2021_2022学年新教材高中数学第二章平面解析几何2.7.2抛物线的几何性质课件新人教B版选择性必修第一册.pptx

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1、2.7.22.7.2抛物线的几何性质抛物线的几何性质第二章第二章2021内容索引0102课前篇课前篇 自主预习自主预习课堂篇课堂篇 探究学习探究学习核心素养思维脉络1.掌握抛物线的简单几何性质.(直观想象)2.了解抛物线几何性质的简单应用.(数学运算)3.归纳、对比四种方程所表示的抛物线的几何性质的异同.(逻辑推理)4.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题.(直观想象、数学运算)课前篇课前篇 自主预习自主预习激趣诱思把抛物线沿它的对称轴旋转一周,就会形成一个抛物面.这种抛物面形状,正是我们熟悉的汽车前灯的反射镜的形状.这种形状,使得车灯既能够发射出明亮的、照射很远的平行光束,又能发

2、射出较暗的、照射近距离的光线,这也就是汽车的远光灯和近光灯.那么它的工作原理是什么?前照灯由灯泡、反射镜、配光镜三部分组成知识点拨1.抛物线y2=2px(p0)的几何性质 微思考(1)掌握抛物线的性质,重点应抓住“两点”“两线”“一率”“一方向”,它们分别指的是什么?提示“两点”是指抛物线的焦点和顶点;“两线”是指抛物线的准线和对称轴;“一率”是指离心率1;“一方向”是指抛物线的开口方向.(2)抛物线的性质与椭圆和双曲线性质的主要区别有哪些?提示 抛物线的离心率等于1,它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线.它没有中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线.2.抛

3、物线四种形式的标准方程及其性质 标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)图形范围x0,yRx0,yRy0,xRy0,xR对称轴x轴x轴y轴y轴标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)焦点坐标准线方程顶点坐标 O(0,0)离心率e=1名师点析1.对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析,其共同点:(1)顶点都为原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的 ;(4)焦点到准线的距离均为p.其不同点:(1

4、)对称轴为x轴时,方程的右端为2px,左端为y2;对称轴为y轴时,方程的右端为2py,左端为x2;(2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号.2.只有焦点在坐标轴上,顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.微练习以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为()A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=8x或y2=-8xD.x2=8y或x2=-8y答案C 解析设抛物线方程为y2=2px(p0)或y2=-2px

5、(p0),依题意得x=,代入y2=2px或y2=-2px得|y|=p,2|y|=2p=8,p=4.抛物线方程为y2=8x或y2=-8x.微判断(1)抛物线关于顶点对称.()(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.()(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.()答案(1)(2)(3)微思考怎样根据抛物线的标准方程判断抛物线的对称轴和开口方向?提示 一次项的变量若为x(或y),则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴,一次项系数的符号决定开口方向.如果y是一次项,负时向下,正时向上.如果x是一次项,负时向左,正时向右.课堂篇课堂篇 探究学习探究学习探究一探究一抛物抛物线的几何性的

6、几何性质的的应用用例1(1)等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(p0),O为抛物线的顶点,OAOB,则AOB的面积是()A.8p2B.4p2C.2p2D.p2(1)答案B 解析因为抛物线的对称轴为x轴,内接AOB为等腰直角三角形,所以由抛物线的对称性知,直线AB与抛物线的对称轴垂直,从而直线OA与x轴的夹角为45.(2)如图所示,F是抛物线y2=4x的焦点,点A,B分别在抛物线y2=4x及圆x2+y2-2x-3=0的实线部分上运动,且AB总是平行于x轴,则FAB的周长的取值范围是()A.(4,6)B.4,6C.(2,4)D.2,4(2)答案A 解析由题意知抛物线y2=4x的准线为x=

7、-1,设A,B两点的坐标分别为A(x1,y0),B(x2,y0),则|AF|=x1+1.解得x=1,B在图中圆(x-1)2+y2=4的实线部分上运动,1x23.FAB的周长为|AF|+|FB|+|BA|=(x1+1)+2+(x2-x1)=x2+3(4,6).(3)已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交于A,B两点,|AB|=2 ,求抛物线方程.(3)解由已知,抛物线的焦点可能在x轴正半轴上,也可能在负半轴上.故可设抛物线方程为y2=ax(a0).设抛物线与圆x2+y2=4的交点A(x1,y1),B(x2,y2).抛物线y2=ax(a0)与圆x2+y2=4都关于x轴对

8、称,A与B关于x轴对称,反思感悟研究抛物线的几何性质要从三个方面入手(1)开口:由抛物线的标准方程看图像开口,关键是看准二次项是x还是y,一次项的系数是正还是负.(2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴.(3)定值:焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p;离心率恒等于1.变式训练1已知抛物线y2=8x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围;(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦点F是OAB的重心,求OAB的周长.解(1)抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为

