第二章--随机变量及其分布.ppt

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1、 随机变量的引入与 例1 、例2 定义定义:设随机实验的样本空间为S=e，X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数,，X=X(e)为随机变量随机变量。说明说明 举例举例与示意图2.2 返回目录 1 随机变量随机变量 2 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布 定义定义：若随机变量的取值是有限个或可列个，则称之为离散型随机变量离散型随机变量。说明说明 要掌握离散型随机变量X的统计规律：知道X所有可能的取值;且知每一可能取值的概率。分布律分布律 定义：定义：设离散型随机变量X所有可能取值为xk,且 PX=xk=pk,k=1,2,（2.1）我们称（2.1）式为离散型随机变量X的分布律分布

2、律。由概率定义我们得到以下两性质：1.pk 0,k=1,2,（2.2）2.(2.3)分布律还可以用表格来表示：(2.4)例1 X x1,x2,xn,pK p1,pK,pn,离散型随机变量离散型随机变量 a.(01)分布分布 随机变量X只可能取0与1两个值，其分布律表格形式为：（0p1）表达式：PX=k=p k(1-p)1-k,k=0,1则称X服从参数为p的(01)分布分布重要重要或两点分布两点分布。（说明说明）X 0 1 p k 1-p p b.伯努利实验、二项分布伯努利实验、二项分布 说明 举例 一、一、伯努利实验伯努利实验 定义：定义：设实验结果只有两种可能 ，则称为伯努利实验伯努利实验。

3、将伯努利实验独立地重复地进行n次，则称这n次实验叫n重伯努利实验重伯努利实验。二、二、二项分布二项分布1.定义：定义：如果随机变量X的分布如下：P(X=k)=C nk p k q n-k,k=0,1,2,n.(2.3)其中0p0),(2.4)则称X服从参数为 的泊松分布泊松分布，记作：2.说明说明3.举例举例 返回目录 3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 定义：定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数：F(x)=PXx 称为X的分布函数。说明说明基本性质基本性质举例举例（例1，例2）返回目录 为了进一步用数学方法研究随机实验，我们把实验结果与实数对应起来，即将实验结果数量化，引入随机

4、变量的概念。随机实验的结果很大部分直接与数值有关,如：产品抽样中的次品数目，多次重复抛掷硬币的实验中出现正面次数等等。而有的实验结果与数值无直接关系，我们可以把它映射为数值来表示，如：硬币抛掷中出现正面用“0”来表示，出现反面用“1”来表示。例1：在一袋中装有编号分别为1，2，3的3只球，在袋中任取一只球，放回，再取一只球，记录它们的编号。考察两只球的编号之和。则实验的样本空间S=e=(i,j)i,j=1,2,3。i,j分别为第一，第二次取到球的号码。以X表示两球号码之和，得到样本空间的每一个样本点e，X都有一值与之对应，如图2-1。例2：抛掷一硬币3次，考查3次抛掷中，出现H的总次数，并记为

5、X。引用第一章2的表示法，可得样本空间与X的取值的对应关系，如下表：样本点样本点HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTTX的值的值 3 2 2 2 1 1 1 0此前例1，例2中的X均为随机变量。例3：某射手每次打中目标的概率为0.8，该射手不断向目标射击，直到打中目标为止，则此手所需射击次数X是一随机变量。例4：某车站每间隔5分钟有一公共汽车经过。若某人随机到达此站，则他等车的时间X是一随机变量。例5：某元件的可能寿命X 是一随机变量。例6：一新生婴儿的性别记为X，当是男婴取X为1，当为女婴时取X为0，则未出生前此婴儿的性别X为随机变量。实值单值函数的映射不是指单射，而

6、是相对于多值函数的一般映射。严格定义中“集合e|X(e)x,任 xR有确定的概率”应加入定义。但实际中不满足此情形很少见，固未加入定义。本书中，一般大写：X，Y，Z,W，表随机变量，小写：x,y,z,w，表实数。更多随机变量取值随实验结果而定，在实验之前不能预知它的结果,且其取值都有一定的概率,固与一般函数有本质区别。L为一实数集，X在L上取值记为XL,它表示事件B=e|X(e)L,即B是S中使所有样本点e所组成的事件，此时有PX L=P(B)=Pe|X(e)L。如：在例2中取X为2，记为X=2，它表事件B=HHT,HTH,THH,PX=2=P(B)=PHHT,HTH,THH=3/8。例例1：

