经济数学在极坐标系下二重积分的计算.ppt

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1、一、直系与极系下的二重积分关系一、直系与极系下的二重积分关系（1）面积元素变换为极系下：）面积元素变换为极系下：（2）二重积分转换公式：）二重积分转换公式：（3）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下的二重积分需要进行的二重积分需要进行“三换三换”：二、二、极坐标系下的二重积分化为二次积分极坐标系下的二重积分化为二次积分用用两条过极点的射线夹平面区域，两条过极点的射线夹平面区域，由两射线的倾角得到其上下限由两射线的倾角得到其上下限任意作过极点的半射线与平面区域相交，任意作过极点的半射线与平面区域相交，由穿进点，穿出点的极径得到其上下限由穿进点，穿

2、出点的极径得到其上下限将直系下的二重积分化为极系后，极系下的将直系下的二重积分化为极系后，极系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算二重积分仍然需要化为二次积分来计算（1）区域如图）区域如图1具体地（如图）具体地（如图）图图1（2）区域如图）区域如图2图图2（3）区域如图）区域如图3图图3（4）区域如图）区域如图4图图4 如果积分区域如果积分区域D为圆、半圆、圆环、扇形域等，为圆、半圆、圆环、扇形域等，或被积函数或被积函数f(x2+y2)形式，利用极坐标常能简化计算形式，利用极坐标常能简化计算.通常出现下面两类问题：通常出现下面两类问题：1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二将直角坐

3、标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分，需依下列步骤进行：重积分，需依下列步骤进行：(1)将 代入被积函数.(2)将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式，确定相应的积分限.(3)将面积元dxdy换为 .2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分步骤与二重积分步骤与1相似，只需依反方向进行相似，只需依反方向进行.解解解解例例3 计算二重积分计算二重积分其中其中是由曲线是由曲线所围成的平面区域所围成的平面区域.解解以以1 1为半径的圆域为半径的圆域,积分区域积分区域是以点是以点(1,0)为圆心为圆心,如图如图.其边界曲线的极坐标方程为其边界曲线的极坐标方程为于是区域于是区域的积分限为的积分限为所以所以所以所以解解解解解解解解由由得交点得交点故所求面积故所求面积解解在极系在极系下：下：（如图）（如图）xzyo2aD(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形:若积分区域为则 若积分区域为则三、三、小结小结则极坐标系情形极坐标系情形:若积分区域为(2)计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便根据域边界定坐标被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式充分利用对称性应用换元公式练练 习习 题题练习题答案练习题答案