中考数学专题讲座 探索性问题.doc

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1、中考数学专题讲座 探索性问题概述：探索性题目一般作为压轴题或次压轴题出现，题目较难，难在结论不肯定，要通过探索证明或计算，得出结论，并给予肯定或否定回答：这种题目的结论有多样性，需要解题的周密考虑，解这种题目有两种方法：一种是假定结论成立，去证明它的可能性或存在性；另一种是从条件出发直接证明或计算回答存在或不存在典型例题精析 例1如图1，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 （1）如图2所示，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？（不必证明）

2、（2）如图3所示，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明； （3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别为S1、S2、S3表示，使S1、S2、S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件？并证明你的结论；（4）类比（1）、（2）、（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论 解：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则c2=a2+b2 （1）S1=S2+S3； （2）S1=S2+S3，证明如下： 显然：S1=c2，S2=a2，S3=b2，

3、S2+S3=（a2+b2）=c2=S1 （也可用三角形相似证明） （3）当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3证明如下： 所作三个三角形相似， =1， S1=S2+S3 （4）分别以直角三角形ABC的三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则S1=S2+S3 例2如图1，O1和O2外切于P，AB是O1和O2的公切线，A、B是切点，直线AP、BP分别交O2，O1于F、E （1）求证：AE、BF分别为O1、O2的直径； （2）求证：AB2=AEBF；（3）如图2，当图1中的切点P变为两圆一个交点时，结论AB2=AEBF还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由 分析：（

4、1）即证APE=BPF=90，过P作二圆公切线，可证明 （2）证明ABEBFA可得 （3）同样可证ABEBFA E=BAF，F=ABE中考样题训练 1如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别作饼速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动 ，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动 （1）求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式 （2）试在（1）中的抛物线上找一点D，使得以O、A、D为顶点的三角形与AOC全等，请直接写

5、出点D的坐标 （3）设从出发起运动了t秒，如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围（4）设从出发起，运动了t秒钟，当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由 2如图，O2与O1的弦BC切于C点，两圆的另一个交点为D，动点A在O1上，直线AD与O2交于点E，与直线BC交于点F （1）如图1，当点A在上时，求证： FDCFCE； ABEC；（2）如图2，当点A在上时，是否仍有ABEC？请证明你的结论 3如图，A和B是外离两圆，A 半径长为2，B的半径长为1，A

6、B=4，P为连结两圆圆心的线段AB上的一点，PC切A于点C，PD切B于点D （1）若PC=PD，求PB的长； （2）试问线段AB上是否存在一点P，使PC+PD=4？如果存在，问这样的P点有几个；并求出PB的值；如果不存在，说明理由；（3）当点P在线段AB上运动到某处，使PCPD时，就有APCPBD，请问：除上述情况外，当点P在线段AB上运动到何处（说明PB的长为多少；或PC、PD具有何种关系）时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线CP与B的位置关系，证明你的结论 4三月三，放风筝，图中是小明制作的风筝，他根据DE=DF，EH=FH，不用度量，就知道DEH=DFH请你用所学知识给予证明考前热身训

7、练 1填空题 （1）观察下列等式，你会发现什么规律？ 35=15，而15=42-1， 57=35，而35=62-1， 1113=143，而143=122-1， 将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来_ _（2）如图，以ABC的边AB为直径作O交BC于D，过D作O的切线交AC于E，使得DEAC，则ABC的边必须满足的条件是_ 2已知反比例函数y=（k0）和一次函数y=-x+8 （1）若一次函数和反比例函数的图象交于点（4，m），求m和k； （2）k满足什么条件时，这两个函数图象有两个不同的交点？（3）设（2）中的两个交点为A、B，试判定AOB是锐角还是钝角？ 3如图，在直角坐标系xOy中，

8、以点A（0，-3）为圆心作圆与x轴相切，B与A外切于点P，B点在x轴正半轴上，过P点作两圆的公切线DP交y轴于D，交x轴于C （1）设A的半径为r1，B的半径为r2，且r2=r1，求公切线DP的长及直线DP的函数解析式； （2）若A的位置大小不变，点B在x轴正半轴上移动，B与A始终外切，过D作B的切线DE，E为切点，当DE=4时，B点在什么位置？从解答中能发现什么？答案:中考样题看台1（1）y=x y=-x2+x （2）D（10，6） （3）当Q在OC上运动时，可设Q（m，m），依题意有：m2+（m2）=（2t）2 m=t，Q（t，t），（0t5） 当Q在BC上时，Q点所走过的路程为2t OC

9、=10，CQ=2t-10， Q点在横坐标为2t-10+8=2t-2， Q（2t-2，6）（5t10） （4）梯形OABC的周长为44，当Q点在OC上，P运动的路程为t，则Q运动的路程为（22-t） OPQ中，OP边上的高为：（22-t）， SOPQ=t（22-t），S梯形OABC=（180+10）6=84 依题意有：t（22-t）=84， 整理得：t2-22t+140=0=222-41400， 这样的t不存在 当Q在BC上时，Q走过的路程为22-t， CQ的长为：22-t-10=12-t， S梯形OCQP=6（22-t-10+t）=3684， 这样的t值也不存在 综上所述，不存在这样的t值，使

10、得直线PQ同时平分梯形的周长和面积2（1）BC切O2于C，ECF=CDF，又F=F，FDCFCE又ADC=ABC，ECF=CDF，ABC=ECF，ABEC （2）有ABEC，证明：BC切O2于C，BCE=D，又ABCD内接于O1，ABF=D，BCE=ABF，ABEC3（1）PC切A于点C，PCAC，PC2=PA2-AC2，同理PD2=PB2-BD2，PC=PD，PC2-AC2=PB2-BD2，设PB=x，PA=4-x代入得x2-1=（4-x）2-22，解得x=，12） （2）假定有在一点P使PC2+PD2=4，设PB=x，则PD2=x2-1，PC2=（4-x）2-22，代入条件得（4-x）2-

11、22+x2-1=4，解得x=2，P在两圆间的圆外部分，1PB2，即1x2，满足条件的P点只有一个，这时PB=2-（3）当PC：PD=2：1或PB=时，也有PCAPDB，这时，在PCA与PDB中（或），C=D=Rt，PCAPDB，BPD=APC=BPE（E在CP的延长线上），B点在DPE的角平分线上，B到PD与PE的距离相等，B与PD相切，B也与CP的延长线PE相切4证明：连结DH在DEH和DFH中， DEHDFH，DEH=DFH考前热身训练1（1）（2n-1）（2n+1）=（2n）2-1 （n2） （2）等腰三角形（AB=AC）2（1）m=4，k=16， （2）k16且k0 （3）当0k16时，AOB为锐角，当k0时，AOB为钝角3（1）直线DP的解析式为：y=-x+2 （2）DE=DP，RtAPDRtAOB，BO=DP=4，点B（4，0），可以看出，四边形OBED是矩形，或切线DP的长等于B的横坐标