化工系统工程讲座_九_第六讲化工过程系统静态最优化方法_.pdf

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1、?!年化学土程第?期一一#一#端一一一一#,一一#一一#一#一一一#呼一一一#一一化工系统 工程讲座%九&梁玉衡%北京化工学院第六讲化工过程系统静态最优化方法%?&二、目标函数有等式约束条件的最优化方法鑫%熟&。一鑫,%凳&。二?。雅可必法雅可必法是求解具有等式约束条件的 目标函数最优值的间接法。若求目标函数(%),)+,)。&满足,个可微的等 式约束条件%)&.,/二?,!二,的最优解,用雅可必 法的计算步骤如下%?&在可行域中,求约束条件的微分,取一阶近似 则得为区分式中等号左边和右边的微盛0王斐等号左边 的微 分为状态变量,用1。表示等号右边的微分为决策变量,用2,表示。同时定义3二4一

2、,为 自由度。因此,式%0一56&、%0一50&可以写成如下形式少、!7(丫一“(8息9硫:。6?刹;夸了夕工刹72%0一5=&鑫:凳夕蜘一叠%凳日24艺一一?!一!,#,%&二尸!?(。二),(+,一./对目标函数作类似处理 则得01二咬气+21、。自、藏#”(,一.3/,一.4/对具体问题,56 7/个独立变量如何区分,从数学上是无关紧要的,而对于具体工程计算问题,状态变量和决策变量 则是比较明确的。,./将状态变 量8。的系数写成一个5又5矩阵,定义为稚可必矩阵!9:9;:口#一口一加袖一郎0=口。二由式,一./、,一.3/构成了一个含有,?十!/个未知微分 的,5十!/个线性方程组,并

3、假定 方程式是线性独立的。,#/选择状态变 量 和决策变 量不失一般性,将式,一./、,一.3/写 成0产、+)!、少二+1、十:一】2(,、犷一夕:。!和:。”忠切!#”二貂、压尸“,一./一。!己,一.一)一由此可得雅可必行列式%0&构造决策导数,由克莱姆法则可得(。%,砂;己%1?,1&%0一.&0%(,。&.%2=玩一8,岛司一?#卜己一卜一了、八一八?一伞,山 爪从,沁口一琦八)=己%卜之一气一如户、工一竹:一比卜)。!)(:63 _(0一:(#一!6加一叭创一2 8:%,%)!)#%6#=又!)(#!/毓满足 等 式约束条件(:(#),#/玩纯巴?饥一气日曰曰加一2?加时0加训,一

4、3#/的最优解。这个问题共有两个变量,一个等式约束条件,所以问题的自由度尸?一=5几设状态变量80为(,决 策变量?,为叭,一!一则由式%!&,%1,2,&二1,2一?.%5由前述计算步骤%5&%6&可得0,71?.一2又%?.6?一“2一一一,(一。1己一卜尹一八己,1,%/。,?,8,/一二#=乙1求决策导数石酥得0=又!)一3?:一!)丁:?压#!)一3!),一?厂?!)0,/一个新的函数小,定义为拉格朗日函数0小,(,(?,入,/1,(0,(,(?/6。1,乙?,),1,),?,%一!)二#=又!)由式,#/与石不一一)联立求解得06艺、,%,(,(,0,、/,一3/=!式中久,#,/

5、是任意系数。,#/求拉格朗日函数的 极值,即求 小的一阶偏 导数为零,构成 由,6/个方程组成的方程组。其中,6/个方程可能是线性的,也可能是非线性的。飞9=:99气=尹99:1+!(!)?,(02小下二户 ,一3/一一种一武#=待定系数法待定系数法的基本思路是对一个有 个独立变量、个等式约束条件的最 优化问题,引入个待定系数,然后 联立 求 解含 有,6/个未知变量的,6/个方程式,从而确定极值点 的座标及待定系数的数值。同时 用这种方法还能给出灵敏度系数的数值,并且在计算时不存在区别决策变量和状态变量的 问题。若最优化问题的提法为0求目标函数1,(:,(0,(?/满足等式约束条件:,(,(