7、设一汽车在开往目的地的道路上要经四组信号灯,每组信号灯以1/2的 概率允许或禁止汽车通过。以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯组数（设各组信号灯的工作相互独立），求X的分布律。分析：分析：在第 i(1,2,3,4)组信号灯前停下时，通过的信灯数为 i-1且此事件发生的概率为(1/2)i-11/2 (因子(1/2)i-1表示前 i-1个允许通过的概率，因子1/2表示被第 i 个禁止通过的概率)，同理，能到达目的地的概率为(1/2)4。（解答）解：解：以p表示每组信号灯禁止汽车通过的概率，X所有可能取值为0，1，2，3，4。得X的分布律为：PX=k=(1-p)k p,k=0,1,2,3,PX=

8、4=(1-p)4。用表格表示如下：代入p=1/2可得结果，可验证此结果满足分布律两性质。X 0 1 2 3 4 pk p (1-p)p (1-p)2 p (1-p)3 p (1-p)4 说明：说明：任一实验，若结果只有两个即S=e1,e2,则总可定义：X=X(e)=，显然X服从(01)分布。比如新生 婴儿是男还是女，明天是否下雨，抛一硬币是否出现正面等。说明：说明：记P()=p(0p1),则P()=1-p。n重伯努利实验定义中“重复”是指每次实验中 发生的概率不变。“独立”是指各次实验互不影响。记第i次实验结果为ci,ci为 ，i=1,2,3,n.由独立得到：Pc1,c2,cn=p(ci)p(

9、c2)p(cn).(2.5)n重伯努利实验是一个很重要的数学模型，有二项分布，几何分布，巴斯卡分布等常见分布以它为模型。举例举例 抛掷一个硬币观察正面反面，就是一个伯努利实验。若抛掷n次就是n重伯努利实验。抛掷一颗骰子，可得到6个点数，但是若我们考察结果是否为“1点”与“非1点”，则就是一个伯努利实验。若抛掷n次就是n重伯努利实验。在一批产品中，若做n次放回抽样，观察得到的产品是否为次品,则为n重伯努利实验;若做n次不放回抽样，由于各次实验不相互“独立”，故不是n重伯努利实验。但是若此批产品的数目很大，抽出的数目相对很小，则此时不放回抽样可看作放回抽样,如此n次不放回抽样也是n重伯努利实验 例

10、例2：按规定，某种型号的电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品。已知某一大批产品的一级品率为0.2，现在从中随机地抽取20只。问20只元件中恰有k只（k=0,1,，20）为一级品的概率市多少。分析：分析：这是不放回抽样。由于元件总数很大，而抽取的元件数量相对很少，检查20只元件相当于做20重伯努利实验。记X表抽取的20只元件中一级品的个数，则：（解答）解：解：以X表示20只元件中一级品的个数。则 。将结果列表如下：PX=0=0.012 PX=1=0.058 PX=2=0.137 PX=3=0.205 PX=4=0.218 PX=5=0.175 PX=6=0.109 PX=7=0.055

11、P X=8=0.022 P X=9=0.007 PX=10=0.02 PX=k 0.001,当 k 11时 例例3：某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中两次的概率。分析：分析：400次射击可看成400重伯努利实验。击中的次数 。“至少击中2次”等价于“击中次数不是0或1次”。（解答）结论：结论：a.决不可轻视小概率事件。b.当所求事件的概率很小或很大时，可以根据实际推断原理来判断实验的假设。解：解：设击中次数为X，则 ，即：所求事件概率：PX2=1PX=0 PX=1 =1(0.98)400 400(0.02)(0.98)399 =0.9972分析分析:对第

12、一种方法，“不能及时维修”等价于“4人中任1人负责的20台中有2台或2台以上的设备发生故障”。对第二种方法，“不能及时维修”等价于“80台中有4台或4台以上的设备发生故障”。（解答）例例4：设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率是0.01，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4个人维护，每人负责20台；其二是由3人共同维护80台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维护的概率大小。解答：解答：对第一种方法.以 Ai(i=1,2,3,4,)表示“第i人维护的20台机器中发生故障不能及时维修”。则第一人维护的20台中同时刻发生故障的台数则发生

