高数讲座-线面积分选讲.pdf

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1、 1 一一.第一类线面积分的简化第一类线面积分的简化 充分利用积分曲线与曲面的方程与对称性.例例.求2222LIxyxyxyds,其中22:11L xy.解.222222222LLLIyyy dsydsds.例例.求Ixyz ds,其中2221:0 xyzxyz.解.1233Ixydsxy dsxyyzzx dsxyz ds 22221110663xyzxyzdsds .注注.求23Ixyz ds,其中2221:0 xyzxy.解.32333002Ixyz dsxdszdsxy ds.例例.求223IxyzdS,其中222:2xyzy.解.222222222342222IxyzdSxydSxy

2、zdS 441416ydSydSdS.二二.第二类线面积分的估值第二类线面积分的估值 例例.设33cos:02sinxatLtyat ,逆时针方向,222LydxxdyF axxyy,证明:lim0aaF a.解.设222yPxxyy,222xQxxyy,则 LF aPdxQdy 2 222222,max6maxnLLLP Qe dsPQ dsPQdsaPQ,而 22222xyxxyy,得222223322222432xyPQaxxyyxy,故 2192F aa,因此 lim0aaF a.例例.设为圆柱体22004 13xxyyz的外表面,证明:22cossin 216 3xy dydzxyd

3、zdxdxdy.证.3nnA dSA edSA e dSA dSdS,证毕.注注.第二类线面积分的估值除了转化为第一类线面积分,也可以 用格林公式和高斯公式转化为重积分.例例.设22:0L xyxy,逆时针,证明:22cossin2Lxy dyyx dx.证.左式2222cossincossin22DDyxdxxd,证毕.例例.设22:1L xy,逆时针,证明:sinsin222545yxLxedyyedxxy.证.左式sinsinsinsinsinsin222254545yxyxyxLDDxeyeeeeedydxdyxyx sinsin122555xxDDeedd,即得,证毕.三三.第二类线

4、积分的计算第二类线积分的计算 例例.求224LxdyydxIxy,其中L从1,0A 沿21yx 到1,0B,然后 再沿直线到1,2D 的有向曲线.3 解一.cos:sinxtAByt,:0t,:1BD yx ,:11x,故 012221374cossin521288dtdxIttxx;解二.由于QPxy,故取1,1C ,1,1E,1,2F,则 ACCEEBBFFDI;解三.除原点,QPxy,取222:4Cxyr,逆时针,则L DADAI 2220222241172488CDAxyrxdyydxdydxdyrry.注注.若在区域D内QPxy,则(1)当D单连通时,0CPdxQdy;(2)当D内有

5、洞时,对所有绕洞的闭曲线C,CPdxQdy常数.例例.求22222222222222LyyxxIdxdyxyxyxyxy,其中22:9L xy,取逆时针方向.解.取2221:2Lxyr,2222:2Lxyr,均为逆时针方向,则 12LLI,而 112222222222222rLLByyxxdxdydrrrxyxy,类似地,22L ,故224I .例例.求222xyz dxyzx dyzxy dzIxyz,其中的为曲线 22211xyzxyz上逆时针从1,0,0A到0,0,1B的一段弧.4 解一.2221:1xyzxyz在xOy上的投影为22:0 xxyyxy,22223xyxxyy ,故222

6、2032xxyyxy 2211333,令111cossin33113cos11133cossin1333sin3121cos33xtttytttzxyt,又:013zt ,故328393Idt .解二.121 21 21 2BABAIz dxx dyy dzII,其中 11,1,1rot 12,12,123121212nijkIzxye dSdSxyzzxy 11,1,16621 232,2,233 32333IdSdS ,1120012 11221Ixdxdxxdx,故839I.注注.是边长为2的等边三角形的外接圆减去一个小圆缺.解三.代入1zxy,则221Ixydxxy dy 104318

7、2216216139693DOAOAxdxdxdx .注注.求22222223Iyzdxzxdyxydz,其中1:2xyxyz,从z轴正向看为逆时针方向.5 解.代入2zxy,则2222223242Ixyzdxxyzdy 12221224xyxyDDxy dd .例例.求22222ydxxdyz xydzIxy,其中22221:1xyabxyz,从z轴正向 看逆时针.解.2222rot,20yxzxyxy,但是张成的曲面均与z轴有交点,故不能直接用斯托克斯公式,注意到对所有逆时针围绕z轴的1,与1均张成一个围绕z轴的曲面,故111I,于是 取2211:0 xyz,则122DIydxxdyd.四

8、四.第二类面积分的计算第二类面积分的计算 注注.若12 关于xOy面对称,1与2在xOy面上的投影相反,则当,R x yzR x y z时,0R x y z dxdy;当,R x yzR x y z 时,1,2,R x y z dxdyR x y z dxdy.例例.求Iyz dydzzx dzdxxy dxdy,其中为半球面 224zxxy被222xyx截下部分的上侧.解.由于关于xOz面对称,故Iyz dydzxy dxdy,又 22222424220 xxyxzzxxyzxzyzzz,yyzz,故 22,0,1xyxIyzxydxdyyzxydxdyzzz 222222224224xyD

9、xyxxyxxyxyddxxy.6 例例.求2222coscoscosdydzdzdxdxdyIxxyzz,其中2222:xyzR外侧.解.222,211,coscoscosx y zIdSxxyzzR 2222221211211coscoscoscoscoscosydSdSdSRxyzRxzRz 2222222222124tancosxyRdxdyRRxyRxy.例例.求32222xdydzydzdxzdxdyIxyz,其中22211:1025167xyzz 上侧.解.取2221:zrxy,22222211:0,12516xyzxyr,均取下侧,则12121312Ixdydzydzdxzdxdyr.注注.若22:212zxyz 外侧,可取221:24zxy上侧,222:11zxy 下侧,22223:xyzr外侧,则 121231231=Ixdydzydzdxzdxdyr 换曲面,再用高斯公式.