9、(0,0),(2,0),x=-2,x轴,x0.(2)如图所示,由|OA|=|OB|可知ABx轴,垂足为点M,又焦点F是OAB的重心,探究二探究二直直线与抛物与抛物线的关系的关系例2(1)对于抛物线C:y2=4x,我们称满足 0),过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A,B两点,且|AB|=p,求直线AB的方程.(1)答案D 解得k=2.所以直线AB的方程为2x-y-p=0或2x+y-p=0.反思感悟1.直线与抛物线位置关系的判断方法设直线l:y=kx+b,抛物线:y2=2px(p0),将直线方程与抛物线方程联立消元得k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.(1)若k2=0,此时直线与抛物线有一个

10、交点,该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.(2)若k20,当0时,直线与抛物线相交,有两个交点;当=0时,直线与抛物线相切,有一个交点;当0)的焦点的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p,然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元,由根与系数的关系求出x1+x2即可.(3)解决焦点弦问题时,应注意焦点弦的几何性质.凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率等问题,注意利用根与系数的关系,设而不求,能避免繁杂的计算.延伸探究若例2(2)条件不变,求弦AB的中点M到y轴的距离.(2)已知直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x.当k为何值时,l与C只有一个

11、公共点;有两个公共点;没有公共点.(1)答案B 此时直线l平行于x轴.当k0时,式是一个一元二次方程,=(2k-4)2-4k2=16(1-k).()当0,即k1,且k0时,l与C有两个公共点,此时直线l与C相交;()当=0,即k=1时,l与C有一个公共点,此时直线l与C相切;()当1时,l与C没有公共点,此时直线l与C相离.综上所述,当k=1或0时,l与C有一个公共点;当k1时,l与C没有公共点.探究三探究三与抛物与抛物线有关的最有关的最值问题例3(1)抛物线y2=4x上的点P(x,y)到(0,3)的距离与到准线距离之和的最小值是.(2)求抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的最小距

12、离.解析如图所示,设此抛物线的焦点为F(1,0),准线l:x=-1.过点P作PMl,垂足为M.则|PM|=|PF|.设Q(0,3),因此当F,P,Q三点共线时,|PF|+|PQ|取得最小值.(2)解方法一:设A(t,-t2)为抛物线上的点,则点A到直线4x+3y-8=0的距离反思感悟1.求抛物线上一点到定直线的距离的最值,最常见的解题思路:一是利用抛物线的标准方程进行消元代换,得到有关距离的含变量的代数式,以计算函数最值来解决.二是转化两平行线间距离,代入两平行线间距离公式可求得.2.建立形与数的联系,提升数形结合的能力,有利于优化解题的方式与方法.变式训练3已知P为抛物线y=x2上的动点,P

13、在x轴上的射影为H,点A的坐标为(12,6),则|PA|+|PH|的最小值是()A.13B.12C.11D.10答案B 解析化抛物线y=x2为标准形式x2=4y,得它的焦点为F(0,1),准线为l:y=-1,延长PH交准线于G,连接PF,根据抛物线的定义,得|PA|+|PH|=|PA|+|PG|-1=|PA|+|PF|-1,|PA|+|PF|AF|,当且仅当P,A,F三点共线时,|PA|+|PF|=|AF|为最小值.素养形成素养形成易错点易错点因不理解抛物线的标准方程的形式而致错因不理解抛物线的标准方程的形式而致错案例设抛物线y=mx2(m0)的准线与直线y=1的距离为3,求抛物线的标准方程.

14、故所求抛物线的标准方程为y=8x2.错因分析本题在解答过程中容易出现两个错误:一是不能正确理解抛物线标准方程的形式,错误地将所给方程看成是抛物线的标准方程,得到准线方程为y=-;二是得到准线方程后,只分析其中的一种情况,而忽略了另一种情况,只得到了一个解.【规范答题】故所求抛物线的标准方程为x2=8y或x2=-16y.当堂当堂检测1.若抛物线x=-my2的焦点到准线的距离为2,则m=()答案D 2.已知抛物线y=4x2上一点P到焦点的距离为1,则点P的纵坐标为()答案C 3.若点P在抛物线y2=x上,点Q在圆M:(x-3)2+y2=1上,则|PQ|的最小值是()答案D 4.已知抛物线C:y2=

15、4x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若 ,则|QF|=.答案3 解析设Q到l的距离为d,则由抛物线的定义可得|QF|=d,5.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p0)上,求这个正三角形的边长.解 如图,设正三角形OAB的顶点A,B在抛物线y2=2px(p0)上,且坐标分别为所以(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.因为x10,x20,2p0,所以x1+x2+2p0,x1=x2,即A,B两点关于x轴对称,则AOx=30.6.已知y=x+m与抛物线y2=8x交于A,B两点.(1)若|AB|=10,求实数m的值;(2)若OAOB,求实数m的值.由=(2m-8)2-4m2=64-32m0,得m2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8-2m,x1x2=m2,y1y2=m(x1+x2)+x1x2+m2=8m.(2)因为OAOB,所以x1x2+y1y2=m2+8m=0,解得m=-8或m=0(舍去).所以m=-8,经检验符合题意.本 课 结 束