数学分析专题研究导学.doc

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1、数学分析专题研究导学各位览阅学员好！欢迎进入数学分析专题研究导学。这里将介绍本课程内容，纲要和学习要求，提供相应的学习引导及学习方法以及资料讯息。一、 课程基本介绍 “数学分析专题研究”是中央广播电视大学数学与应用数学专业本科的一门必修课程。本课程4学分，72学时，第一学期开设。“数学分析专题研究”针对中央广播电视大学数学与应用数学专业师范类的学生。旨在数学分析的基础上，将已学过的数学分析知识（极限理论，微分学理论，积分学理论与级数理论）直接用到中学数学的研究。使学生加深对微积分学的理解，从高等数学的观点出发，利用高等数学的工具，对初等数学进行深入的研究，并能够建立起初等数学的严格的科学体系，

2、有利于学生更好地进行初等数学的教学。内容涉及集合 论的知识以及代数关系知识、数系扩充、基本函数讨论、极值问题并牵涉到泛函极值问题。 作为中央电大的统开课，本课程使用的教材为东北师范大学高夯编写的“高观点下的中学数学分析学”（高等教育出版社出版）。该教材无疑需要完善。学员可根据教学基本要求，学好所须基本知识，把握基本内容。有关须到后续课程学习的内容可作提前了解。相关的教学资料、大纲及学习要求指导可查阅中央电大开放教育网站（）和云南电大在线（http:/www. 点击云南电大在线）。在云南电大在线开设的本课程网页、本导学及所提供的作业解答将提供基本把握引导。二、 教学的学习要求及课程进程安排表 教

3、学要求中，尤其复习巩固时，对有关定义、定理、性质、特征等概念的要求，分“知道、了解、理解”三个层次；有关计算、解法、公式、法则等方法的要求，分“会、掌握、熟练掌握”三个层次。 4学分72学时课程表：章号内容课内学时IP学时备注1集合与映射8 2数集20 3函数12 4对数函数与指数函数8 5三角函数14 6极值问题10 合 计7230三、 学习环节与考核“数学分析专题研究”课程除上述教材外，还有随附上述教材的“数学分析专题研究学习指导”由中央电大的赵坚、顾静相编写，中央电大出版社出版。若学员要广览博阅，则各大高校如复旦大学、吉林大学、南京大学、北京大学的数学分析教材皆可参阅。 本课程中央电大

4、IP课程、在中央电大开放教育网站。但一般计算机传收效果不行。学员应充分利用各种教学资源勤学、自学，结合面授助学、自觉认真完成作业。独立完成作业是学好本课程的重要手段。本课程的理论推证较多，必须通过作业练习来加深对概念的理解和掌握，熟悉各种公式的运用，从而达到消化、掌握所学知识的目的。平时作业的完成是计入课程的最终考核成绩的每学期学生必须完成4次课程作业，作业内容由中央电大统一规定。中央电大和省市电大将对规定的作业的完成情况进行检查。任课教师必须认真批阅学生作业，并根据作业完成的情况对作业进行评分，给出平时作业成绩并计入学生期末总成绩。作业评分标准学生必须按规定时间交作业，态度认真，字迹工整，抄

5、写题目，解答题有解答过程。每次作业成绩按百分制计算，具体评分标准如下： 完成全部作业内容且正确率达到80%以上，得分80100； 未完成全部作业内容，但完成全部作业内容的60%以上正确率达到已做部分的80%以上，得分6079； 未完成全部作业内容，但完成部分占全部作业内容的60%以下，得分059； 抄袭作业按0分计算； 不按时交作业按0分计算。平时作业最终成绩按平均值确定。考试本课程的期末考试全国统一命题，统一评分标准，统一考试时间。学生本课程的成绩由期末考试成绩和平时作业成绩两部分组成，其中期末考试成绩占80，平时作业成绩占20。四、 教学内容与要求一、集合与映射（8学时）（一）教学内容本章

6、内容作为中学数学的基础1.集合的概念，包括集合，元素，包含，子集，相等。集合的运算，包括并、交、补。2.关系与映射笛卡尔积，二元关系，运算。映射，单射，满射，双射3.等价关系，商集。4.序关系，偏序集，有界，极大元，全序集，良序集。5基数，等势集，Bernstein定理。重点：集合，关系，映射，运算，等价关系，序关系。难点：商集、基数的概念。（二）教学要求1理解集合的概念，熟练掌握有关的运算。2.理解笛卡尔积，二元关系，运算关系等概念，理解映射、满射、单射、双射等概念，理解有关定理，掌握有关的例题。3. 理解等价关系及序关系，了解商集的概念，知道良序集；理解有关定理，掌握有关的例题。4. 理解

7、等势、基数等概念，知道Bernstein定理。二、 数 集 （20学时）（一）教学内容1. 自然数集有限集、自然数、加法、乘法结合律、交换律，乘法对加法的分配律，阿基米德原理，最小数原理，数学归纳法。2整数集从自然数集到整数集的扩充，整数的运算，算律，整数集的可列性。3有理数集从整数集到有理数集的扩充，有理数的运算及算律，有理数的可列性与稠密性。有理数的循环小数表示。4实数集是无理数，实数的四则运算，算律，实数集的连续性。5. 复数集复数的定义与运算，代数基本定理，复数集可排序；复数域不是有序域。重点：各种数集的定义与运算，数集扩充的目的与方法。难点：数集扩充的方法。（二）教学要求1.理解数系

8、扩充的基本思想，掌握数系扩充的基本方法。2.理解有限集、自然数、自然数集的定义，熟练掌握自然数集的加法、乘法运算及算律。3. 理解从自然数集到整数集的扩充，了解序结构，代数结构，掌握整数的运算及算律，了解整数集的可列性。4.了解从整数集到有理数集的扩充，了解序结构，代数结构，掌握有理数的运算及算律，了解有理数的可列性与稠密性，知道有理数的循环小数表示。5.知道是无理数，会实数的四则运算，算律，理解实数集的连续性。了解无限集（可列集）的概念。6.各种数系的序结构，代数结构，知道复数域不是有序域。三、 函 数(12学时)（一）教学内容1.函数的概念与运算，四则运算，复合运算，反函数，函数方程。2.

