第五章大数定律及中心极限定理.ppt

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1、1 切比雪夫不等式切比雪夫不等式 一个随机一个随机变变量离差平方的数学期望就是它的方量离差平方的数学期望就是它的方差差,而方差又是用来描述随机而方差又是用来描述随机变变量取量取值值的分散程度的的分散程度的.下面我下面我们们研究随机研究随机变变量的离差与方差之量的离差与方差之间间的关系式的关系式.定理定理1 1(Chebyshev)不等式不等式 设设随机随机变变量量X的期望的期望E(X)及方差及方差D(X)存在存在,则对则对任意小正数任意小正数0,有有:或：或：【例例5-1】设设X是抛是抛掷掷一枚骰子所出一枚骰子所出现现的点数的点数,若若给给定定=2,2.5，实际计实际计算算P|X-E(X)|,

2、并并验证验证切比雪切比雪夫不等式成立夫不等式成立.解解 X的分布律为的分布律为 所以所以 当当=2时时，当当=2.5时时，可见，切比雪夫不等式成立可见，切比雪夫不等式成立【例例5-2】在供暖的季节在供暖的季节,住房的平均温度为住房的平均温度为20度度,标准差为标准差为2度度,试估计住房温度与平均温度试估计住房温度与平均温度的偏差的绝对值小于的偏差的绝对值小于4度的概率的下界度的概率的下界.解解2大数定律大数定律 在第一章中曾在第一章中曾经经提到提到过过，事件，事件发发生的生的频频率具率具有有稳稳定性，即随着定性，即随着试验试验次数增多，事件次数增多，事件发发生的生的频频率将逐率将逐渐稳渐稳定于

3、一个确定的常数定于一个确定的常数值值附近附近.另外，人另外，人们们在在实实践中践中还认识还认识到大量到大量测测量量值值的算的算术术平均平均值值也也具有具有稳稳定性，即平均定性，即平均结结果的果的稳稳定性定性.大数定律以大数定律以严严格的数学形式表示格的数学形式表示证证明了在一定的条件下，大量明了在一定的条件下，大量重复出重复出现现的随机的随机现现象呈象呈现现的的统计规统计规律性，即律性，即频频率率的的稳稳定性与平均定性与平均结结果的果的稳稳定性定性.定理定理1 1 设设m是是n次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A发生的次发生的次数数,p是事件是事件A的概率的概率,则对任意正数则对任意正数

4、,有有2.1贝努利大数定律贝努利大数定律（不（不证证）贝努利大数定律说明贝努利大数定律说明,在大量试验同一事在大量试验同一事件件A时时,事件事件A的概率是的概率是A的频率的稳定值的频率的稳定值.2.2 独立同分布随机变量序列的独立同分布随机变量序列的 切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律 称随机称随机变变量序列量序列X1,X2,Xn,是相互独立的是相互独立的,若若对对任意的任意的n1,X1,X2,Xn是相互独立的是相互独立的.此此时时,若若所有的所有的Xi又具有相同的分布又具有相同的分布,则则称称X1,X2,Xn,是是独立同分布随机独立同分布随机变变量序列量序列.先介先介绍绍独立同分布随机独立同分

5、布随机变变量序列的概念量序列的概念.这这一定理一定理说说明：明：经过经过算算术术平均后得到的随平均后得到的随机机变变量在量在统计统计上上具有一种稳定性，它的取值将具有一种稳定性，它的取值将比较紧密聚集在它的期望附近。这正是大数定比较紧密聚集在它的期望附近。这正是大数定律的含义。在概率论中，大数定律是随机现象律的含义。在概率论中，大数定律是随机现象的统计稳定性的深刻描述；同时，也是数理统的统计稳定性的深刻描述；同时，也是数理统计的重要理论基础。计的重要理论基础。定理定理2 2设设X1,X2,Xn,是独立同分布随机是独立同分布随机变变量序量序列列E（Xi）=,D（Xi）=2（i=1,2）均存在）均

6、存在,则则对对于任意于任意0有有（不（不证证）3 中心极限定理中心极限定理3.1独立同分布序列的中心极限定理独立同分布序列的中心极限定理定理定理1 1 设设X1,X2,Xn,是是独立同分布的随机变独立同分布的随机变量序列，且具有相同数学期望和量序列，且具有相同数学期望和方差方差E(Xi)=,D(Xi)=2(i=1,2,).记随机变量记随机变量的分布函数为的分布函数为Fn（x），则对于任意实数），则对于任意实数x，有，有 其中其中（x）为标准正态分布函数）为标准正态分布函数.的分布近似于正的分布近似于正态态分布分布N（n,n2）.我我们们知道知道,n个独立同分布的正个独立同分布的正态态随机随机变

