2020版高中数学第一章导数及其应用1.3.1利用导数判断函数的单调性课件新人教B版选修2_2.ppt

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1、1.3导数的应用1.3.1利用导数判断函数的单调性【自我预习自我预习】函数的单调性与其导数符号的关系函数的单调性与其导数符号的关系设函数设函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内可导内可导,(1)(1)如果在如果在(a,b)(a,b)内内,f(x)0,f(x)0,则则f(x)f(x)在此区间是在此区间是_,(a,b)_,(a,b)为为f(x)f(x)的的_._.增函增函数数单调增区间单调增区间(2)(2)如果在如果在(a,b)(a,b)内内,f(x)0,f(x)0f(x)0则则f(x)f(x)在该区间上单在该区间上单调递增调递增,反过来也成立吗反过来也成立吗?提示提示:不

2、一定不一定.例如例如f(x)=xf(x)=x3 3在在R R上为增函数上为增函数,但但f(0)=0,f(0)=0,所以所以f(x)0f(x)0是是f(x)f(x)在该区间上单调递增的充分不必在该区间上单调递增的充分不必要条件要条件.(2)(2)利用导数求函数的单调区间利用导数求函数的单调区间,需要先确定什么需要先确定什么?提示提示:函数的定义域函数的定义域.函数的单调区间是函数定义域的函数的单调区间是函数定义域的子集子集.【自我总结自我总结】1.1.对函数的单调性与其导数正负关系的三点说明对函数的单调性与其导数正负关系的三点说明(1)(1)若在某区间上有有限个点使若在某区间上有有限个点使f(x

3、)=0,f(x)=0,在其余的点在其余的点恒有恒有f(x)0,f(x)0,则则f(x)f(x)仍为某区间上增加的仍为某区间上增加的(减少的情减少的情形完全类似形完全类似).).(2)f(x)(2)f(x)为某区间上增加的充要条件是对任意的为某区间上增加的充要条件是对任意的xx(a,b)(a,b)都有都有f(x)0f(x)0且在且在(a,b)(a,b)内的任一非空子区间上内的任一非空子区间上f(x)f(x)不恒为不恒为0.0.(3)(3)特别地特别地,在某个区间内如果在某个区间内如果f(x)=0,f(x)=0,那么函数那么函数y=y=f(x)f(x)在这个区间内是常数函数在这个区间内是常数函数.

4、2.2.利用导数研究函数单调性时应注意的三个问题利用导数研究函数单调性时应注意的三个问题(1)(1)定义域优先的原则定义域优先的原则:解决问题的过程只能在定义域解决问题的过程只能在定义域内内,通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.(2)(2)注意注意“间断点间断点”:在对函数划分单调区间时在对函数划分单调区间时,除了必除了必须确定使导数等于零的点外须确定使导数等于零的点外,还要注意在定义域内的间还要注意在定义域内的间断点断点.(3)(3)单调区间的表示单调区间的表示:如果一个函数的单调区间不止一如果一个函数的单调区间不止一个个,这些单调区间之间不能用这些

5、单调区间之间不能用“”“”连接连接,而只能用而只能用“逗号逗号”或或“和和”字等隔开字等隔开.3.3.需要明确的三种关系需要明确的三种关系(1)f(x)0(1)f(x)0与与f(x)f(x)为增函数的关系为增函数的关系f(x)0f(x)0能推出能推出f(x)f(x)为增函数为增函数,若若f(x)f(x)为增函数为增函数,则则f(x)0,f(x)0,且且f(x)f(x)不恒为不恒为0.0.(2)f(x)0(2)f(x)0时时,f(x)0,f(x)0与与f(x)f(x)为增函数的关系为增函数的关系若将若将f(x)=0f(x)=0的根作为分界点的根作为分界点,因为规定因为规定f(x)0,f(x)0,