6、0,(、/二)“!,#,?的最优值。川待定 系数法的一算步骤如下0,!/引入二个待定系数认,:,#,。/、由原始目标函数和等式约束条件构 成一#一,./求解联立方程 组,从而确定(,(,(?久!,入#,入。的数值。例一用待定系数法求第四讲 例#所示的由?级萃取槽组成的错流萃取序列 的最优解。解?级萃取槽序列 的过程说明为第四训0例#所示,详见4!年!期第 页/。?级错流萃取序 列最优化的目标函数如下01一艺,、一0=,/一“乙!0,!/约束条件为入,“入入。二 1%?&卜/一卜,)/一/?,!,一.匆式%=&、%&得%!&用待定系数法求(、?时各级溶剂的分配,首先引 入个待定系数入/,%/一工

7、,!,&,并 由式%?&、%!&构造一个拉格朗日函数如下,妇不不尸一入十、,/二.,?,!,一?%?.&由式%?&可知,式%?.&中入,各项均为常数,所以得小二艺%一8艺入、/一?王十,&一艺)8/一.%5&/,/入/杆万“#1或改写成小%。一4&一艺。/十艺入、以口),或)。)+?8,)7 1。1。二”一/%?&?一?将式%?&代入式%!&可得了;旦土一?十)?一?一&%求拉格 朗 日函数 的极值。由极值存在的必要条件可得。;/。%?8?,)&。;!;、%?8,)&%?8,)&.小,?;。一八,二一一厂,了二一2 与十)一入二.或写成。二。%?8,)&”%?!?&二?,!,%一?&%6&。一

8、而干矽万砰%?!&二?8入二.,%0&由式%=&经变换参数后可解出午入/,/,交了月丁邢下弃砷一呱砷一0).,?,!,%一?&=&;/?8,)/;/?,!,一二.6?、击,一%?5&)二一?一一 一?、一3(即萃取序列各级溶剂量按上 式分配,收益最大。一一种一叭%&由式%弓&%&得5个未知变量 的5个方程式,联立求解上述5个方甲阮之,可分别求得、)、入的数值。由式%6&、%&得三、目标函数有不等式约束条件的最优化方法目标函数有不等式约束条件的最优化方法可以分为四大类%?&将目标函数有不等一=5一式约束条件的最优化向题看成目标函数无约束条件的最优化问题,求出相应 的一系列 的最优解或驻点,然 后

9、根据约束条件逐一进行校验,按无约束条件所求得的解,看它们是否满足约束条件。%!&对于有线性或非线性目标函数和不等式约束条件的最优化问题,引。入松驰变量,把不等式 约束条件变换为等式约束条件,最后按有等式约束条件的各种最优化方法求解。%5&对于具有等式或不等式约束条件的最优化问题,采用 引入罚因子构成罚函数,将有约束条件最优化问题变换为无约束条件的最优化问题。%&对于 目标函数和约束条件是用独立变量构成的正项式表示的一类最优化 2题,采用几何规划方法。下面介绍诸计算方法?。松弛变量法松驰变量法的主要思路是对个不等式约束条件%)&.,?,!,二,引进个非负的松弛函数%)&,使不等式约束条件变成等式

10、约束条件,如下式所示%)&一%)&.二?,!,%0一&式中松驰函数%)&为松驰变量)。十的 函数。如果在个松驰函数、%)&中有,个在该点处为零,若假定前面,个为零,则得二%)&切?,!,若松弛 函数为零,则最优解应处于%)&7所代表的可行域的边界上。%!&松弛函数的数值应满足非负性条件,即若%酌,则最优解可能在可行域内部,一也可能在其它约束条件所代表的边界上。如果、%)&一%)&“.中所有函数是线性的,称为线性规划 问题,如果其中有非线性方程式,则称为非线性规划问题。松弛变量法中常用的最简单的松 弛函数的形式为%)&)若十%0一6?&下面简单讨论有不等式约束条件的最优化问题有局部最优值的充分必

