稳速、储能稳速、储能稳速、储能 磁悬浮飞轮储能磁悬浮飞轮储能磁悬浮飞轮储能磁悬浮飞轮储能UPSUPS 3.4.2 3.4.2 力矩的功力矩的功力矩的功力矩的功O 功的定义功的定义力矩作功的力矩作功的微分形式微分形式对一有限过程对一有限过程若若 M=C(积分形式积分形式

27、 ）力的累积过程力的累积过程力矩的空间累积效应力矩的空间累积效应P(力矩的功就是力的功力矩的功就是力的功)讨论讨论(1)合力矩的功合力矩的功(2)内力矩作功之和为零。内力矩作功之和为零。(3)(3)力矩的功率力矩的功率力矩的功率力矩的功率设在合外力矩设在合外力矩设在合外力矩设在合外力矩MM的作用下的作用下的作用下的作用下3.4.3 3.4.3 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 合力矩功的效果合力矩功的效果（刚体绕定轴转动动能定理的刚体绕定轴转动动能定理的刚体绕定轴转动动能定理的刚体绕定轴转动动能定理的微分形式）微分形式）微分形式）

28、微分形式）当刚体角速度从当刚体角速度从当刚体角速度从当刚体角速度从t t t t1 1 1 1时刻的时刻的时刻的时刻的1 1改变为改变为改变为改变为t t t t2 2时刻的时刻的时刻的时刻的2 2时，合外力矩时，合外力矩时，合外力矩时，合外力矩对刚体所作的功为对刚体所作的功为对刚体所作的功为对刚体所作的功为（刚体绕定轴转动的动能定理）（刚体绕定轴转动的动能定理）（刚体绕定轴转动的动能定理）（刚体绕定轴转动的动能定理）合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体始、末两个

29、状始、末两个状始、末两个状始、末两个状态态态态转动动能的增量。转动动能的增量。转动动能的增量。转动动能的增量。若以若以若以若以h hC C表示质心到零势能面的高度，则表示质心到零势能面的高度，则表示质心到零势能面的高度，则表示质心到零势能面的高度，则刚体的重力势能与其质量全部集中在质心上的质点相同。刚体的重力势能与其质量全部集中在质心上的质点相同。刚体的重力势能与其质量全部集中在质心上的质点相同。刚体的重力势能与其质量全部集中在质心上的质点相同。以以以以xOyxOy 平面为重力势能零参考面平面为重力势能零参考面平面为重力势能零参考面平面为重力势能零参考面3.4.4 3.4.4 刚体的重力势能刚

30、体的重力势能刚体的重力势能刚体的重力势能对刚体中所有质点的势能求和对刚体中所有质点的势能求和对刚体中所有质点的势能求和对刚体中所有质点的势能求和 结论：结论：结论：结论：3.4.5 3.4.5 含有刚体的力学系统的机械能含有刚体的力学系统的机械能含有刚体的力学系统的机械能含有刚体的力学系统的机械能（机械能守恒定律）（机械能守恒定律）（机械能守恒定律）（机械能守恒定律）当当当当 A A外外外外 +A+A非保内非保内非保内非保内 =0 0 时，有时，有时，有时，有对含有刚体的力学系统，机械能守恒条件不变对含有刚体的力学系统，机械能守恒条件不变对含有刚体的力学系统，机械能守恒条件不变对含有刚体的力学

31、系统，机械能守恒条件不变定轴转动刚体定轴转动刚体定轴转动刚体定轴转动刚体的机械能的机械能的机械能的机械能:转动动能、重力势能转动动能、重力势能转动动能、重力势能转动动能、重力势能.例例 一根长为一根长为 l，质量为质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置面内转动，初始时它在水平位置解解由动能定理由动能定理求求 它由此下摆它由此下摆 角时的角时的 此题也可用机械能守恒定律方便求解此题也可用机械能守恒定律方便求解OlmCx例例 一根长为一根长为 l，质量为质量为 m 的均匀细直棒，可绕的均匀细直棒，可绕 水平光滑轴水平光滑轴O 在在

32、竖直平面内转动，初始时它在水平位置竖直平面内转动，初始时它在水平位置.求求 它由此下摆它由此下摆 角时的角时的 系统机械能守恒系统机械能守恒（棒、地球）。（棒、地球）。重力势能零点：重力势能零点：取细杆的水平位置取细杆的水平位置.则有则有由此解得由此解得解解图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体A装在转装在转动架上，转轴动架上，转轴Z上装一半径为上装一半径为r 的轻鼓轮，绳的一端缠绕的轻鼓轮，绳的一端缠绕在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为 m 的重物。的重物。重物下落时，由绳带动被测物体重物下落时，由绳带动