6、即即去除了分界点去除了分界点,此时此时f(x)f(x)为增函数为增函数,就一定有就一定有f(x)0.f(x)0.所以所以f(x)f(x)可导且可导且f(x)0f(x)0时时,f(x)0,f(x)0是是f(x)f(x)为增函为增函数的充分必要条件数的充分必要条件.(3)f(x)0(3)f(x)0与与f(x)f(x)为增函数的关系为增函数的关系f(x)f(x)为增函数为增函数,一定可以推出一定可以推出f(x)0,f(x)0,但反之不一定但反之不一定,因为因为f(x)0,f(x)0,即为即为f(x)0f(x)0或或f(x)=0.f(x)=0.当函数在某当函数在某个区间内恒有个区间内恒有f(x)=0,

7、f(x)=0,则则f(x)f(x)为常数为常数,函数不具有单函数不具有单调性调性.所以所以f(x)0f(x)0是是f(x)f(x)为增函数的必要不充分条件为增函数的必要不充分条件.【自我检测自我检测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”“”,错的打错的打“”)”)(1)(1)因为因为 恒成立恒成立,所以函数所以函数 在在(-,(-,+)+)上单调递减上单调递减.()(2)(2)因为因为 所以函数所以函数 在在(-,(-,+)+)上单调递增上单调递增.()(3)(3)函数函数f(x)=xf(x)=x2 2+2x-3+2x-3的导数的导数f(x)=2x+2f(x)=2x+2是增函数是增函数,

8、所以函数所以函数f(x)=xf(x)=x2 2+2x-3+2x-3在在(-,+)(-,+)上是增函数上是增函数.()提示提示:(1)(1).因为函数因为函数y=y=的定义域为的定义域为(-,0)(-,0)(0,+),(0,+),由由 恒成立恒成立,所以函数所以函数 在在(-,0)(-,0)和和(0,+)(0,+)上单调递减上单调递减.(2)(2).因为函数因为函数y=y=的定义域为的定义域为(-,0)(-,0)(0,+),(0,+),由由 恒成立恒成立,所以函数所以函数y=x-y=x-在在(-,0)(-,0)和和(0,+)(0,+)上单调递增上单调递增.(3)(3).因为因为f(x)=2x+2

9、,f(x)=2x+2,所以当所以当x(-,-1)x(-,-1)时时,f(x)0,f(x)0,f(x)0,即函数即函数f(x)=xf(x)=x2 2+2x-3+2x-3在在x(-,-1)x(-,-1)上单调递减上单调递减,在在x(-1,+)x(-1,+)上单调递增上单调递增.2.2.函数函数f(x)=2x-sin xf(x)=2x-sin x在在(-,+)(-,+)上上()A.A.是增函数是增函数B.B.是减函数是减函数C.C.在在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数,在在(-,0)(-,0)上是减函数上是减函数D.D.在在(0,+)(0,+)上是减函数上是减函数,在在(-,0)(-,0)上

10、是增函数上是增函数【解析解析】选选A.A.因为因为f(x)=2-cos x0f(x)=2-cos x0在在(-,+)(-,+)上恒上恒成立成立,所以函数所以函数f(x)=2x-sin xf(x)=2x-sin x在在(-,+)(-,+)上是增函数上是增函数.3.3.甲甲:对任意对任意x(a,b),x(a,b),有有f(x)0;f(x)0;乙乙:f(x):f(x)在在(a,b)(a,b)内是单调递增的内是单调递增的.则甲是乙的则甲是乙的()A.A.充分不必要条件充分不必要条件B.B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充要条件充要条件D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析解析】选

11、选A.A.例如取例如取f(x)=xf(x)=x3 3(-1x1),(-1x1),则则f(x)=xf(x)=x3 3在在(-1,1)(-1,1)内是单调递增的内是单调递增的,但但f(x)=3xf(x)=3x2 20(-1x1),0(-1x0,y=ln xx|x0,y=ln x+1,+1,令令y0,y0,即即ln x+10,ln x+10,解得解得 5.5.函数函数y=axy=ax3 3-1-1在在(-,+)(-,+)内是减函数内是减函数,则则a a的范围为的范围为_._.【解析解析】因为因为y=3axy=3ax2 200恒成立恒成立,解得解得a0.a0.而而a=0a=0时时y=-1y=-1不是减

