初一竞赛讲座b.doc

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1、初一数学竞赛讲座(一)自然数的有关性质 一、知识要点 1、 1、 最大公约数 定义1如果a1,a2,an和d都是正整数，且da1,da2, dan ，那么d叫做a1,a2,an的公约数。公约数中最大的叫做a1,a2,an的最大公约数，记作(a1,a2,an). 如对于4、8、12这一组数，显然1、2、4都是它们的公约数，但4是这些公约数中最大的，所以4是它们的最大公约数，记作(4,8,12)=4. 2、 2、 最小公倍数 定义2如果a1,a2,an和m都是正整数，且a1m, a2m, anm，那么m叫做a1,a2,an的公倍数。公倍数中最小的数叫做a1,a2,an的最小公倍数，记作a1,a2,

2、an. 如对于4、8、12这一组数，显然24、48、96都是它们的公倍数，但24是这些公倍数中最小的，所以24是它们的最小公倍数，记作4,8,12=24. 3、 3、 最大公约数和最小公倍数的性质 性质1 若ab,则(a,b)=a. 性质2 若(a,b)=d,且n为正整数，则(na,nb)=nd. 性质3 若na, nb,则 . 性质4 若a=bq+r (0rb), 则(a,b)= (b,r) . 性质4 实质上是求最大公约数的一种方法，这种方法叫做辗转相除法。 性质5若 ba,则a,b=a. 性质6若a,b=m,且n为正整数，则na,nb=nm. 性质7若na, nb,则 . 4、 4、 数

3、的整除性 定义3对于整数a和不为零的整数b，如果存在整数q，使得a=bq 成立，则就称b整除a或a被b整除，记作ba，若ba，我们也称a是b倍数；若b不能整除a，记作ba 5、 5、 数的整除性的性质 性质1 若ab，bc，则ac 性质2 若ca，cb，则c(ab) 性质3 若ba, n为整数，则bna 6、 6、 同余 定义4 设m是大于1的整数，如果整数a，b的差被m整除，我们就说a，b关于模m同余，记作 ab(mod m) 7、 7、 同余的性质 性质1 如果ab(mod m)，cd(mod m)，那么acbd(mod m)，acbd(mod m) 性质2 如果ab(mod m)，那么对

4、任意整数k有kakb(mod m) 性质3 如果ab(mod m)，那么对任意正整数k有akbk(mod m) 性质4如果ab(mod m)，d是a，b的公约数，那么 二、例题精讲 例1 设m和n为大于0的整数，且3m+2n=225. 如果m和n的最大公约数为15，求m+n的值 (第11届“希望杯”初一试题) 解：(1) 因为 (m,n)=15,故可设m=15a，n=15b，且(a,b)=1 因为 3m+2n=225，所以3a+2b=15 因为 a,b是正整数，所以可得a=1,b=6或a=b=3，但(a,b)=1，所以a=1,b=6 从而m+n=15(a+b)=15 7=105 评注：1、遇到

5、这类问题常设m=15a，n=15b，且(a,b)=1，这样可把问题转化为两个互质数的求值问题。这是一种常用方法。 2、思考一下，如果将m和n的最大公约数为15，改成m和n的最小公倍数为45，问题如何解决？ 例2有若干苹果，两个一堆多一个，3个一堆多一个，4个一堆多一个，5个一堆多一个，6个一堆多一个，问这堆苹果最少有多少个？ 分析：将问题转化为最小公倍数来解决。 解设这堆苹果最少有x个，依题意得 由此可见，x-1是2，3，4，5，6的最小公倍数 因为2,3,4,5,6=60，所以x-1=60，即x=61 答：这堆苹果最少有61个。 例3自然数a1，a2，a3，a9，a10的和1001等于，设d

6、为a1，a2，a3，a9，a10的最大公约数，试求d的最大值。 解由于d为a1，a2，a3，a9，a10的最大公约数，所以和a1+a2+a3+a9+a101001能被d整除，即d是10017 11 13的约数。 因为dak，所以akd，k1，2，3，10从而1001a1+a2+a3+a9+a1010d 所以 由d能整除1001得，d仅可能取值1，7，11，13，77，91。 因为1001能写成10个数的和：91+91+91+91+91+91+91+91+91+182 其中每一个数都能被91整除，所以d能达到最大值91 例4 某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有四位数码，从0001

7、到9999号，如果号码的前两位之和等于后前两位之和，则这张购物券为幸运券，如号码0734，因0+7=3+4，所以这个号码的购物券为幸运券。证明：这个商场所发购物券中，所有幸运券的号码之和能被101整除。(第7届初中“祖冲之杯”数学邀请赛试题) 证明：显然，9999的购物券为幸运券，除这张外，若号码为n的购物券为幸运券，则号码为m=9999-n的购物券也为幸运券。由于9999是奇数，所以m，n的奇偶性不同，即mn，由于m+n=9999，相加时不出现进位。就是说，除号码为9999的幸运券外，其余所有的幸运券可两两配对，且每对号码之和为9999，从而可知所有的幸运券的号码之和为9999的倍数。由10

8、19999，所以所有幸运券的号码之和能被101整除。 评注：本题是通过将数两两配对的方法来解决。 例5 在1，2，3，1995这1995个数中，找出所有满足条件的数来：(1995+a)能整除1995 a (第五届华杯赛决赛试题) 分析： 分子、分母都含有a，对a的讨论带来不便，因此可以将 化成 ，这样只有分母中含有a，就容易对a进行讨论。 解 因为(1995+a)能整除1995 a，所以 是整数，从而 是整数 因为1995 1995=32 52 72 192，所以它的因数1995+a可以通过检验的方法定出。注意到1a1995，所以 19951995+a3990 如果1995+a 不被19整除，

