初等函数的连续性与连续函数的性质.ppt

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1、第九讲连续函数的运算与初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质1 高等数学高等数学第九节连续函数的运算与初等函数的连续性一、连续函数的和、差、积、商的连续性 二、反函数的连续性 三、复合函数的连续性 四、初等函数的连续性第九节第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性2 高等数学高等数学高等数学一、连续函数的和、差、积、商的连续性 在其定义域内连续在其定义域内连续定理定理1则它们的则它们的设函数设函数和和在点在点连续连续,积积和和(差差)(当当及商及商时时)都在点都在点连续连续.例如例如在在内连续内连续.第九节第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与

2、初等函数的连续性3 高等数学高等数学高等数学二、反函数的连续性 定理定理2在在上单调增加且连续上单调增加且连续在在 1,1 上也单调增加且连续上也单调增加且连续如果函数如果函数在区间在区间上单调增加上单调增加(或单调减少或单调减少)且连续且连续,那么它的反函数那么它的反函数增加增加(或单调减少或单调减少)且连续且连续.也在对应的区间也在对应的区间上单调上单调例如例如第九节第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性4 高等数学高等数学高等数学三、复合函数的连续性定理定理3复合而成复合而成 若若函数函数在在连续连续 则则 例例1 求下列各极限：求下列各极限：由函数由函

3、数与函数与函数设函数设函数若若当当且存在且存在时时,有有 则则 定理定理6 设函数设函数由函数由函数与函数与函数复合而成复合而成 (P48)第九节第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性5 高等数学高等数学定理定理4（复合函数的连续性）（复合函数的连续性）若若函数函数在点在点连续连续,且且而函数而函数则复合函数则复合函数在点在点也连续也连续 即即 在点在点设函数设函数由函数由函数与函数与函数复合而成复合而成 连续连续,第九节第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性6 高等数学高等数学高等数学例例2 求下列各极限：求下列各极限：(1

4、)若若则有则有(2)若若则有则有幂指函数幂指函数第九节第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性说明说明:7 高等数学高等数学高等数学四、初等函数的连续性基本初等函数在定义域内连续基本初等函数在定义域内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续一切初等函数一切初等函数在定义区间内在定义区间内连续连续的连续区间为的连续区间为的连续区间为的连续区间为的定义域为的定义域为第九节第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性8 高等数学高等数学高等数学二、零点定理与介值定理 一、有界性与最值定

5、理闭区间上连续函数的性质第十节第十节第十节 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质9 高等数学高等数学高等数学一、有界性与最值定理1最大(小)值定义：总有总有在区间在区间上有定义上有定义,若有若有使得使得设设则称则称是是在区间在区间 上的最大值上的最大值(最小值最小值),),简称最值简称最值.第十节第十节 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质10 高等数学高等数学高等数学2.最值定理定理定理1 在闭区间上连续的函数在该区间上一定在闭区间上连续的函数在该区间上一定即即:设设则则使使取得它的最大值和最小值取得它的最大值和最小值.第十节第十节 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性

6、质11 高等数学高等数学高等数学第十节第十节 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质12 高等数学高等数学高等数学推论推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界在闭区间上连续的函数在该区间上有界.第十节第十节 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质13 高等数学高等数学高等数学定理定理2(零点定理零点定理)二、零点定理与介值定理设函数设函数设函数在闭区间设函数在闭区间异号异号(即即上连续上连续,且且与与那么在开区间那么在开区间使使内至少有一点内至少有一点第十节第十节 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质14 高等数学高等数学高等数学定理定理3 (介值定理介值定理)及及则对则对

7、 A 与与 B 之间的任意一个数之间的任意一个数 C,在开区间在开区间设函数设函数设函数在闭区间设函数在闭区间上连续上连续,且在这区间的端点取不同的函数值且在这区间的端点取不同的函数值使得使得内至少有一点内至少有一点推论推论在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的任何值大值之间的任何值.第十节第十节 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质15 高等数学高等数学高等数学例例1 证明方程证明方程一个根一个根.说明说明:内必有方程的根内必有方程的根取取的中点的中点内必有方程的根内必有方程的根二分法二分法在区间在区间内至少有内至少有则则则则取取的

8、中点的中点第十节第十节 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质16 高等数学高等数学例例2 设设试证：试证：且且使得使得例例3 任给一张面积为任给一张面积为 A 的纸片的纸片(如图如图),证明必可将它证明必可将它一刀剪为面积相等的两片一刀剪为面积相等的两片.第十节第十节 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质17 高等数学高等数学高等数学内容小结基本初等函数基本初等函数在定义区间内在定义区间内连续连续连续函数的连续函数的四则运算四则运算的结果连续的结果连续连续函数的连续函数的反函数反函数连续连续连续函数的连续函数的复合函数复合函数连续连续初等函数在初等函数在定义区间内定义区间内连续连续说明说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性左、右连续性.1.连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性内容小结内容小结18 高等数学高等数学在在上达到上达到最大值与最小值最大值与最小值;上上可取最大与最小值之间的任何可取最大与最小值之间的任何值值;4.当当时时,使使必必存在存在上上有界有界;在在在在2.闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质设设则则内容小结内容小结 作业作业P69 3 (2),(3),(6),(7);4(2),(4),(6);6P74 2;3;5