12、函数不是减函数,所以所以a0.a0.答案答案:a0a0类型一判断或证明函数的单调性类型一判断或证明函数的单调性【典例典例】1.1.已知函数已知函数f(x)=f(x)=+ln x,+ln x,则有则有()A.f(2)f(e)f(3)A.f(2)f(e)f(3)B.f(e)f(2)f(3)B.f(e)f(2)f(3)C.f(3)f(e)f(2)C.f(3)f(e)f(2)D.f(e)f(3)f(2)D.f(e)f(3)f(2)2.2.证明证明:函数函数y=ln x+xy=ln x+x在其定义域内为增函数在其定义域内为增函数.【思路导引思路导引】1 1中函数的定义域是中函数的定义域是(0,+).(0

13、,+).2.2.先求出函数的定义域先求出函数的定义域,利用导数证明函数在定义域利用导数证明函数在定义域内的单调性内的单调性.【解析解析】1.1.选选A.A.因为函数的定义域为因为函数的定义域为(0,+),(0,+),f(x)=f(x)=所以所以f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数,所以有所以有f(2)f(e)f(3).f(2)f(e)0,x|x0,又因为又因为y=(ln x+x)=+1,y=(ln x+x)=+1,当当x0 x0时时,y10,y10,所以所以y=ln x+xy=ln x+x在其定义域内为增函数在其定义域内为增函数.【方法技巧方法技巧】利用导数证明不等式的

14、一般步骤利用导数证明不等式的一般步骤(1)(1)构造函数构造函数:F(x)=f(x)-g(x).:F(x)=f(x)-g(x).(2)(2)求导求导:F(x)=f(x)-g(x).:F(x)=f(x)-g(x).(3)(3)判断函数的单调性判断函数的单调性.(4)(4)若若F(x)F(x)在区间上的最小值大于等于在区间上的最小值大于等于0,0,则则f(x)f(x)g(x);g(x);若若F(x)F(x)在区间上的最大值小于等于在区间上的最大值小于等于0,0,则则f(x)g(x).f(x)g(x).【变式训练变式训练】证明证明:x-1ln x(x2).:x-1ln x(x2).【证明证明】设设f

15、(x)=x-1-ln x(x2),f(x)=x-1-ln x(x2),则则f(x)=f(x)=因为因为x2,x2,所以所以f(x)0.f(x)0.所以当所以当x2x2时时,f(x)=x-1-ln xf(2)=1-,f(x)=x-1-ln xf(2)=1-l ln 21-ln e=0.n 21-ln e=0.所以所以f(x)0,f(x)0,即即x-1-ln x0,x-1-ln x0,所以所以x-1ln x(x2).x-1ln x(x2).类型二利用导数求函数的单调区间类型二利用导数求函数的单调区间【典例】【典例】已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x3 3-75x+8,-75x+8,求函数求函

16、数f(x)f(x)的单调的单调区间区间.【思路导引思路导引】利用导数求函数的单调区间利用导数求函数的单调区间,应先求定应先求定义域义域,这是需要养成的习惯这是需要养成的习惯.【解析解析】因为因为xR,xR,且且f(x)=3xf(x)=3x2 2-75=3(x+5)(x-5),-75=3(x+5)(x-5),令令f(x)=0,f(x)=0,即即3(x+5)(x-5)=0,3(x+5)(x-5)=0,解得解得x x1 1=-5,x=-5,x2 2=5,=5,由由f(x)0,f(x)0,得得x-5x5,x5,所以函数所以函数f(x)f(x)的单调增区间为的单调增区间为(-,-5)(-,-5)和和(5

