选修4-5课件：第1讲2绝对值不等式的解法2.ppt

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1、2绝对值不等式的解法1.1.含绝对值的不等式含绝对值的不等式|x|a|x|a|x|a的解集的解集.不等式不等式 a0a0a=0a=0a0a0|x|a|x|a|x|a_x|-ax|-ax xaa x|xx|xa a或或x x-a-axxR|xR|x00R R2.|ax+b|c(c0)2.|ax+b|c(c0)和和|ax+b|c(cax+b|c(c0)0)型不等式的解法型不等式的解法.(1)|ax+b|c(1)|ax+b|c_._.(2)|ax+b|c(2)|ax+b|c_._.-cax+bccax+bcax+bcax+bc或或ax+b-cax+b-c3.|x-a|+|x-b|c3.|x-a|+|

2、x-b|c和和|x-a|+|x-b|cx-a|+|x-b|c型不等式的解法型不等式的解法.(1)(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想,理解绝对值的几何意义理解绝对值的几何意义,给绝对值不等式以准确的几何解释给绝对值不等式以准确的几何解释.(2)(2)以绝对值的零点为分界点以绝对值的零点为分界点,将数轴分为几个区间将数轴分为几个区间,利用利用“零零点分段法点分段法”求解，体现分类讨论的思想求解，体现分类讨论的思想.确定各个绝对值符号确定各个绝对值符号内多项式的内多项式的_性，进而去掉绝对值符号性，进而去掉绝对值符号.(3)(3)通

3、过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想的思想.正确求出函数的正确求出函数的_并画出函数图象并画出函数图象(有时需要考查有时需要考查函数的增减性函数的增减性)是关键是关键.正、负正、负零点零点1.|x|1.|x|的几何意义是什么？的几何意义是什么？提示：提示：|x|x|表示数轴上的点表示数轴上的点x x到原点到原点O O的距离的距离.2.2.不等式不等式|x|x1|1|2 2的解集是的解集是_._.【解析解析】由由|x|x1|1|2 2得得2 2x x1 12 2，解得，解得1 1x x3.3.答案：答案：(1,3)1,3)3.3

4、.不等式不等式|4|43x|23x|2的解集是的解集是_._.【解析解析】|4|43x|23x|2|3x|3x4|24|23x3x442 2或或3x3x4242，解得，解得 或或x2.x2.答案：答案：解含绝对值不等式的核心任务解含绝对值不等式的核心任务解含绝对值不等式的核心任务是：去绝对值，将不等式恒等解含绝对值不等式的核心任务是：去绝对值，将不等式恒等变形为不含绝对值的常规不等式，然后利用已经掌握的解题变形为不含绝对值的常规不等式，然后利用已经掌握的解题方法求解；注意不可盲目平方去绝对值符号方法求解；注意不可盲目平方去绝对值符号.类型类型 一一简单绝对值不等式的解法简单绝对值不等式的解法

5、【典型例题典型例题】1.1.不等式不等式 的解集是的解集是_._.2 2不等式不等式 的解集为的解集为_._.【解题探究解题探究】1.1.不等式不等式 的几何意义是什么的几何意义是什么?2.2.不等式不等式 等价于什么等价于什么?探究提示：探究提示：1.1.可化为可化为|x|x4|2,4|2,它的几何意义是数轴上到坐标它的几何意义是数轴上到坐标为为4 4的点的距离不大于的点的距离不大于2 2的点的集合的点的集合.2.2.【解析解析】1.1.解得解得2x6.2x6.答案：答案：2,62,62.2.所以原不等式的解集是所以原不等式的解集是(2,0).2,0).答案：答案：(-2,0)(-2,0)【

6、拓展提升拓展提升】绝对值不等式的常见类型及其解法绝对值不等式的常见类型及其解法(1)(1)形如形如|f(xf(x)|)|)|a(aRa(aR)型不等式型不等式.此类不等式的简单解法是等价转化法，即此类不等式的简单解法是等价转化法，即当当a0a0时，时，|f(xf(x)|a)|a-a-af(xf(x)a.)|a af(xf(x)a)a或或f(xf(x)-a.)-a.当当a=0a=0时，时，|f(xf(x)|a)|a)|af(x)0.f(x)0.当当a0a0时，时，|f(xf(x)|a)|)|a af(xf(x)有意义即可有意义即可.(2)(2)形如形如|f(xf(x)|)|g(xg(x)|)|型

7、不等式型不等式.此类问题的简单解法是利用平方法，即此类问题的简单解法是利用平方法，即|f(xf(x)|)|g(xg(x)|)|f(xf(x)2 2 g(xg(x)2 2f(x)+g(xf(x)+g(x)f(x)-g(xf(x)-g(x)0.0.(3)(3)形如形如|f(xf(x)|)|)|g(xg(x)型不等式型不等式.此类不等式的简单解法是等价转化法，即此类不等式的简单解法是等价转化法，即|f(xf(x)|)|g(x)g(x)-g(x-g(x)f(xf(x)|g(x)g(x)f(xf(x)g(xg(x)或或f(xf(x)-)-g(xg(x)()(其中其中g(xg(x)可正也可正也可负可负).