7、变量之和服从正量之和服从正态态分分布布.中心极限定理中心极限定理进进一步告一步告诉诉我我们们.由这一定理知道下列结论：由这一定理知道下列结论：（1）当）当n充分大时充分大时,独立同分布的随机变量之和独立同分布的随机变量之和 不不论论X1,X2,Xn,独立同服从什么分布，当独立同服从什么分布，当n充分大充分大时时，其和，其和Zn近似服从正近似服从正态态分布分布.（2）考）考虑虑X1,X2,Xn,的平均的平均值值,有有 由此可由此可见见，当当n充分大时，独立同分布随机变量的平均值充分大时，独立同分布随机变量的平均值 的分布近似于正的分布近似于正态态分布分布 因此因此 的分布函数即是上述的的分布函数

8、即是上述的Fn(x),因而有因而有 它的标准化随机变量为它的标准化随机变量为,即即为为上述上述Yn.【例例5-3】对敌对敌人的防御地段人的防御地段进进行行100次射次射击击,每次每次射射击时击时命中目命中目标标的炮的炮弹弹数是一个随机数是一个随机变变量量,其数学其数学期望期望为为2,均方差均方差为为1.5,求在求在100次射次射击击中有中有180颗颗到到220颗颗炮炮弹弹命中目命中目标标的概率的概率.解解 设设Xi为为第第i次射次射击时击时命中目命中目标标的炮的炮弹弹数数(i=1,2,100),则则 为为100次射次射击击中命中目中命中目标标的的炮炮弹总弹总数数,而且而且X1,X2,X100同

9、分布且相互独立同分布且相互独立.由定理由定理1可知可知,随机变量随机变量 近似服从近似服从标准正态分布标准正态分布,故有故有例例5-4某种电器元件的寿命服从均值为某种电器元件的寿命服从均值为100（单位：（单位：小时）的指数分布小时）的指数分布.现随机抽出现随机抽出16只，设它们的寿命只，设它们的寿命是相互独立的，求这是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于只元件的寿命的总和大于1 920小时的概率小时的概率.解解 设设第第i只只电电器元件的寿命器元件的寿命为为Xi=(i=1,2,16),E(Xi)=100,D(Xi)=1002=10000,则则 是是这这16只元件的寿命的只元件的寿命的总

10、总和和.E(Y)=10016=1 600,D(Y)=160 000，则所求概率为：则所求概率为：3.2 棣莫弗棣莫弗(De Moivre)-拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)中心极限定理中心极限定理下面介下面介绍绍另一个中心极限定理，它是定理另一个中心极限定理，它是定理1的特殊情况的特殊情况 定理定理2 2（棣莫弗拉普拉斯中心极限定理）（棣莫弗拉普拉斯中心极限定理）设设随机随机变变量量Zn是是n次独立重复次独立重复试验试验中事件中事件A发发生的次数生的次数,p是事是事件件A发发生的概率生的概率,则对则对于任意于任意实实数数x 其中其中q=1-p,（x）为标准正态分布函数）为标准正态分布函数.由

11、棣莫弗由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理得到下列结论：拉普拉斯中心极限定理得到下列结论：（1）在）在贝贝努利努利试验试验中中,若事件若事件A发发生的概率生的概率为为p.又又设设Zn为为n次独立重复次独立重复试验试验中事件中事件A发发生的生的频频数数,则则当当n充分大充分大时时,Zn近似服从正近似服从正态态分布分布N（np,npq）.（2）在）在贝贝努利努利试验试验中中,若事件中若事件中A发发生的概率生的概率为为p,为为n次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A发生的频率，则当发生的频率，则当n充分大时充分大时,近似服从正态分布近似服从正态分布解法解法1 设设X为为10000个新生儿中男孩个数个新

12、生儿中男孩个数 则则X服从服从B(n,p)，其中，其中n=10000，p=0.515 由德莫弗由德莫弗-拉普拉斯中心极限定理，所求概率为拉普拉斯中心极限定理，所求概率为 设设X为为10000个新生儿中男孩个数个新生儿中男孩个数 则女孩不少于男孩的概率为则女孩不少于男孩的概率为 解法解法2【例例5-6】设设某某单单位内部有位内部有1000台台电话电话分机，每台分机，每台分机有分机有5%的的时间时间使用外使用外线线通通话话，假定各个分机，假定各个分机是否使用外是否使用外线线是相互独立的，是相互独立的，该单该单位位总总机至少需机至少需要安装多少条外要安装多少条外线线，才能以，才能以95%以上的概率保