33、被测物体 A 绕绕 Z 轴转动。今测得轴转动。今测得重物由静止下落一段距离重物由静止下落一段距离 h，所用时间为，所用时间为t，例例解解 分析（机械能）：分析（机械能）：求求 物体物体A对对Z 轴的转动惯量轴的转动惯量Jz。设绳子。设绳子不可伸缩，绳子、各滑轮的质量及不可伸缩，绳子、各滑轮的质量及轮轴处的摩擦力矩忽略不计。轮轴处的摩擦力矩忽略不计。机械能守恒机械能守恒若滑轮质量不可忽略，怎样？若滑轮质量不可忽略，怎样？如图，系统由静止开始释放，释放时弹簧处于自然状态。如图，系统由静止开始释放，释放时弹簧处于自然状态。如图，系统由静止开始释放，释放时弹簧处于自然状态。如图，系统由静止开始释放，释

34、放时弹簧处于自然状态。已知滑轮半径为已知滑轮半径为已知滑轮半径为已知滑轮半径为 r r=0.3m0.3m ，转动惯量为转动惯量为转动惯量为转动惯量为 J J=0.5kgm=0.5kgm2 2。滑块。滑块。滑块。滑块的质量为的质量为的质量为的质量为 m m=2kg=2kg ，斜面倾角为，斜面倾角为，斜面倾角为，斜面倾角为 =37=370 0 ，弹簧的劲度系数，弹簧的劲度系数，弹簧的劲度系数，弹簧的劲度系数为为为为 k k=20Nm=20Nm-1-1 。滑块与斜面、滑轮与轴承之间的摩擦均可。滑块与斜面、滑轮与轴承之间的摩擦均可。滑块与斜面、滑轮与轴承之间的摩擦均可。滑块与斜面、滑轮与轴承之间的摩擦

35、均可忽略不计，轻绳不可伸长，与滑轮之间没有相对滑动。忽略不计，轻绳不可伸长，与滑轮之间没有相对滑动。忽略不计，轻绳不可伸长，与滑轮之间没有相对滑动。忽略不计，轻绳不可伸长，与滑轮之间没有相对滑动。(1)(1)当滑块沿斜面滑下当滑块沿斜面滑下当滑块沿斜面滑下当滑块沿斜面滑下 1.0m1.0m时，它的速率多大？时，它的速率多大？时，它的速率多大？时，它的速率多大？(2)(2)滑块沿斜面将下滑多远？滑块沿斜面将下滑多远？滑块沿斜面将下滑多远？滑块沿斜面将下滑多远？(3)(3)当滑块速率达到最大值时，它已滑下多远？当滑块速率达到最大值时，它已滑下多远？当滑块速率达到最大值时，它已滑下多远？当滑块速率达

36、到最大值时，它已滑下多远？例例解解求求 设滑块沿斜面下滑距离为设滑块沿斜面下滑距离为设滑块沿斜面下滑距离为设滑块沿斜面下滑距离为x x时的速率为时的速率为时的速率为时的速率为v v，则则则则取取取取弹簧、滑轮、滑块、地球为弹簧、滑轮、滑块、地球为弹簧、滑轮、滑块、地球为弹簧、滑轮、滑块、地球为研究系统，研究系统，研究系统，研究系统，系统机械能守恒。系统机械能守恒。系统机械能守恒。系统机械能守恒。取取取取滑块的初始位置滑块的初始位置滑块的初始位置滑块的初始位置为重力势能零点，为重力势能零点，为重力势能零点，为重力势能零点，弹簧自然长度点弹簧自然长度点弹簧自然长度点弹簧自然长度点为弹性势能零点。为

37、弹性势能零点。为弹性势能零点。为弹性势能零点。（参（参（参（参 数）数）数）数）r r=0.3m0.3m ，J J=0.5kgm=0.5kgm2 2，m m=2kg=2kg ，=37=370 0 ，k k=20Nm=20Nm-1-1任意位置时滑块的速率为任意位置时滑块的速率为任意位置时滑块的速率为任意位置时滑块的速率为(1)(1)当当当当x x=1.0m=1.0m时，速率为时，速率为时，速率为时，速率为(2)(2)当当当当x x=x xmaxmax时，滑块速率为零时，滑块速率为零时，滑块速率为零时，滑块速率为零(3)(3)当滑块速率达到最大值时，有当滑块速率达到最大值时，有当滑块速率达到最大值时，有当滑块速率达到最大值时，有则当则当则当则当x x=0.6 m=0.6 m 时，速率为时，速率为时，速率为时，速率为另解：另解：另解：另解：