112《余弦定理》.ppt

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1、 1.1.2 余弦定理 课件3/11/20231.正弦定理正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即=2R（R为ABC外接圆半径）2.正弦定理的应用正弦定理的应用:从理论上正弦定理可解决两类问题：1两角和任意一边，求其它两边和一角；两角和任意一边，求其它两边和一角；2两两边边和和其其中中一一边边对对角角，求求另另一一边边的的对对角角，进进而而可可求求其其它它的的边边和和角。角。3/11/2023 在RtABC中(若C=90)有：在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角还有什么关系呢？3/11/2023 对于任意一个三角形来说，是否可以根据一个角和夹此角的两边，求出此角的对

2、边？推导推导 如图在 中，、的长分别为 、。即同理可证3/11/20231余余弦弦定定理理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即3/11/2023同理可证a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB.(2)用三角方法用三角方法证证明余弦定理明余弦定理当当ABCABC为锐角三角形为锐角三角形时，如图时，如图ADbsinC.BDBCCDabcosC.在在RtABD中，由勾股定理中，由勾股定理AB2AD2BD2b2sin2C(abcosC)2c2a2b22abcosC.2余弦定理可以解决的问题余弦定理可以解决的问题利用余弦定理，可以解决以下两类有

3、关三角形的问题：利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。3/11/2023例例1 1在ABC中，已知a7，b10，c6，求A、B和C.解：0.725，A44 0.8071，C36,B180(AC)100.(sinC 0.5954,C 36或144(舍).)3/11/2023例例2 2在ABC中，已知a2.730，b3.696，C8228，解这个三角形.解：解：由 ，得 c4.297.0.7767，A392,B180(AC)5830.(sinA

4、0.6299 A=39或141(舍).)，3/11/2023例3。在ABC中，a,b,c分别是A,B,C的对边长，已知a,b,c成等比数列，且 (1)求A的大小 (2)解解（1）在在ABC中，由余弦定理得中，由余弦定理得3/11/2023在在ABC中，由正弦定理得中，由正弦定理得解解（2）例3。在ABC中，a,b,c分别是A,B,C的对边长，已知a,b,c成等比数列，且 (1)求A的大小 (2)解解（1）在在ABC中，由余弦定理得中，由余弦定理得3/11/2023在在ABC中，由正弦定理得中，由正弦定理得解解（2）法一：法一：法二：法二：例3。在ABC中，a,b,c分别是A,B,C的对边长，已

5、知a,b,c成等比数列，且 (1)求A的大小 (2)3/11/2023例例 4 4 ABC三个顶点坐标为A(6，5)、B(2，8)、C(4，1)，求角A.解法一：|AB|BC|AC|A84.解法二：(8，3)，(2，4).cosA =,A84.3/11/20231.在ABC中，bCosA=acosB，则三角形为()A.直角三角形 B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形C C解法一：利用余弦定理将角化为边.bcosAacosB,b b2c2a2a2c2b2,a2b2,ab，故此三角形是等腰三角形.解法二：利用正弦定理将边转化为角.bcosAacosB又b2sinB，a2sinA，2sinBc

6、osA2sinAcosB sinAcosBcosAsinB0sin（AB）00A，B，AB，AB0 即AB 故此三角形是等腰三角形.返回返回3/11/20232.在ABC中，若a2b2+c2，则ABC为 ；若a2=b2+c2，则ABC为 ；若a2b2+c2且b2a2+c2且c2a2+b2，则ABC为 。3.在ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为 。4.在ABC中，BC=3，AB=2，且 ，A=。直角三角形直角三角形等腰三角形等腰三角形锐角三角形锐角三角形钝角三角形钝角三角形120 3/11/20232.2.在在ABCABC中中，已已知知sinsinB BsinsinC Ccosc

7、os2 2 ，试试判判断断此此三三角角形形的的类类型型.解：解：sinsinB BsinsinC Ccoscos2 2 ,sin,sinB BsinsinC C2sin2sinB BsinsinC C1 1coscos180180（B BC C）将将coscos（B BC C）coscosB BcoscosC CsinsinB BsinsinC C代入上式得代入上式得coscosB BcoscosC CsinsinB BsinsinC C1,cos1,cos（B BC C）1 1又又0 0B B，C C，B BC CB BC C0 0 B BC C故此三角形是等腰三角形故此三角形是等腰三角形.3/11/2023ACB3/11/2023余弦定理及其应用余弦定理及其应用3/11/2023