13、故障不能及时维修的概率为（转下页）对第二种方法.80台中同时刻发生故障的设备台数则发生故障不能及时维修的概率为 比较第一、第二种方法。第二种方法虽然平均个人任务更重，工作效率却更高。分析：分析：由分布函数定义，可根据随机变量X的分布律求出分布函数。再由随机变量落在任一区间上的概率与其分布函数的关系 如(3.1)易求解。（解答）（结论）例例1：设随机变量X的分布律为求X的分布函数，并求PX1/2，P3/2X 5/2，P2 X 3。X -1 2 3 pk 1/4 1/2 1/4解：解：X仅在x=-1,2,3三点的概率0，根据分布函数定义及概率的有限可加性：即：F(x)的图形如图25，是一条阶梯形曲

14、线，有x=-1,2,3三个跳跃点，跳跃值分别为1/4，1/2，1/4。（转下页）由分布函数定义：PX 1/2=F(1/2)=1/4,P3/2X 5/2=F(5/2)F(3/2)=3/4 1/4=1/2,P2X 3=F(3)F(2)PX=2 =1 3/4 1/2=3/4.结论：结论：对已知离散型随机变量X的分布律：P X=xk=pk,k=1,2,由概率的可列可加性可得出X的分布函数：F(x)=P X x=(3.2)它在x=x(k=1,2,)处有跳跃点，跳跃值为P X=xk=pk。分析：分析：由题目已知可得:1.随机变量X的实际取值范围为0，2，故F(x)=0,x0；F(x)=1,x2；2.p0X

15、 x=kx2,其中 k待定且 0 x 2；3.p0X 2=1（必然事件概率为1）。由 1,2,3 三点易求X的分布函数。（解答）（结论）例例2：一个靶子是半径为2米的圆盘，射击中靶上任一个同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量X的分布函数。解：解：由于随机变量X的实际取值范围为0，2，当x0 时,F(x)=0；当x2时，F(x)=1；当0 x 2时，P0 X x=kx2,其中 k待定。由于X必然落在0，2 上，必然事件概率为1，所以p0X 2=1=22k,故k=1/4。此时F(x)=PX x=PX 0+P0 X x=F(0)+1/4

16、 x2=1/4 x2。综上所述：F(x)图形是一个连续曲线如图26所示。F(x)还可写成以下形式：其中 F(x)恰是非负函数f(t)在区间(-,x 上积分，此时，我们称X为连续型随机变量。基本性质：基本性质：1.F(x)是一个增函数.2.0 F(x)1且3.F(x+0)=F(x),即F(x)是右连续的.证明性质 1，2，3 分别要利用概率的：1.非负性，2.规范性，3.可列可加性.故分布函数的三个基本性质正好对应于概率的三个基本性质。证明：证明：分布函数F(x)表示事件Xx(即X的取值落在区间(,x上)的概率。对于任意实数 x1,x2(x1 x2)，有 p x1X x2=p X x2 p X

17、x1 =F(x2)F(x1)。(3.1)已知X的分布函数，就能知道X落在任一区间(x1,x2上概率，分布函数完整描述了随机变量的统计规律性。通过分布函数，我们能更进一步利用数学分析方法研究随机变量。二项分布的数学背景 在n重伯努利实验中，p为事件A在每次实验中发生的概率，定义随机变量X为：“n重伯努利实验中事件A发生的次数”，此时X所满足的分布律就是二项分布。公式 中参数 n,p 分别表示伯努利实验的重数，事件A发生的概率。当n=1时，二项分布退化为 PX=k=p k(1-p)1-k,k=0,1.成为（01）分布。（转下页）二项分布分表达式中C nk p k q n-k 刚好是二项式(p+q)

18、n 的展开式中出现的p k那一项，故称X服从参数 n,p 为的二项分布。X所有可能取值为0，1，2，n。显然 1.PX=k0，k=0,1,2,n;二项分布满足分布律两性质。求PX=k，即是求n重伯努利实验中事件A发生k次的概率。事件A发生k次的实验的可能方式有 种，它们是两两互不相容的，且每种发生的概率相同。由于各次实验相互独立,故每种方式发生的概率为:pk(1 p)n-k。记q=1p，即有：为泊松 分布参数且必大于0；X所有可能取值为0，1，2，；易证 1.PX=k0，k=0,1,2,n;满足分布律性质。k=0时PX=k取最大值;当 以k与PX=k 分别作为横纵轴的图形呈“峰”形。现已发现许