9、那么它的值只能是以下两种： 3 52 72=3675，32 5 72=2205 如果1995+a 能被19整除，但不被192整除，那么它的值只能是以下两种： 3 72 19=2793，52 7 19=3325 如果1995+a 能被192整除，那么它的值只能是以下两种： 7 192=252 7，32 192=3249 于是满足条件的a有6个，即从上面6个值中分别减去1995，得到 1680、210、798、1330、532、1254 评注：本题通过对 的适当变形，便于对a的讨论。讨论时通过将1995 1995分解质因数，然后将因数1995+a通过检验的方法定出。这种方法在解决数的整除问题中经常

10、使用。 例6 11+22+33+44+55+66+77+88+99除以3的余数是几？为什么？(第四届华杯赛复赛试题) 解 显然111(mod 3)，330(mod 3)，660(mod 3)，990(mod 3) 又 22=41(mod 3)，44141(mod 3)，5525(-1)5(-1)(mod 3)， 77171(mod 3)，88(-1)81(mod 3) 11+22+33+44+55+66+77+88+991+1+0+1-1+0+1+1+041(mod 3) 即所求余数是1 评注：用同余式求余数非常方便。 例7 已知： ，问a除以13，所得余数是几？(第三届华杯赛决赛试题) 分析

11、：将a用十进制表示成 ，1991除以13，所得余数是显然的，主要研究 除以13的余数规律。 解 mod 13，103(-3)3=-27-1， 1+104+1081-10+102=910，19912 a =-188，即a除以13，所得余数是8 例8 n是正偶数，a1,a2,an除以n，所得的余数互不相同；b1,b2,bn除以n，所得的余数也互不相同。证明a1+b1，a2+b2，an+bn除以n，所得的余数必有相同的。 证明 n是正偶数，所以n-1为奇数， 不是n的倍数， a1,a2,an除以n，所得的余数互不相同，所以这n个余数恰好是0，1，n-1.从而a1+a2+an0+1+(n-1)= 0(

12、mod n) 同样b1+b2+bn 0(mod n) 但 (a1+b1)+(a2+b2)+(an+bn)= (a1+a2+an)+( b1+b2+bn) 0(mod n) 所以a1+b1，a2+b2，an+bn除以n，所得的余数必有相同的。 例9 十进制中，44444444的数字和为A，A的数字和为B，B的数字和为C，求C 分析：由于101(mod 9)，所以对整数a0，a1，a2，an有 它表明十进制中，一个数与它的各位数字和模9同余。 根据上述结论有 CBA44444444(mod 9).所以只要估计出C的大小，就不难确定C 解：44447 (mod 9)，而73(-2)3=-81(mod

13、 9)， 所以 4444444474444=731481+17(mod 9)， 所以 CBA444444447(mod 9)， 另一方面，44444444(105)4444=1022220，所以44444444的位数不多于22220 从而A922220=199980，即A至多是6位数。所以B96=54 在1到53的整数中，数字和最大的是49，所以C4+9=13 在小于13的自然数中，只有7模9同余于7，所以C=7 评注：本题用了十进制中，一个数与它的各位数字和模9同余这个结论。根据这个结论逐步估计出C的大小，然后定出C。 三、巩固练习 选择题 1、两个二位数，它们的最大公约数是8，最小公倍数是

14、96，这两个数的和是( ) A、56 B、78 C、84 D、96 2、三角形的三边长a、b、c均为整数，且a、b、c的最小公倍数为60，a、b的最大公约数是4，b、c的最大公约数是3，则a+b+c的最小值是（） A、30 B、31 C、32 D、33 3、在自然数1，2，3，100中，能被2整除但不能被3整除的数的个数是( ) A、33 B、34 C、35 D、37 4、任意改变七位数7175624的末四位数字的顺序得到的所有七位数中，能被3整除的数的个数是( ) A、24 B、12 C、6 D、0 5、若正整数a和1995对于模6同余，则a的值可以是( ) A、25 B、26 C、27 D

15、、28 6、设n为自然数，若19n+1410n+3 (mod 83)，则n的最小值是( ) A、4 B、8 C、16 D、32 填空题 7、自然数n被3除余2，被4除余3，被5除余4，则n的最小值是 8、满足x,y=6，y,z=15的正整数组(x,y,z)共有 组 9、一个四位数能被9整除，去掉末位数后得到的三位数是4的倍数，则这样的四位数中最大的一个，它的末位数是 10、有一个11位数，从左到右，前k位数能被k整除(k=1,2,3,11)，这样的最小11位数是 11、设n为自然数，则3 2 n+8被8除的余数是 12、14+24+34+44+19944+19954的末位数是 解答题 13、求两个自然数，它们的和是667，它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商是120。 14、已知两个数的和是40，它们的最大公约数与最小公倍数的和是56，求这两个数。 15、五位数 能被12整除，它的最末两位数字所成的数 能被6整除，求出这个五位数。 16、若a,b,c,d是互不相等的整数，且整数x满足等式(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=9 求证：4(a+b+c+d) 17、一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积，这个数当然有许多约数是两位数，这些两位约数中，最大的是多少？ 18、求2400被11除，所得的余数。 19、证明31980+41981被5整除。