高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程》课件.ppt

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1、天体中一些行星和卫星运行的轨道是什么?椭圆罐车的横截面罐车的横截面哈雷慧星及其运行轨道学.科.网.椭圆形的尖嘴瓶椭圆形的餐桌学.科.网.椭圆形的精品 主要内容:学习如何建立椭圆的方程.然后利用方程研究它们的性质,并学习运用这些性质解决实际问题的一些简单实例.学.科.网.主 讲:安福全 2.2.1椭圆椭圆及其标准方程及其标准方程我们知道：在平面内到一定点的距离为定值的点的轨迹为圆；那么平面内与两个定点的距离的和为常数的点的轨迹是什么图形呢？数数 学学 实实 验验（1）取一条细绳，取一条细绳，（2）把它的两端固定在）把它的两端固定在板上的两定点板上的两定点F1、F2（3）然后用铅笔尖）然后用铅笔尖

2、（M）把细绳拉紧，在板）把细绳拉紧，在板上慢慢移动，看看画出上慢慢移动，看看画出的图形是什么？的图形是什么？F1F2M观察做图过程：观察做图过程：（1）绳）绳长应当大于长应当大于F1、F2之之间间 的的距离。距离。（2）由于）由于绳长固定，所以绳长固定，所以 M 与两个定点与两个定点 F1、F2的距的距离的和离的和也固定也固定。2a2c分析：（1）轨迹是怎么来的？（2）在这个运动过程中，什么是不变的？答：点M运动 得到的，且不论运动到何处，绳长是不变的！（即轨迹上任一点M与两个定点距离之和为同一常数2a，即：1.椭圆的定义椭圆的定义平面上与两个定点平面上与两个定点F1、F2的距离的和等于的距离

3、的和等于常数（常数（2a）（大于（大于F1F2）的点的轨迹叫做）的点的轨迹叫做椭圆。椭圆。定点定点F1、F2叫做椭圆的焦点。叫做椭圆的焦点。两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（2c）。椭圆定义的文字表述：椭圆定义的文字表述：椭圆定义的符号表述：椭圆定义的符号表述：F1F2M注意：注意：.（1）平面上平面上-这是大前提这是大前提.（2）动点）动点 M 与两个定点与两个定点 F1、F2 的距离的和是等于常数的距离的和是等于常数 2a；.（3）常数）常数 2a 要大于焦距要大于焦距 2c,即即ac;F1F2M .（4）当当2a2c时，轨迹是椭圆时，轨迹是椭圆.当当2a2c0)

4、.(-c,0)(c,0)线段线段F1F2的垂直平分线为的垂直平分线为y轴轴,建立如图所示的直角坐标系建立如图所示的直角坐标系:由由|F1F2|=2c(c0).则则 F1(-c,0)、F2(c,0)(x,y)移项得移项得两边平方得两边平方得移项化简得移项化简得两边再平方两边再平方)0(ba12222=+byax所求椭圆的方程为所求椭圆的方程为这个方程叫做这个方程叫做椭圆的标准方程椭圆的标准方程.它所表示的椭圆焦点在它所表示的椭圆焦点在x轴轴上，焦点上，焦点是是F1(-c,0）,F2(c,0)，且中心在原点，且中心在原点.这里这里c2=a2-b2.令 ，得)0(222=-bbca由定义可知，2a2

5、c,即ac；所以 ，化简得：椭圆的标准方程（椭圆的标准方程（1）注：注：1椭圆的焦点在椭圆的焦点在x轴上轴上 2焦点是焦点是F1（-c，0）、）、F2（c，0）3c2=a2-b2F1F2M0 xy 若椭圆的焦点在若椭圆的焦点在y轴上，轴上，则焦点是则焦点是 F1（0,-c）,F2(0,c),故其标准方程为：故其标准方程为：这里也有这里也有:c2=a2-b2.焦点在焦点在X X轴上的椭圆轴上的椭圆)0(ba12222=+byaxM(x,y)M(x,y)椭圆的标准方程（椭圆的标准方程（2）注：注：1椭圆的焦点在椭圆的焦点在y轴上；轴上；2焦点是焦点是F1（0，-c）、F2（0，c）3c2=a2-b

6、2 F1F2M0 xy练习1.判定下列椭圆的焦点在哪个轴上，并指明a、b，再写出焦点的坐标。答：在答：在 X 轴上。轴上。a=5,b=4;（-3，0）和（）和（3，0）答：在答：在 y 轴上。轴上。a=13,b=12;（0，-5）和（）和（0，5）答：在答：在y 轴上。轴上。判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分母大的那个焦点在分母大的那个轴上！轴上！（0，-1）和（）和（0，1）练习练习2.将下列方程化为标准方程，将下列方程化为标准方程，并判定焦点在哪个轴上，写出焦点坐标。并判定焦点在哪个轴上，写出焦点坐标。在上述方程中，在上述方程中，A、B

7、、C满足什么满足什么条件，条件，就就表示椭圆？表示椭圆？答：答：A、B、C同号，且同号，且A不等于不等于B。3.3.数学运用：数学运用：例例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两两个个焦焦点点的的坐坐标标分分别别是是(4,0)、(4,0),椭椭圆圆上一点上一点M到两焦点距离的和等于到两焦点距离的和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是）两个焦点的坐标分别是(0,2)、(0，2)，并且椭圆经过点并且椭圆经过点 解：解：（1）因为椭圆的焦点在）因为椭圆的焦点在x轴上轴上，所以设它的标准方程为，所以设它的标准方程为2a=10，2c=8，a=5，c=4.b2=a2-c