17、,+).(5,+).由由f(x)0,f(x)0,得得-5x5,-5x0,f(x)0,得得x-5x5,x5,又因为又因为x(-3,9),x(-3,9),所以所以5x9,5x9,所以函数所以函数f(x)f(x)的单调增区间为的单调增区间为(5,9).(5,9).由由f(x)0,f(x)0,得得-5x5,-5x5,又因为又因为x(-3,9),x(-3,9),所以所以-3x5,-3x0,f(x)0,则则3x3x2 2-750.-750.解得解得x5x5或或x-5.x0f(x)=-10得得0 x1;0 x1;由由f(x)0f(x)1.x1.所以函数所以函数f(x)f(x)的单调增区间为的单调增区间为(0

18、,1);(0,1);单调减区间为单调减区间为(1,+).(1,+).【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换条件变换条件)本题条件变为本题条件变为“函数函数f(x)=3x-2xf(x)=3x-2x2 2+ln x”,ln x”,求函数求函数f(x)f(x)的单调区间的单调区间.【解析解析】因为因为f(x)=3x-2xf(x)=3x-2x2 2+ln x,+ln x,其定义域为其定义域为(0,+),(0,+),所以所以f(x)=f(x)=当当x(0,1)x(0,1)时时,f(x)0,f(x)0,故函数故函数f(x)f(x)在区间在区间(0,1)(0,1)单单调递增调递增;当当x(1,+)x(1,+)

19、时时,f(x)0,f(x)0,f(x)=0,即即f(x)f(x)的单调增区间为的单调增区间为(0,+);(0,+);当当a0a0时时,由由 得得0 x 0 x 即即f(x)f(x)的单调增区间为的单调增区间为 单调减区间为单调减区间为当当a0a0,x0,即即f(x)f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(0,+).(0,+).综上综上,当当a0a0时时f(x)f(x)的单调增区间为的单调增区间为(0,+);(0,+);当当a0a0时时f(x)f(x)的单调增区间为的单调增区间为 单调减区间为单调减区间为 类型三利用导数求参数的取值范围类型三利用导数求参数的取值范围【典例典例】若函数若函数f(

20、x)=2xf(x)=2x2 2+ln x-ax+ln x-ax在定义域上单调递在定义域上单调递增增,求实数求实数a a的取值范围的取值范围.【思路导引思路导引】先确定定义域先确定定义域(0,+),(0,+),再利用函数单调再利用函数单调递增转化为递增转化为f(x)0f(x)0恒成立恒成立,再利用分离参数法求解再利用分离参数法求解.【解析解析】函数函数f(x)=2xf(x)=2x2 2+ln x-ax+ln x-ax在定义域上单调递增在定义域上单调递增,则则f(x)=4x+-a0f(x)=4x+-a0在在(0,+)(0,+)上恒成立上恒成立,即即a4x+(x0)a4x+(x0)恒成立恒成立.令令

21、g(x)=4x+,g(x)=4x+,则则ag(x)ag(x)minmin.g(x)=g(x)=当且仅当当且仅当x=x=时取等号时取等号,故故a4.a4.当当a=4a=4时时,f(x)=,f(x)=恒成立恒成立,满足题意满足题意,所以所以a4.a4.【解题流程解题流程】【方法技巧方法技巧】1.1.由函数由函数y=f(x),xa,by=f(x),xa,b的单调性求参数的取值范的单调性求参数的取值范围的步骤围的步骤(1)(1)求导数求导数y=f(x).y=f(x).(2)(2)转化为转化为f(x)0f(x)0或或f(x)0f(x)0对对xa,bxa,b恒成立恒成立问题问题.(3)(3)由不等式恒成立