11、要条件库恩一塔克条件。只讨论非退化的情况。若在个独立变量中选择%一&个变 量作为决策变量,记为2,2+,2,34二,。其余个变量作为状态变量,记为19,1,1。并且1二二?,!,在4个独立变量中,若有,个使%1,2&为零和.%0一0.&、己2夕夕”,乙夕召”、)”%!&互补松弛 条件%一御2%县,.,?,!,3%0一0?&,!,人 压%0一0!&!线性规划问题的单纯形解法求目标函数有等式或不等式约束条件的最优解的各种方法,都涉及到求目标函数的导数%或偏 导数&的 问题,但是在许多实际 的工程计算问题中,往往会遇到各种复杂的情况,如 很多实际的化工问题的目标函数很复杂,或者目标函数没有解析表达式

12、,或者虽有具体的解析表达式,但维数很高时,舍入误差的累积对计算结果会产生很大影响,这些因素都会使求目标函数的最优值增加很大的困难,因此希望采用一种不计算目标函数的导数而只计算其函数值的方法,其中单纯形方法就是一种常 用 的不计算导数的直接最优化方法。采用单纯形法求线性规划问题的最优解的计算步骤如下%?&对有个不等式约束条件的 线性规划 问题,引入个松驰变量,使个不等式 约束条件变为个等式约束条件。常用 的松驰变量为1二)。卜%至乌?,!,&%0一00&一=乒一%&一一一一%。早:&一一一一%&一,&一一亨,#了一一%!&选择基准解,即由代数运算可知,对有个等式约束条件,有。个变量 的线性规划问

13、题,任意选择%一&个独立变量,则余下的个变量则不再是独立 的,即由%。一。&个独立变量定义了一个线性规划问题。%5&重新排列约束条件,目标函数式 中的变量,使在方程式等号左边第一列表示第一 次基准解的 基准变量。%&用单纯形表格表示方程组?。单纯形表是由独立变量和常数作列,由松弛变量 和目标函数作行构成的方 阵 表格。在单纯形表中每个元素是方程组中对应变量的系数。单纯形表中第一行表示第一个约束方程,第二行表示第二个约束方程等等,最后一行表示目标函数方程式。单纯形表中从左起第一列表示基准变量,第二列表示 常数项,自第三列依次表示独立变量)。%6&选择交换变量,所谓 交换变量是指加到 基准变量或从

14、基准变量中消去的变量。选择交换变量 的方法如下?。若求目标函数的最大值,则选择(行中的最小值,若求目标函数的最小值,则选择(行中的最大值,对应列所定义的非基准变量作为列 的交换变量。将这一列 的元素值与常数项一列的元素数值的比值中的最小的正值对应的一行的基准变量作为行的交换变 量。%0&作单纯形表的变换,从几何意义来说,单纯形表的变换表示从一个基本解变换到另一个基本解,从单纯形表的变换中搜索最优解。单纯形表的变换方法如下?。定义主行,主列。与行交换变量对应的行称主行,与列 交换变量对应的列称主列。主行中任何一个元素用表示,主 列中任何一个元素用。表示,主行与主列相交点对应的元素称为主 元素,用

15、,表示。在单纯形表格中相应的位置如下图所示。以主元素,的倒数作为新的单纯形表的对应的主元素数值。主行 中其他元素值为%劲。2主歹。中其他元素值为%一令&。非主行、主列 的其他空格元素的数值按下式计算八、一一(、3约%0一0=&式中,为原单纯 形表中对应位置的元素的数值。%=&按上述方法,反复变换单纯形表,直至获得所要求的 目标函数的最优值为止。停止单纯形表变换的判 别标准?。当求目标函数的最大值时,若在最后一行的全部元素的数值均为正值。当求目标函数的最小值时,若在最后一行的全部元素的数值均为负值。此时常数项一列对应的元素的数值即为所求的最优解。应该指出、单纯形法求线性规划问题的最优解虽有一些明