8、).若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂.(4)(4)形如形如a|a|f(xf(x)|)|a0)a0)型不等式型不等式.此类问题的简单解法是利用等价转化法，即此类问题的简单解法是利用等价转化法，即a|a|f(xf(x)|b(0a)|b(0ab)b)a a f(xf(x)b)b或或-b-bf(xf(x)-a.)-a.(5)(5)形如形如|f(xf(x)|)|)|f(xf(x)型不等式型不等式.此类问题的简单解法是利用绝对值的定义，即此类问题的简单解法是利用绝对值的定义，即|f(xf(x)|)|)|f(x)f(x)f(xf(x)0.)0)0)型不等型

9、不等式的解法式的解法(1)|x-a|+|x-b|c,|x-a|+|x-b|c(c0)(1)|x-a|+|x-b|c,|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式有三种解型不等式有三种解法：分区间法：分区间(分类分类)讨论法讨论法,图象法和几何法图象法和几何法.分区间讨论的方分区间讨论的方法具有普遍性法具有普遍性,但较麻烦但较麻烦;几何法和图象法直观几何法和图象法直观,但只适用于数但只适用于数据较简单的情况据较简单的情况.(2)(2)分区间分区间(分类分类)讨论的关键在于对绝对值代数意义的理解讨论的关键在于对绝对值代数意义的理解,即即 也即也即xR.xxR.x为非负数时为非负数时,x x为为x;xx

10、;x为负为负数时数时,x x为为-x,-x,即即x x的相反数的相反数.(3)(3)x-ax-a+x-bx-bc,c,x-ax-a+x-bx-bc(cc(c0)0)型不等式型不等式的图象解法和画出函数的图象解法和画出函数f(xf(x)=)=x-ax-a+x-bx-b-c-c的图象是密的图象是密切相关的切相关的,其图象是折线其图象是折线,正确地画出其图象的关键是写出正确地画出其图象的关键是写出f(xf(x)的分段表达式的分段表达式.不妨设不妨设ab,ab,于是于是这种图象法的关键是合理构造函数这种图象法的关键是合理构造函数,正确画出函数的图象正确画出函数的图象,求出函数的零点求出函数的零点,体现

11、了函数与方程结合、数形结合的思想体现了函数与方程结合、数形结合的思想.【变式训练变式训练】解不等式：解不等式：|x|x1|+|21|+|2x|x|2.2.【解析解析】原不等式可等价转化为原不等式可等价转化为 或或 或或解不等式组得解不等式组得 或或所以原不等式的解集为所以原不等式的解集为 或或 其他类型的绝对值不等式其他类型的绝对值不等式【典型例题典型例题】1.1.不等式不等式2x-32x-33x+13x+1的解集是的解集是_._.2.2.设函数设函数f(xf(x)=|x-1|+|x-a|,)=|x-1|+|x-a|,如果对任意如果对任意xR,f(x)2,xR,f(x)2,则则a a的的取值范

12、围是取值范围是_._.3.3.解不等式：解不等式：|x|x2 23|3|2x.2x.【解析解析】1.|2x-3|3x+1,1.|2x-3|0,3x+10,原不等式转化为原不等式转化为-(3x+1)2x-33x+1.(3x+1)2x-33x+1.以上不等式等价于以上不等式等价于所以原不等式的解集为所以原不等式的解集为答案：答案：2.2.若若a=1,a=1,则则f(xf(x)=2|x-1|,)=2|x-1|,不满足题设条件不满足题设条件.若若a1,a1,a1,则则 f(xf(x)的最小值为的最小值为a-1.a-1.综上可知，所求综上可知，所求a a的取值范围是的取值范围是(-,-1(-,-13,+