22、求参数范围由不等式恒成立求参数范围.(4)(4)验证等号是否成立验证等号是否成立.2.2.恒成立问题的重要思路恒成立问题的重要思路(1)mf(x)(1)mf(x)恒成立恒成立mf(x)mf(x)maxmax.(2)mf(x)(2)mf(x)恒成立恒成立mf(x)mf(x)minmin.【变式训练变式训练】若函数若函数f(x)=axf(x)=ax3 3-x-x2 2+x-5+x-5在在R R上是增函数上是增函数,求实数求实数a a的取的取值范围值范围.【解题指南解题指南】求函数的导函数求函数的导函数f(x),f(x),问题转化为问题转化为f(x)0f(x)0对对xRxR恒成立恒成立,得到关于得到

23、关于a a的不等式的不等式(组组)求求解解.【解析解析】方法一方法一:f(x)=3ax:f(x)=3ax2 2-2x+1,-2x+1,所以由题意所以由题意f(x)=axf(x)=ax3 3-x-x2 2+x-5+x-5在在R R上是增函数上是增函数,可知可知3ax3ax2 2-2x+10-2x+10对对xRxR恒成立恒成立.所以所以 解得解得 方法二方法二:因为因为f(x)=3axf(x)=3ax2 2-2x+1,-2x+1,所以由题意所以由题意f(x)=axf(x)=ax3 3-x-x2 2+x-5+x-5在在R R上是增函数上是增函数,可知可知3ax3ax2 2-2x+10-2x+10对对

24、xRxR恒成立恒成立.当当x=0 x=0时时,10,10恒成立恒成立,所以所以aR.aR.当当x0 x0时时,3ax,3ax2 2-2x+10-2x+10转化为转化为 即即 对对xRxR恒成立恒成立.令令 =t(t0)=t(t0)则则a a 对对t0t0恒成立恒成立.因为因为 的最大值为的最大值为 所以所以a a 【补偿训练补偿训练】已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x2 2+(x0,aR),(x0,aR),若若f(x)f(x)在在2,+)2,+)上是增函数上是增函数,求求a a的取值范围的取值范围.【解析解析】因为因为f(x)=f(x)=且且f(x)f(x)在在2,2,+)+)上是增函数

25、上是增函数,所以所以f(x)0f(x)0即即 对对x2,+)x2,+)恒成立恒成立.因为因为x x2 20,0,所以所以2x2x3 3-a0-a0对对x2,+)x2,+)恒成立恒成立.即即a2xa2x3 3对对x2,+)x2,+)恒成立恒成立.因为因为y=2xy=2x3 3在在2,+)2,+)上是增函数上是增函数,所以所以y yminmin=16,=16,所以所以a16.a16.【素养达成案例素养达成案例】利用导数构造新函数解不等式利用导数构造新函数解不等式【素养解读素养解读】解关于抽象函数的不等式问题解关于抽象函数的不等式问题,关关键点也是难点就是构造合适的函数键点也是难点就是构造合适的函数

26、,构造新函数时往构造新函数时往往从两方面着手往从两方面着手:根据导函数的根据导函数的“形状形状”变换不等变换不等式式“形状形状”;若是选择题若是选择题,可根据选项的共性归纳构可根据选项的共性归纳构造恰当的函数造恰当的函数.从而可有效达成数学抽象和逻辑推理从而可有效达成数学抽象和逻辑推理的核心素养的核心素养.【典例典例】已知函数已知函数f(x)(xR)f(x)(xR)满足满足f(1)=1,f(1)=1,且且f(x)f(x)的的导数导数f(x)f(x)则不等式则不等式f(xf(x2 2)f(x)所以所以F(x)=f(x)-0,F(x)=f(x)-0,即函数即函数F(x)F(x)在在R R上单调递增上单调递增,因为因为f(xf(x2 2)所以所以f(xf(x2 2)-f(1)-)-f(1)-所以所以F(xF(x2 2)F(1),)F(1),而函数而函数F(x)F(x)在在R R上单调递增上单调递增,所以所以x x2 21,1,即即-1x1.-1x1.