傅里叶(Fourier)级数.ppt

《傅里叶(Fourier)级数.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《傅里叶(Fourier)级数.ppt（70页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、一、问题的提出一、问题的提出二、三角级数二、三角级数 三角函数系的正交性三角函数系的正交性三、函数展开成傅里叶级数三、函数展开成傅里叶级数第七节第七节 傅里叶傅里叶(Fourier)(Fourier)级数级数四、正弦级数四、正弦级数 余弦级数余弦级数本节研究由三角函数组成的级数本节研究由三角函数组成的级数 三角级数三角级数 在实际问题中，有很多周期运动，数学上在实际问题中，有很多周期运动，数学上用周期函数来描述和研究它们，其中正弦函数用周期函数来描述和研究它们，其中正弦函数是一种是一种最常用而简单最常用而简单的周期函数，例如描述简的周期函数，例如描述简谐振动的函数谐振动的函数一、问题的提出一、

2、问题的提出 对于反映较复杂周期运动的对于反映较复杂周期运动的非正弦周期函数非正弦周期函数，能否用较简单的周期函数（三角函数）组成的能否用较简单的周期函数（三角函数）组成的级数来表示和讨论呢？级数来表示和讨论呢？可用以下不同频率正弦波逐个叠加：可用以下不同频率正弦波逐个叠加：类似于函数的幂级数展开，类似于函数的幂级数展开，例如矩形波例如矩形波非正弦周期函数非正弦周期函数用正弦函数组成的级数表示用正弦函数组成的级数表示一般地，函数可表示为一般地，函数可表示为物理意义物理意义：把一个比较复杂的周期运动看作许多把一个比较复杂的周期运动看作许多不同频率的简谐振动的不同频率的简谐振动的叠加叠加.电工学上，

3、这种展开称为电工学上，这种展开称为谐波分析谐波分析.二、三角级数二、三角级数 三角函数系的正交性三角函数系的正交性1.1.三角级数三角级数称为称为三角级数三角级数，2.三角函数系的正交性三角函数系的正交性三角函数系三角函数系三、函数展开成傅里叶级数三、函数展开成傅里叶级数问题问题:1.若能展开若能展开,系数系数 是什么是什么?2.展开的条件是什么展开的条件是什么?1.1.傅里叶系数傅里叶系数上式两边积分，上式两边积分，由正交性由正交性两边同乘以两边同乘以 再积分，得再积分，得两边同乘以两边同乘以 再积分，得再积分，得f(x)的傅里叶系数的傅里叶系数傅里叶级数傅里叶级数2.傅里叶级数的收敛性傅里

4、叶级数的收敛性问题问题:若周期为若周期为 的函数的函数 可积，则可积，则(1)连续或只有有限个第一类间断点，连续或只有有限个第一类间断点，狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)充分条件充分条件(收敛定理收敛定理)则则f(x)的傅里叶级数收敛的傅里叶级数收敛,并且并且设设是以是以为周期的周期函数为周期的周期函数.如果它满足在一个周期内如果它满足在一个周期内:(2)至多只有有限个极值点至多只有有限个极值点,注注 函数展开成傅里叶级数的条件函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多比展开成幂级数的条件低的多.则则f(x)的傅里叶级数收敛的傅里叶级数收敛,并且并且(1)当当x是是f(x)的的

5、连续点连续点时时,级数收敛于级数收敛于f(x);(2)当当x是是f(x)的的间断点间断点时时,级数收敛于级数收敛于解解 所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件.例例1为周期的矩形脉冲的波形为周期的矩形脉冲的波形将其展开为傅里叶级数将其展开为傅里叶级数.以以和函数图象为和函数图象为所求函数的傅氏展开式为所求函数的傅氏展开式为 3.非周期函数非周期函数的傅里叶展开的傅里叶展开作法作法:如果函数如果函数 只在区间只在区间上有定义上有定义,并且满足狄氏充分条件并且满足狄氏充分条件,也可展开成傅氏级数也可展开成傅氏级数.解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件.延拓

6、的周期函数的傅氏级数展开式在延拓的周期函数的傅氏级数展开式在收敛于收敛于例例2 展开为傅里叶级数展开为傅里叶级数.将函数将函数所求函数的傅氏展开式为所求函数的傅氏展开式为*4.*4.可以利用傅氏展开式求数项级数的和可以利用傅氏展开式求数项级数的和进一步，若记进一步，若记四、正弦级数四、正弦级数 余弦级数余弦级数 只含有只含有正弦项正弦项的傅里叶级数，称为的傅里叶级数，称为正弦级数正弦级数(或只含有常数项和余弦项或只含有常数项和余弦项)(或余弦级数或余弦级数).).正弦级数正弦级数余弦级数余弦级数傅氏级数傅氏级数定理定理展开成傅里叶级数时展开成傅里叶级数时,它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为当周期

7、为当周期为的的奇函数奇函数（偶函数）（偶函数）同理可证同理可证(2).偶函数偶函数定理证毕定理证毕.奇函数奇函数证明证明因此因此 如果如果为奇函数为奇函数,傅氏级数傅氏级数称为称为正弦级数正弦级数.如果如果为偶函数为偶函数,傅氏级数傅氏级数称为称为余弦级数余弦级数.解解 所给函数满足所给函数满足例例4成傅氏级数成傅氏级数.是周期为是周期为的周期函数的周期函数,它在它在设设上的表达式为上的表达式为将将展开展开狄利克雷充分条件狄利克雷充分条件.和函数图象和函数图象观观察察两两函函数数图图形形解解 所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件,在整个数轴上连续在整个数轴上连续.例例5展开

8、成傅氏级数展开成傅氏级数,其中其中是正常数是正常数.将周期函数将周期函数 对于非周期函数对于非周期函数，实施奇（偶）延拓后，实施奇（偶）延拓后就可以展开成正弦级数或余弦级数就可以展开成正弦级数或余弦级数.则有如下两种情况则有如下两种情况奇延拓奇延拓:偶延拓偶延拓:解解(1)(1)求正弦级数求正弦级数.将函数将函数分别展开成正弦级数和余弦级数分别展开成正弦级数和余弦级数.例例6(2)求余弦级数求余弦级数.1.傅里叶级数；傅里叶级数；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分条件；狄利克雷充分条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小

9、小 结结5.奇函数和偶函数的傅氏系数奇函数和偶函数的傅氏系数;正弦级数与余弦级数正弦级数与余弦级数;小结小结傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小结小结傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小结小结傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小结小结傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小结小结傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小结小结傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小结小结傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小结小结傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小结小结傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小结小结傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小结小结傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小结小结傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小结小结傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近小小 结结傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近思考题思考题思考题解答思考题解答 2.函数函数是周期函数在一个周期上的表达式，在是周期函数在一个周期上的表达式，在x=0处其傅里叶级数收敛于处其傅里叶级数收敛于？答：答：因因x=0是函数的间断点，故收敛于是函数的间断点，故收敛于作业作业习题习题11-7 p.2501.(3);2.(2);3;6.练练 习习 题题练习题答案练习题答案