中学数学竞赛讲座及练习(第21讲)实数.doc

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1、第二十一讲 实数的若干性质和应用实数是高等数学特别是微积分的重要基础在初中代数中没有系统地介绍实数理论，是因为它涉及到极限的概念这一概念对中学生而言，有一定难度但是，如果中学数学里没有实数的概念及其简单的运算知识，中学数学也将无法继续学习下去了例如，即使是一元二次方程，只有有理数的知识也是远远不够用的因此，适当学习一些有关实数的基础知识，以及运用这些知识解决有关问题的基本方法，不仅是为高等数学的学习打基础，而且也是初等数学学习所不可缺少的本讲主要介绍实数的一些基本知识及其应用 用于解决许多问题，例如，不难证明：任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数，或者说，有理数对加、减、乘、除(零不能做除

2、数)是封闭的性质1 任何一个有理数都能写成有限小数(整数可以看作小数点后面为零的小数)或循环小数的形式，反之亦然例1分析 要说明一个数是有理数，其关键要看它能否写成两个整数比的形式证 设两边同乘以100得-得99x=261.54-2.61=258.93，无限不循环小数称为无理数有理数对四则运算是封闭的，而无理是说，无理数对四则运算是不封闭的，但它有如下性质 性质2 设a为有理数，b为无理数，则(1)a+b，a-b是无理数；有理数和无理数统称为实数，即在实数集内，没有最小的实数，也没有最大的实数任意两个实数，可以比较大小全体实数和数轴上的所有点是一一对应的在实数集内进行加、减、乘、除(除数不为零

3、)运算，其结果仍是实数(即实数对四则运算的封闭性)任一实数都可以开奇次方，其结果仍是实数；只有当被开方数为非负数时，才能开偶次方，其结果仍是实数例2分析证所以分析 要证明一个实数为无限不循环小数是一件极难办到的事由于有理数与无理数共同组成了实数集，且二者是矛盾的两个对立面，所以，判定一个实数是无理数时，常常采用反证法证 用反证法所以p一定是偶数设p=2m(m是自然数)，代入得4m22q2，q22m2，例4 若a1+b1a=a2+b2a(其中a1，a2，b1，b2为有理数，a为无理数)，则a1=a2，b1=b2，反之，亦成立分析 设法将等式变形，利用有理数不能等于无理数来证明证 将原式变形为(b

4、1-b2)a=a2-a1若b1b2，则反之，显然成立说明 本例的结论是一个常用的重要运算性质是无理数，并说明理由整理得由例4知aAb，1=A，说明 本例并未给出确定结论，需要解题者自己发现正确的结有理数作为立足点，以其作为推理的基础例6 已知a，b是两个任意有理数，且ab，求证：a与b之间存在着无穷多个有理数(即有理数集具有稠密性)分析 只要构造出符合条件的有理数，题目即可被证明证 因为ab，所以2aa+b2b，所以说明 构造具有某种性质的一个数，或一个式子，以达到解题和证明的目的，是经常运用的一种数学建模的思想方法例7 已知a，b是两个任意有理数，且ab，问是否存在无理数，使得ab成立？即由

5、，有存在无理数，使得ab成立b4+12b3+37b2+6b-20的值分析 因为无理数是无限不循环小数，所以不可能把一个无理数的小数部分一位一位确定下来，这样涉及无理数小数部分的计算题，往往是先估计它的整数部分(这是容易确定的)，然后再寻求其小数部分的表示方法14=9+6b+b2，所以b2+6b=5b4+12b3+37b2+6b-20=(b4+26b3+36b2)+(b2+6b)-20=(b2+6b)2+(b2+6b)-20=52+5-20=10例9 求满足条件的自然数a，x，y解 将原式两边平方得由式变形为两边平方得例10 设an是12+22+32+n2的个位数字，n=1，2，3，求证：0.a

6、1a2a3an是有理数分析 有理数的另一个定义是循环小数，即凡有理数都是循环小数，反之循环小数必为有理数所以，要证0.a1a2a3an是有理数，只要证它为循环小数因此本题我们从寻找它的循环节入手证 计算an的前若干个值，寻找规律：1，5，4，0，5，1，0，4，5，5，6，0，9，5，0，6，5，9，0，0，1，5，4，0，5，1，0，4，发现：a20=0，a21=a1，a22=a2，a23=a3，于是猜想：ak+20=ak，若此式成立，说明0.a1a2an是由20个数字组成循环节的循环小数，即下面证明ak+20=ak令f(n)=12+22+n2，当f(n+20)-f(n)是10的倍数时，表明f(n+20)与f(n)有相同的个位数，而f(n+20)-f(n)=(n+1)2+(n+2)2+(n+20)2=10(2n2+42n)+(12+22+202)由前面计算的若干值可知：12+22+202是10的倍数，故ak+20=ak成立，所以0.a1a2an是一个有理数练习三1下列各数中哪些是有理数，哪些是无理数？为什么？5设，为有理数，为无理数，若+=0，求证：=0