16、显的优 点,但也存在一些应该 注意的问题?在单纯形变换过程中,第一个基准点的选择可能不很 明显,或者可能不存在。?在构造第一个单纯形表时,必须选择引入的基准变量,当求目标函数的最大值时,选择最小负值 当求目标函数的最小值时,选择最大正值。很明显,如果仅仅保留柏反符号 的系数,则对目标函数没有进一步的改进。但是,如果一些系数相等或为零,可能一!#,使才解一没的利润达到最大值呢_)%工艺流程的净利润为?,!,6&表示第个%元天&,则 目标函数%?&,艺一一有多重解。从基准点消去变 量是 由选择的列与第一列 的最小的正比值。但是,有时可能不存在正 的比值,或仅仅有零值,或者有两个或两个以上的最小比值

17、时,可能有无限多个解或退化解。例一某化工厂以四种原料%、&、采用五种流程生产四种化工产品、壬。各种原料的分配定额及单价如表所示。五种工艺流程所需原料及生易比例及单位产品的价格如表一一(乙个工艺流程的操作费用如表一一)主表一一)中,流程、+的操作设,.二/,(,+0表示第.个工艺流程在利润为12时每天所耗原料%的公斤数。则第.个工艺流程的净利润为21#产3异2悄售的收入一操作费十原料费0(0由此对各个工艺流程可算出2,口4了、飞56555习不同,此外在流程中,产品7的能力为!+公斤8 天,当超过此生产必须采用流程+。要求在五种不同,9二:;9 9,:交一。,(7?甲公台苏上仕上有9含伙就、,、一

18、一产的产所示。所示。费用略最大生能力时+/一)(一)一一一一为丸的工艺流程中如何分配四种数量有限 的原表一一/原料的分配定额及价格原淞。大的分配 定额,公斤8天价格,元8公斤又设,、,、.二/,(,+0分另96表示第.个工艺流程在利润为1 时所耗原料&、的公斤数。则由表一一(的数值可分别算出2、5 534 935955355955555 9一普一1,一警一巩,/二气异,)艺!二一玩玩 8玩饥:。!。.)#。!)3。#)#)表一一#原料、产吕,的比例及单位产 品价格潇袄甭 置 薪,一县汗!下”一=”!卜一一厂下一一:一一/产品数量=公斤产品价格,元#公斤程)!一,肠)乐#乐乐乐.,/.,/,/!

19、,/!,/:,曰勺?八1陌 曰八”曰 11=!扭!=:门盆,乙吸 心 乙引丁99:8 8=999 8!:9一!#.3=!表一一.各工艺流程的操作费用工 艺流程操作费,元+公斤物料6令6 兮十 兮6 6今6令 666令十净7666今=)元+公斤,/)元+公斤,/)元+公斤,/=)元+公斤,/=)元公 斤,/=)元公斤,/=)元+公斤,/#)元+公斤,/:)乙”几石一一2,.2.!只,二?身(;5)百?使目标函数一全)%&肠?一!一一一一5;。民二二二一二七 9片+再设、表示工艺流程在利润为)、时每天生产产品的公斤数,则得达到最大值。由 于式%=&共有五个不等式约束条件,所以引入五个松弛变量)。、

20、)=、)、)。、),。,使不等式约束条件变换为等式约束 条件如下一6一%会”6”8二!。8会、!6.8也、!.8也、6.88丛又!如一李?6一6%6&约束条件如下%0&泊川川州、叫叫 八八97(住八.上乙 蕊镇、?认,艺问6沉/#,艺代入20,0,?,%。值,则得到以(表示的约束条件。所给问题的数学模型如下0求(,(,(,(。/满足下述 不等式约束条件0。=。,.=!=#一1八小、#”6“”#6管”.6言”6含”镇3”“、(:6(6合一6普一6普(簇.。合(6(0、!。(6合6(8、#。(3镇.)(/),#,/、=。,.,!=#,=“几6“”#6管”.6言“36含”6十(=3)二!。,”十”0

21、6言”.6言”6言”。6=十(.)(。6(8一4=!二。尸。”.6含(6(86(。二“”(6(#).)(多),!=,#,=)目标函数变换为01卜一艺(一,/一!作原始单纯形表如表一一3所示。表一一3初始单纯 形表赢爵哭!毛一卜!一!一(。3。000川!+.!0+.(,.):!+#+.(04!),)!(,#)!)!+#:(,。.):)1,一)!选择交换变量,由于式,/变换为求1,最小值问题,则选择1,一行中的元素 最大值所对应的列作为交换变量,由表一一3看出,由于1,行中各元素均等于!,所以任意选择其币一个元素所对应的 列如。,作为列交换变量再将(0列 的元素数值 与 常数项一列的元 素数值 的