13、).3,+).答案：答案：(-,-1(-,-13,+)3,+)3.3.因为因为|x|x2 23|3|2x2x，所以，所以x x0 0，所以所以|x|x2 23|3|2x2x2x2xx x2 23 32x2x解不等式组得解不等式组得【拓展提升拓展提升】含参数的不等式问题分类及解题策略含参数的不等式问题分类及解题策略(1)(1)一类要对参数进行讨论，另一类对参数并没有进行讨论，一类要对参数进行讨论，另一类对参数并没有进行讨论，而是去绝对值时对变量进行讨论，得到两个不等式组，最后而是去绝对值时对变量进行讨论，得到两个不等式组，最后把两不等式组的解集合并，即得该不等式的解集把两不等式组的解集合并，即得

14、该不等式的解集.(2)(2)解绝对值不等式的基本思想是想方设法去掉绝对值符号，解绝对值不等式的基本思想是想方设法去掉绝对值符号，去绝对值符号的常用手段有以下几种：去绝对值符号的常用手段有以下几种：形如形如f(xf(x)g(xg(x)或或f(xf(x)g(xg(x)的求解方法：的求解方法：()()根据实数的绝对值的意义分类讨论，根据实数的绝对值的意义分类讨论，即即()()根据公式：根据公式：|x|a|x|a-ax-ax0);a0);f(xf(x)g(x)g(x)-g(x-g(x)f(xf(x)|x|a ax xaa或或x-x g(x)g(x)f(xf(x)g(xg(x)或或f(xf(x)-)0,

15、a+10,即即a-1a-1时，时，6 6分分原不等式可变为原不等式可变为-a-12x+3a+1.-a-12x+3-1a-1时，原不等式的解集为时，原不等式的解集为 当当a-1a-1时，原不等式的解集为时，原不等式的解集为.1212分分【失分警示失分警示】【防范措施防范措施】含参数的绝对值不等式含参数的绝对值不等式解含参数的绝对值不等式的题型，容易忽略对参数的符号进解含参数的绝对值不等式的题型，容易忽略对参数的符号进行讨论，如本例需对行讨论，如本例需对a+1a+1的符号进行讨论，否则易导致错误结的符号进行讨论，否则易导致错误结果果.【类题试解类题试解】解关于解关于x x的不等式：的不等式：|x|

16、x2 2-a|a.-a|0a0时，原不等式等价于时，原不等式等价于-ax-ax2 2-aa-aa0 x0 x2 22a,0a0时，原不等式的解集为时，原不等式的解集为1.1.不等式不等式|x|x1|1|1 1的解集为的解集为()()A.(0,2)B.(A.(0,2)B.(,2),2)C.(1,2)D.C.(1,2)D.0,2)0,2)【解析解析】选选A.|xA.|x1|1|1 11 1x x1 11 10 0 x x2.2.2.2.不等式不等式|2x-log|2x-log2 2x|2x|+|logx|2x|+|log2 2x|x|的解为的解为()()A.1x2 B.0 x1A.1x2 B.0

17、x1 1 D.xD.x22【解析解析】选选C.C.由由|a-|a-b|a|+|bb|a|+|b|,|,其中等号成立的条件为：其中等号成立的条件为：ab0,ab0,所以原不等式成立，即所以原不等式成立，即2x2xloglog2 2x0,x0,所以所以x1.x1.3.3.的解集是的解集是()()A.xA.x|3 3x x55B.xB.x|3 3x x5 5且且x2x2C.xC.x|3x53x5D.xD.x|3x53x5且且x2x2【解析解析】选选B.B.因为分母因为分母|x|x2|2|0 0且且x2,x2,所以原不等式等价于所以原不等式等价于|x|x1|1|4 40,0,即即|x|x1|1|4,4

18、,所以所以4 4x x1 14,4,即即3 3x x5.5.4.4.不等式不等式|x+3|x+3|2|2x|x|的解集是的解集是_._.【解析解析】由由|x+3|x+3|2|2x|x|得得(x+3)(x+3)2 2(2(2x)x)2 2,所以所以10 x10 x5,5,即即答案：答案：5.5.若不等式若不等式|ax+2|ax+2|6 6的解集为的解集为(1,2)1,2)，则实数，则实数a=_.a=_.【解析解析】由由|ax+2|ax+2|6 6得得8 8axax4,4,当当a a0 0时，时，因为不等式的解集为因为不等式的解集为(1,2)1,2)，所以，所以 解得解得 两值相矛盾两值相矛盾.当当a a0 0时，时，则则 解得解得a=a=4.4.综上得，综上得，a=a=4.4.答案：答案：4 46.6.解不等式解不等式1 1|x|x1|1|5.5.【解析解析】因为因为1 1|x|x1|1|5 51 1x x1 15 5或或5 5x x1 11 1 2 2x x6 6或或4 4x x0,0,所以原不等式的解集为所以原不等式的解集为x|2x|2x x6 6或或4 4x x0.0.