13、以上的概率保证证每台分机需要使用外每台分机需要使用外线时线时不被占用？不被占用？解：把观察每一台分机是否使用外线作为一次试解：把观察每一台分机是否使用外线作为一次试 验，则各次试验相互独立，设验，则各次试验相互独立，设X为为1000台分台分 机中同时使用外线的分机数，则机中同时使用外线的分机数，则 XB（1000，0.05），），np=10000.05=50,根据题意，设根据题意，设N为满足条件的最小正整数为满足条件的最小正整数 由于由于（-7.255）0，故有，故有查标准正态分布表得查标准正态分布表得（1.65）=0.9505，故有故有 由此由此 N61.37 即即该单该单位位总总机至少需要

14、机至少需要62条外条外线线,才能以才能以95%以上以上的概率保的概率保证证每台分机在使用外每台分机在使用外线时线时不被占用不被占用.【例例5-7】一加法器同时收到一加法器同时收到20个噪声电压个噪声电压Vk(k=1,2,20),它们相互独立且都在区间它们相互独立且都在区间0,10上上服从均匀分布服从均匀分布,噪声电压总和噪声电压总和V=V1+V2+V20,求求PV105的近似值的近似值.解解:易知易知E(Vk)=5,D(Vk)=100/12,由独立同分布的中心由独立同分布的中心极限定理知极限定理知近似服从标准正态分布近似服从标准正态分布N(0,1),于是于是【例例5-85-8】在一家保险公司里

15、有在一家保险公司里有1000010000个人参加寿个人参加寿命保险，每人每年付命保险，每人每年付1212元保险费。在一年内一个元保险费。在一年内一个人死亡的概率为人死亡的概率为0.6%0.6%，死亡时其家属可向保险公，死亡时其家属可向保险公司领得司领得10001000元，问：元，问：(1)(1)保险公司亏本的概率有多大？保险公司亏本的概率有多大？(2)(2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润其他条件不变，为使保险公司一年的利润不少于不少于6000060000元，赔偿金至多可设为多少？元，赔偿金至多可设为多少？解解 设设X表示一年内死亡的人数，则表示一年内死亡的人数，则XB(n,p),其中其中

16、n=10000，p=0.6%，设设Y表示保险公司一年的利润，表示保险公司一年的利润，Y=10000 12-1000X于是于是由中心极限定理由中心极限定理 (1)PY0=P10000 12-1000X0=1 PX 120 1 (7.75)=0;（2）设赔偿金为设赔偿金为a元，则令元，则令由中心极限定理由中心极限定理,上式等价于上式等价于小结本章考核要求小结本章考核要求 （一）知道切比雪夫不等式（一）知道切比雪夫不等式或或 并且会用切比雪夫不等式估并且会用切比雪夫不等式估计计事件事件|X-EX|或或|X-EX|的概率的概率.（二）知道（二）知道贝贝努利大数定律努利大数定律 其中其中n是是试验试验次

17、数次数,m是是A发发生次数生次数,p是是A的概率的概率,它它说说明明试验试验次数很多次数很多时时,频频率近似于概率率近似于概率.（三）知道切比雪夫不等式大数定律（三）知道切比雪夫不等式大数定律 它说明在大量试验中它说明在大量试验中,随机变量随机变量取值稳定在期望附近取值稳定在期望附近.（四）知道独立同分布中心极限定理（四）知道独立同分布中心极限定理记记YnFn（x），），则则有有它它说说明当明当n很大很大时时,独立同分布的随机独立同分布的随机变变量之和量之和近似服从正近似服从正态态N（n,n2）所以，无）所以，无论论n个独立个独立同分布的同分布的X1,X2,Xn服从何种分布，服从何种分布，n很大很大时时，X1+X2+Xn却近似正却近似正态态N（n,n2）.若若（五）知道棣莫弗（五）知道棣莫弗拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理若若Zn表示表示n次独立重复事件次独立重复事件发发生次数，即生次数，即ZnB（n,p）,则则有有即即Zn近似正近似正态态N（np,np（1-p）2）.并会用并会用中心极限定理中心极限定理计计算算简单应简单应用用问题问题