22、 比值中的最小正俏一了一%!.&对应的一行%)。&作为行交换变量。作单纯形表变换,按前述变换法则,以?)卜)。分别作为主列、主行,分别按万、表0一0一了第三次变换的单纯形表;,#月一一甲山,州 斤叶一止丛一戈旦几一?、:一、?1。?赢赢截 /0 0 0!,?6粤粤=?!?!号号 汀汀?.?56 6 6 .?6.?!.?.?!(5.?.一一一!一冬冬?.吕吕吕吕5 5 5 5 5?=5 5 5?!由表0一0一=看出,由于川于的元 素的数值仍有正值,所以继续选择)。、)。作为交换变量,按前述方法计算新 的单纯形表各元素 的数值,如表0一0一 所示。表0一0一 第四次变换的单纯形表由表0一0,6看出

23、,由于(,行的元素的数值还 有正值,一则继 续进行单纯形表变换。按前述变换法则,选择)、)。分别作为主?!,7 7 76!=?列、主行,了?早入工一旦二“。、继续 分别按;?0,。乙二获 了】?】乙乙;!:!6了一二一一一万一,”;=。,。?.乙下?乙?二9#!。:一?一5”几(,一 5.了丛 旦一卜上(+了!=!?!.?.一肚!=玉)?)+】),&)/?)1?,?合工万川立;工生!:5由表0一0一 可以看出,由于(,行的元素的数值已经全部为负值,则停止单纯形表变换,最优解为。二了!丝,!=?=冬,5。,6=号&目标函数的最 优值日厂肠卜日而?.?.(!.?一!民工口 卜脚?行 臼 1心八 几

24、乙31一#.1,带一.)丝#由表一一看出,由 于1,行 的元素的数值仍有正值,所以继续选择(。、(,作为交换变量,按前述方法计算新的单纯形表各元素的熬汽如表“一“一所示0即化工厂 的最大利润为0,一.“器元+天,下转 第 页一只一吧万.。0.6!参考文献.”.?5?!7.。?0.!)7.=56。”7由式%?=&.6!0台.66?操作数据。,二不一那!一峥”计算值与实验值的对比结果见图6。由图可见其符合馒度是令人满意的。图6计算结果和操作数据的对比【?燃料化学工业部石油 化工规划设计院石油 化 工设计参戈资料%七&“流化床反应器的调查资料”、;%盯!&#!浙江大学,石油化?0,0%?=&5?沈阳

25、化工研究院,沛化床反应器放大技术述评%?=、&渡会正三化学工学,?.?%?=&【0 科学院山西 煤化所 等,化学工程,【,招%?=&0,?,3二?0%?了=&=?华东石油学赊等译流态化工程0 0【科学院化物所,丁烯邻化脱氢催 化剂应用动 力学,初步考察,%?了&【?科学院化物所等,中?6 挡板流化床微球催化剂试验,%?0幻一【?.科学院山西煤化所等,中.多旋挡板流化床丁烯;氢化脱氢第三次实验,%?了.&?科学院山西煤化所等,丁烯氧化脱氢制取丁二始过程的开发%反应&?!(?/21?/1,“)/2/23歌/1”%?05&。?56,/,(,!?,%?=6&?“)/2/?/交.?1,?%?=0&上接第=?页,忘。非线性规划的线性化方法非线性规划的线性化方法有很多种,但基本思路都是将原始的非线性规划 问题,采用适当们线&争化友法,将非线性规划 问题转换为一个等价的线性规 划问题,然后 用线性规划方法求最优解。在化工最优设计中常使用 的非线性规划 的线 性化方法有%?&线性化近似方法,%!&二次规划,%5&可分离规划,%&切割平面法,%6&近似规划法等。这些方法的详细讨论见文献。待续一6?一