2013届高考数学一轮复习讲义：87立体几何中的向量方法(Ⅱ)求空间角与距离.ppt

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1、一轮复习讲义一轮复习讲义立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法()()求空间角与距离求空间角与距离 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点求异面直线所成的角求异面直线所成的角求异面直线所成的角求异面直线所成的角 求直线与平面所成的角求直线与平面所成的角求直线与平面所成的角求直线与平面所成的角求二面角求二面角求二面角求二面角 求空间距离求空间距离求空间距离求空间距离 利用空间向量求空间角利用空间向量求空间角点、线、面之间的位置关系点、线、面之间的位置关系空间几何体空间几何体空间几何体的结构空间几何体的结构空间几何

2、体的体积、表面积空间几何体的体积、表面积柱、锥、台、球的结构特征柱、锥、台、球的结构特征三视图与直观图的画法三视图与直观图的画法空间角空间角 角的范围角的范围图形图形计算公式计算公式线线角线线角线面角线面角面面角面面角ll法向量法法向量法注意注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角同进同出，二面角等于法向量夹角的补角 将将二二面面角角转转化化为为二二面面角角的的两两个个面面的的方方向向向向量量(在在二面角的面内且垂直于二面角的棱二面角的面内且垂直于二面角的棱)的夹角的夹角.DCBA方向向量法：方向向量法

3、：设二面角设二面角-l-的大小为的大小为，其中其中l点点P在棱上在棱上点点P在一个半平面上在一个半平面上点点P在二面角内在二面角内pABABpABOp定义法定义法三垂线定理法三垂线定理法垂面法垂面法作二面角的平面角的常用方法作二面角的平面角的常用方法 l 1.定义法定义法3.垂面法垂面法2.垂线法垂线法空间角空间角图形图形角的范围角的范围计算公式计算公式线线角线线角线面角线面角面面角面面角求点到平面的距离求点到平面的距离定定义义:一一点点到到它它在在一一个个平平面面内内的的正正射射影影的的距距离离叫叫做做点点到到平平面面的的距距离离.即即过过这这个个点点到到平平面面的的垂垂线段的长度线段的长度

4、.ABO方法方法2:等体积法求距离等体积法求距离.方法方法1:利用定义先做出过这个点到平面的垂利用定义先做出过这个点到平面的垂线段线段,再计算这个垂线段的长度再计算这个垂线段的长度.APO 点点P为平面外一点，点为平面外一点，点A为平面内的任一点，平为平面内的任一点，平面的法向量为面的法向量为n,过点过点P作平面作平面 的垂线的垂线PO，记，记PA和和平面平面 所成的角为所成的角为.则点则点P到平面的距离到平面的距离求点到平面的距离求点到平面的距离方法方法3:向量法向量法空间的角空间的角异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角空间的距离空间的距离点到平面的距离直线与平面所成的距离平行平面之间的

5、距离相互之间的转化直线与平面所成的角直线与平面所成的角异面直线所成的角异面直线所成的角定义法定义法法向量法法向量法方向向量法方向向量法则则D(0,0,0),A(2,0,0),O(1,1,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2)，(1)正方形正方形ABCD，OCDB.PD平面平面ABCD,OC平面平面ABCD，PDOC.CPO为为PC与平面与平面PBD所成的角所成的角.所以所以PC与平面与平面PBD所成的角为所成的角为300.解解:如图建立空间直角坐标系如图建立空间直角坐标系Dxyz,PD=AD=2,又又DBPD=D,OC平面平面PBD.(2)设平面设平面PAC的法向量为的法向

6、量为 令令 x=1,则则 y=1,z=1，所以所以D到平面到平面PAC的距离的距离(3)假设在假设在PB上存在上存在E点，使点，使PC平面平面ADE，所以存在所以存在E点且点且E为为PB的中点时的中点时PC平面平面ADE.【点评点评】这类探索问题用向量法来分析容易发现结论这类探索问题用向量法来分析容易发现结论.由由 PCAE,PCDE,得得此时此时E(1,1,1).ACDEB例例2 解解：()设平面设平面ADE的法向量为的法向量为所以所以，设平面设平面ABE的法向量为的法向量为（）由（由（）得，）得，解解:求二面角求二面角P-BC-D的余弦值大小；的余弦值大小；所以所以二面角二面角P-BC-D

7、的余弦值大小是的余弦值大小是求点求点D到平面到平面PBC的距离的距离.求二面角求二面角P-BC-D的余弦值大小；的余弦值大小；所以所以二面角二面角P-BC-D的余弦值是的余弦值是因为二面角因为二面角P-BC-D的大小是锐角的大小是锐角,求点求点D到平面到平面PBC的距离的距离.xyzHADCBM证明：证明：(1)连结连结AC1交交A1C于于E，连结，连结DEAA1C1C为矩形，则为矩形，则E为为AC1的中点的中点又又D是是AB的中点，的中点，在在ABC1中，中，DEBC1.BC1平面平面CA1D.又又DE平面平面CA1D，BC1 平面平面CA1D，EE(1)证法二：证法二：(1)证法三：证法三