19、多随机现象服从泊松分布。这情形特别集中在两个领域中。一是社会生活中：如电话交换台中收到的呼叫次数，公共汽车站到来的乘客数，某地区某时间间隔内发生的交通事故等等。二是物理学领域：放射性物质经过某区域的质点数，热电子的发射，显微镜下某区域的微生物或血球数目等等。因此，泊松分布在运筹学，管理科学，物理学等方面有重要地位。back 4 连续型 随机变量及其概率概布 1.定义2.概率密度的性质3.注意4.几种重要的连续型随机变量 1）均匀分布 2）指数分布 3）正态分布 定义：定义：若对随机变量的分布函数 F(x)，存在非负数 f(x)，使对于任意实数x有 (4.1)则称X为连续型随机变量。其中 f(x

20、)称为的概率密度函数。返回定义：定义：若对随机变量的分布函数 F(x)，存在非负数 f(x)，使对于任意实数x有 (4.1)则称X为连续型随机变量连续型随机变量。其中 f(x)称为的概率密度函数概率密度函数。返回解解:(1),(2),(3)注意：注意：1 改变f(x)的个别值并不影响F(x)的取值。2 Px1Xx2 表示在区间(x1,x2 上曲线 y=f(x)之下的曲边梯形的面积.3 PxXx+x f(x)x4 PX=a=0,其中a为任意实数。5 PaXb=PaXb=PaXb.返回（一）均匀分布 1 定义：连续型随机变量X具有概率密度 则称X在 (a,b)上服从均匀分布，记为：XU(a,b).

21、几种重要的连续型随机变量 2 分布函数 F(x)=3 性质性质：X落在(a,b)中任意等长度的子区间上的等可 能性相同。对任意L，若acc+L b,即在长度为L的子区间（c,c+L）上有Pc0,有PXs+t|Xs=PXt 证明：PXs+t|Xs =PXs+t,Xs/PXs =PXs+t/PXs =1-F(s+t)/1-F(s)=PXt.1 定义：设连续型随机变量X的概率密度为 (4.1)其中 为常数，则称X服从参数为 的正态分布或高斯分布，记为XN()。2 分布函数 F(X)=（三）正态分布正态分布返回(1)f(x)0 (2)(3)曲线关于x=对称。3 正态分布概率密度的性质 (4)当x=取得

22、最大值 (5)改变 对图形的影响。（制图）4 标准正态分布 若XN(),当 则称X服从标准正态分布。5 定理 若X N（），则Z=Z N（0，1）。6 标准正态分布的性质及应用 （3）3 法则（4）标准正态分布的 分位点 （定义）返回目录 例3 将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器整定在 液体的温度（以 计）是一个随机变量，且X N（d,0.5)（1）若d=90,求X小于89的概率。（2）若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0 .99,问至少为多少？求解 （1）P X 89 (2)返回定义：设XN（0，1），若 满足条件 则称点为标准正态分布的 分位点。（图形）0.0010

23、.0050.010.0250.050.103.0902.5762.3271.9601.6451.282例如：5 5 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布1.离散型随机变量的函数分布2.连续型随机变量的函数概率分布3.定理 离散型随机变量的函数分布离散型随机变量的函数分布 已知随机变量X的分布律，求Y=g(X)(g（.）为连续函数的分布律)一般若已知随机变量X的分布律为 则Y=g(X)的分布律为 X x1 xn Pk P1 Pn Y g(x1)g(xn)Pk P1 Pn 例题1：设随机变量X具有以下的分布律，试求Y=（X-1）2的分布律。X -1 0 1 2Pk 0.2 0.3 0.1 0.

24、4解：注：此处若有相等的项需合并 Y 0 1 4P 0.1 0.7 0.2Y=(X-1)24 1 0 1Pk0.20.30.10.4返 回例题2 设随机变量具有概率密度 求随机变量Y=2X+8的概率密度.例题3 设随机变量具有概率密度 求Y=X2的概率密度？连续型随机变量的函数概率分布返 回定理：定理：（证明）例题4 设随机变量 ，试证 明X的线性函数Y=aX+b也服从正态分布。例题5 设电压V=Asin ，其中A是一个已知的且有 ，试求电压V的概率密度。思考题：设电压V=Asin ，其中A是一个已知的正常数并有 ，求电压V的概率密度。注：此时V=Asin 在 上不是单调函数，不能再使用上述方法。（解）返回目录 解：X的概率密度为由y=ax+b得x=则由定理得Y=aX+b的概率密度为（下一张）返回返回返回返回返 回定义返 回（下一页）返 回