函数极限的概念.ppt

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1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页1 函数极限概念一、x趋于时的函数极限二、x趋于x0 时的函数极限三、单侧极限 在本章,我们将讨论函数极限的基本联系,它们之间的纽带就是归结原理.函数极限与数列极限之间有着密切的概念和重要性质.作为数列极限的推广,返回返回返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、x趋于时的函数极限设函数设函数定义在定义在极限极限.f(x)当当 x 趋于趋于 时以时以A为为也也无限地接近无限地接近A,我们就称我们就称无限远离原点无限远离原点时时,函数函数f(x)上上,当当 x 沿着沿着 x 轴的正向轴的正向返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页

2、前页前页趋于趋于例如例如 函数函数当当时时,10203040O0.51为极限为极限.以以返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页记为记为或者或者定数定数,若对于任意正数若对于任意正数 存在存在 使得使得定义定义1A 为为返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页任意给定任意给定存在存在返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页任意给定任意给定存在存在返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注注 数列可视为定义在正整数集上的函数数列可视为定义在正整数集上的函数.请大家请大家所以所以(由定义由定义1),例例1 证明证明 任给任给取取证证与不同点与不同点.比较数列极限定义

3、与函数极限定义之间的相同点比较数列极限定义与函数极限定义之间的相同点返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例2证证 任给任给这就是说这就是说返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定义定义2记为记为则称则称或或返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页记为记为定义定义3存在存在 当当或或返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证 对于任意正数对于任意正数这就是说这就是说例例3求证求证返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例4 求证求证所以结论成立所以结论成立.证证 对于任意正数对于任意正数 ,可取可取返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前

4、页从定义从定义1、2、3 不难得到不难得到:定理定理 3.1则由定理则由定理 3.1，的充要条件是：的充要条件是：例如例如返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、x趋于x0 时的函数极限设函数设函数 f(x)在点在点 x0 的某空心邻域的某空心邻域 内有定义内有定义.定义定义4为极限的定义为极限的定义.下面我们直接给出函数下面我们直接给出函数 f(x)时以常数时以常数 A返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页或者或者记为记为则称则称例例5证明证明时时,使使分析分析返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因因只要只要 式就能成立式就能成立,故取故取 即可即可.证证返

5、回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页这就证明了这就证明了返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例6 证明证明可以先限制可以先限制因为因为此时有此时有故只要故只要所以所以要使要使分析分析返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页这就证明了这就证明了证证 有有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例7 求证：求证：注注 在例在例5、例、例6中中,我们将所考虑的式子适当放大我们将所考虑的式子适当放大,不是不是“最佳最佳”的的,但这不影响我们解题的有效性但这不影响我们解题的有效性.其目的就是为了更简洁地求出其目的就是为了更简洁地求出 ,或许所求出的或许所求出的

6、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证 首先，在首先，在右图所示的单位圆内右图所示的单位圆内,显然有显然有即即故故OCDBAyxx返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页同理可证同理可证:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例7证明：证明：证证 因为因为则则这就证明了所需的结论这就证明了所需的结论.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例8.证明证明返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页在上面例在上面例题中题中,需要注意以下几点：需要注意以下几点：,我们强调其存在性我们强调其存在性.换句话

7、说换句话说,对于对于固定固定 1.对于对于的的不同的方法会得出不同的不同的方法会得出不同的 ,不存在哪一个更不存在哪一个更好的问题好的问题.数数都可以充当这个角色都可以充当这个角色.3.正数正数是任意的是任意的,一旦给出一旦给出,它就是确定的常数它就是确定的常数.,那么比它那么比它更小的正更小的正是不惟一的是不惟一的,一旦求出了一旦求出了 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页有时为了方便有时为了方便,需要让需要让 小于某个正数小于某个正数.一旦对这一旦对这为贵为贵”.当然也能满足要求当然也能满足要求.所以我们有时戏称所以我们有时戏称 “以小以小样的样的 能找到相应的能找到相应的 ,

8、那么比它大的那么比它大的 ,这个这个 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页平面上以平面上以 y=A为中心线为中心线,宽为宽为 的窄带的窄带,可可以找到以找到使得曲线段使得曲线段4.函数极限的几何意义如图函数极限的几何意义如图,对于对于坐标坐标落在窄带内落在窄带内.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页三、单侧极限x 既可以从既可以从 x0 但在某些时但在某些时定义定义5 A为常为常数数.若对于任意正数若对于任意正数 ,在定义区间的端点和分段函数的分界点等在定义区间的端点和分段函数的分界点等.候候,我们仅需我们仅需(仅能仅能)在在 x0的某一侧来考虑的某一侧来考虑,比如函数

9、比如函数返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页则称则称 A 为函数为函数 f 当当时的右时的右(左左)右极限与左极限统称为单侧极限右极限与左极限统称为单侧极限,为了方便起见，为了方便起见，极限极限,记作记作有时记有时记返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 例例7 讨论函数讨论函数解解 因为因为所以所以返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由定义由定义3.4和定义和定义3.5，我们不难得到：，我们不难得到：注注试比较定理试比较定理 3.1 与定理与定理 3.1.定理定理 3.1不存在不存在.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页作为本节的结束作为本节的结

10、束,我们来介绍两个特殊的函数极限我们来介绍两个特殊的函数极限.例例9 证明狄利克雷函数证明狄利克雷函数证证 处处无极限处处无极限.满足满足返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页这就证明了结论这就证明了结论.则则返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例10 设黎曼设黎曼函数函数证证 因为在因为在(0,1)中分母小于中分母小于 N 的有理数至多只有的有理数至多只有个个,故可设这些有理数为故可设这些有理数为返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页这就是说，除了这这就是说，除了这 n 个点外个点外,其他点的函数值都其他点的函数值都对以上两种情形都有对以上两种情形都有这就证明了这就证明了小于小于 .所以所以返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页我们已经知道，狄利克雷函数在每点都无极限我们已经知道，狄利克雷函数在每点都无极限.能能注注 有兴趣的同学可以证明：有兴趣的同学可以证明：复习思考题否构造一个函数，它仅在否构造一个函数，它仅在 处有极限处有极限.