8、2=52-42=9.所以所求椭圆的标准方程为所以所求椭圆的标准方程为122=+9y25x（2）因为椭圆的焦点在）因为椭圆的焦点在y轴上轴上，所以设它的标准方程为，所以设它的标准方程为由椭圆的定义知，由椭圆的定义知，又又 c=2,b2=a2-c2=10-4=6.所以所求椭圆的标准方程为所以所求椭圆的标准方程为1.22=+6x10y练习练习3.写出适合下列条件的椭圆的标写出适合下列条件的椭圆的标 准方程。准方程。1 a=4，b=1，焦点在，焦点在 x 轴轴2 a=4，c=150.5，焦点在，焦点在 y 轴上轴上3a+b=10,c=50.5答案答案:(1)(2)(3)或或（1）椭圆的标准方程有几个？

9、）椭圆的标准方程有几个？答：两个。焦点分别在答：两个。焦点分别在 x 轴、轴、y 轴上。轴上。（2）给出椭圆标准方程，怎样判断焦点）给出椭圆标准方程，怎样判断焦点 在哪个轴上？在哪个轴上？答：在分母大的那个轴上。答：在分母大的那个轴上。（3）什么时候表示椭圆？什么时候表示椭圆？答：答：A、B、C同号时同号时。（4）求一个椭圆的标准方程需求几个量？）求一个椭圆的标准方程需求几个量？答：答：a,b,c中任意两个中任意两个。小结小结1 椭圆的定义椭圆的定义2 2 椭圆的标准方程椭圆的标准方程3 3 求椭圆标准方程的方法求椭圆标准方程的方法坐标法坐标法 待定系数法待定系数法例例 2 平面内有两个定点的

10、距离是平面内有两个定点的距离是6，写出到这，写出到这两个定点的距离的和是两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程的点的轨迹方程。解解（1）判断：和是常数，且常数判断：和是常数，且常数10大于大于两个两个定点之间的定点之间的距离距离6。故点。故点的轨迹是椭圆。的轨迹是椭圆。（2）取）取过两个定点的直线做过两个定点的直线做 x 轴，它的轴，它的线段垂直平分线做线段垂直平分线做 y 轴，建立直角坐标系，轴，建立直角坐标系，从而保证方程是标准方程。从而保证方程是标准方程。（3）根据）根据已知求出已知求出a、c，再推出，再推出a、b写出椭圆的标准方程。写出椭圆的标准方程。所求轨迹是椭圆，两个定点为焦点，用

11、所求轨迹是椭圆，两个定点为焦点，用F1,F2表示，表示，由椭圆的定义知：由椭圆的定义知：2a=10,2c=6,又又b2=a2-c2=16，解：解：故所求轨迹方程为故所求轨迹方程为 1162522=+yx （若以若以F1,F2所在直线为所在直线为y轴，线段轴，线段F1F2的中垂线为的中垂线为x轴，建立直角坐标系轴，建立直角坐标系.1162522=+xy则所求轨迹方程为则所求轨迹方程为 ）不妨以不妨以F1,F2所在直线为所在直线为x轴，线段轴，线段F1F2的中垂线为的中垂线为y轴，建立直角坐标系轴，建立直角坐标系.例例2 2 已知平面内两定点间的距离是已知平面内两定点间的距离是6，求到这两，求到这

12、两个定点的距离的和是个定点的距离的和是10的点的轨迹方程的点的轨迹方程.变题一变题一 已知平面内两定点间的距离是已知平面内两定点间的距离是6，求到这两，求到这两个定点的距离的和是个定点的距离的和是6的点的轨迹的点的轨迹.轨迹是以两定点为端点的线段轨迹是以两定点为端点的线段.变题二变题二 已知平面内两定点间的距离是已知平面内两定点间的距离是6，求到这两，求到这两个定点的距离的和是个定点的距离的和是4的点的轨迹的点的轨迹.无轨迹无轨迹 变题三变题三 已知已知ABC的一边的一边BC的长为的长为6，周长为，周长为16，求顶点，求顶点A的轨迹方程的轨迹方程.解：解：以以BC边所在直线为边所在直线为x轴，

13、轴，BC的垂直平分线为的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系轴，建立直角坐标系.则点则点A的轨迹方程为：的轨迹方程为：1162522=+yx(y0)1162522=+xy(x0)若以若以BC边所在直线为边所在直线为y轴，轴，BC的垂直平分线为的垂直平分线为x轴，建立直角坐标系轴，建立直角坐标系.则点则点A的轨迹方程为：的轨迹方程为：练习练习：1 已知三角形已知三角形ABC的一边的一边 BC 长为长为6，周，周长为长为16，求顶点，求顶点A的轨迹方程的轨迹方程答：答：1.例题例题与练习的求椭圆方程的方法叫做与练习的求椭圆方程的方法叫做“定义法定义法”2.操作程序：（操作程序：（1）根据）根据椭圆定义判断点的轨迹是椭圆椭圆定义判断点的轨迹是椭圆 （2）设）设椭圆标准方程，即用待定系数法椭圆标准方程，即用待定系数法 （3）由）由已知求出已知求出a和和b的值的值 （4）写出）写出椭圆的标准方程椭圆的标准方程作作 业业第第28页习题页习题2.2（1）第第1、2、3、4、5题题作业作业