8、：A1B1C1ABCDD1又又AA1ABA，CD平面平面AA1B1B.又又CD平面平面CA1D，平面平面CA1D平面平面AA1B1B.又又AA1平面平面ABC，CD平面平面ABC，AA1CD.证明：证明：(2)ACBC，D为为AB的中点，的中点，在在ABC中中，ABCD.【例例】如右图，四棱锥如右图，四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD是是DAB60的菱形，侧面的菱形，侧面PAD为正三角形，其所为正三角形，其所在平面垂直于底面在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：求证：ADPB；(2)若若E为为BC边的中点，能否在棱边的中点，能否在棱PC上找到一点上找到一点F,使平面使平面DEF平面平面A

9、BCD，并证明你的结论，并证明你的结论解：解：如右图如右图(1)取取AD的中点的中点G，连结，连结PG，BG，BD.PAD为等边三角形，为等边三角形，PGAD.又又平面平面PAD平面平面ABCD，PG平面平面ABCD.在在ABD中中,DAB60,ADAB，ABD为等边三角形为等边三角形,BGAD.ADPB.AD平面平面PBG.又又PB 平面平面PBG，G(2)连结连结CG，DE，且，且CG与与DE相交于相交于H点，点，在在PGC中作中作HFPG,交交PC于于F点点,连结连结DF.平面平面DHF平面平面ABCD.PG平面平面ABCD.FH平面平面ABCD.又又 FH 平面平面DHF，即即F为为P

10、C的中点时，平面的中点时，平面DEF平面平面ABCD.H是是CG的中点，的中点，F是是PC的中点的中点.则则D(0,0,0),A(2,0,0),O(1,1,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2)，(1)正方形正方形ABCD，OCDB.PD平面平面ABCD,OC平面平面ABCD，PDOC.CPO为为PC与平面与平面PBD所成的角所成的角.所以所以PC与平面与平面PBD所成的角为所成的角为300.解解:如图建立空间直角坐标系如图建立空间直角坐标系Dxyz,PD=AD=2,又又DBPD=D,OC平面平面PBD.(2)设平面设平面PAC的法向量为的法向量为 令令 x=1,则则 y=

11、1,z=1，所以所以 D 到平面到平面PAC的距离的距离 注：可用等体积法注：可用等体积法(3)假设在假设在PB上存在上存在E点，使点，使PC平面平面ADE，所以存在所以存在E点且点且E为为PB的中点时的中点时PC平面平面ADE.【点评点评】这类探索问题用向量法来分析容易发现结论这类探索问题用向量法来分析容易发现结论.由由 PCAE,PCDE,得得此时此时E(1,1,1).APBCozxy设设 的夹角为的夹角为,APBCozxyAPBCozxy提示：设正方形提示：设正方形ABCD的边长为的边长为2a 要求：本题要求：本题三问三问全部用坐标法全部用坐标法 45xyzxyzONPBAFEM 【2】

12、(09浙江浙江)如下图，在长方形如下图，在长方形ABCD中中,AB2，BC1，E为为DC的中点，的中点，F为线段为线段EC(端点除外端点除外)上上一动点现将一动点现将AFD沿沿AF折起，使平面折起，使平面ABD平面平面ABC.在平面在平面ABD内过点内过点D作作DKAB，K为垂足设为垂足设AKt，则，则t的取值范围是的取值范围是_.KM此题的破解关键可采用二个极端位置法，即对此题的破解关键可采用二个极端位置法，即对于于F位于位于DC的中点时，的中点时，t=1，随着，随着F点到点到C点时，点时，因因CBAB,CBDK,所以所以CB平面平面ADB，即有，即有CBBD，对于，对于CD=2,BC=1,

13、所以所以BD=3，又，又AD=1,AB=2，因此有，因此有ADBD，则有，则有t=0.5，因，因此此t的取值范围是的取值范围是(0.5,1).此题通过折叠问题，主要考查立体几何的此题通过折叠问题，主要考查立体几何的线面、面面垂直的位置关系，考查解决动点问线面、面面垂直的位置关系，考查解决动点问题的极端化原理题的极端化原理 【3】下下列列五五个个正正方方体体图图形形中中,l 是是正正方方体体的的一一条条对对角角线线，点点M,N,P分分别别为为其其所所在在棱棱的的中中点点，能能得得到到 l 平平面面 MNP 的的图图形形的的序序号号是是_.PNMC1D1B1A1CDAB 【15】如图如图:直三棱柱直三棱柱ABCA1B1C1的体积为的体积为V，点，点P、Q分别在侧棱分别在侧棱 AA1和和CC1上上,PA=QC1，则，则四棱锥四棱锥BAPQC的体积为的体积为()CQPC1B1A1CBA