9、函数的连续与可微，连续的定义，左、右连续，导数与微分，微分的几何意义，近似计算（微分应用），微分学基本定理与应用。3.函数及其性质初等函数的概念，初等性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性。超越数，化圆为方的问题，超越函数，基本初等函数的超越性。重点：函数概念与性质，函数的分析性质在初等函数中的应用。难点：解函数方程，函数的有界性，超越函数。（二）教学要求1.理解函数的基本概念，熟练掌握函数的运算（四则、复合），理解反函数的概念，掌握函数方程解法。 2.理解函数的分析性质（函数的连续与可微，连续的定义，左、右连续，导数与微分），理解微分的几何意义，近似计算（微分应用），掌握微分学基本定理与应用并

10、能运用这些性质研究初等函数。3.理解基本初等函数的概念及初等性质。4.理解超越数、超越函数的概念，了解化圆为方的问题，掌握基本初等函数的超越性。四、 对数函数与指数函数（8学时）(一)教学内容1.对数函数的公理化定义对数函数的存在性，对数函数的唯一性。2.对数函数的其他定义对数函数的积分定义，对数函数的级数定义。3.指数函数指数函数的公理化定义，由特殊到一般的定义，指数函数的性质，指数函数的幂级数定义。4.一些应用复利的计算，生物种群的增长。重点：对数函数与指数函数的各种定义。难点：对数函数的存在性定理。（二）教学要求1.理解对数函数的各种定义，掌握对数函数的性质，能够运用分析的工具研究对数函

11、数。2. 理解指数函数的各种定义，掌握指数函数的性质，能够运用分析的工具研究指数函数。3. 掌握指数函数的应用，并会运用对数函数与指数函数去建立某些实际问题的数学模型。五、 三角函数（14学时）(一)教学内容1.三角函数的公理化定义，三角函数的初等性质。2.三角函数的分析性质，包括三角函数的连续性与可微性。3.三角函数的几何解释与唯一性。4.三角函数的公理体系，公理体系的等价性，余弦函数的公理化定义，余弦函数的性质，包括有界性，偶函数，周期性。5.三角函数的三种具体定义，包括幂级数的定义，微分方程的定义，积分定义。6.三角函数的应用。重点：三角函数的公理化定义，三角函数的分析性质，三角函数的公

12、理体系，三角函数的具体定义。难点：三角函数的分析性质。（二）教学要求1.理解三角函数的公理化定义，了解三角函数的公理体系。2.理解三角函数的初等性质,会用公理化定义证明三角函数的性质.3.理解三角函数的分析性质，并能够利用分析的方法研究三角函数。4.掌握三角函数的级数定义,会进行三角函数的计算.5.通过本章的学习进一步巩固微积分学基本知识。六、 极值问题 （10学时）(一)教学内容1.凸函数与极值，凸集，凸函数，基本初等函数的凸性，凸函数在有界凸多面体上的极值，应用举例。2.一般函数的极值问题，一元可微函数的极值，二元可微函数的极值，条件极值，应用举例。3.泛函极值问题（捷线问题，最短弧长问题

13、，最小曲面问题，等周问题），欧拉方程的导出，解欧拉方程。4. 最优控制中的例子重点：解函数极值问题的一般方法，泛函极值问题的变分方法，凸函数的理论。难点：欧拉方程的导出，等周问题。（二）教学要求1.理解凸分析的基本概念与理论。2.掌握一般函数求极值的分析理论与方法。3.掌握欧拉方程的导出。4.了解等周问题。五、以往试题2000级数学分析专题研究期末试题选登 一、 填空题（每小题3分，共18分）1.若，则.2.若，则.3.设，若，有,则称为从到上的 .4.含有 的等式叫做函数方程.5.设，则.6.设函数定义在开区间内，对于，有，则称是内的 函数.二、 单项选择题（每小题3分，共18分）1.设，有

14、.A. B. C. D. 2.自然数集，是（ ）A. 有限集 B. 可列集 C. 不可列集 D. 空集3.设定义在上，是的极小值点，则（ ）A. B. 有 C. 当时，有D. 4.设是二元函数，且使得，则函数是（ ）A.有理函数 B. 无理函数 C. 代数函数 D. 超越函数5.设是内的严格上凸函数，则（ ）A. 在内必取到最大值 B. 在内必取到最小值C. 在内有 D. 前三个结论都不对6. 在内连续可导，且，使得，则是（ ）A. 稳定点 B. 极值点 C. 拐点 D. 临界点三、 计算题（每小题6分，共24分）1.设，求.2.已知的曲线经过点，且曲线上任意点的切线的斜率是该点横坐标的2倍，

15、求.3.已知，求.4.已知，求.四、 证明题（每小题8分，共32分）1.设定义在 （4分）3.若函数在闭区间上连续，且皆属于，则至少存在一点，使得4.设证明答案：一、 填空题（每小题3分，共18分）1、；2、甲，乙，甲，乙；3、单射；4、未知函数；5、；6、上凸。二、 单项选择题（每小题3分，共18分）1.D;2.B;3.C;4.C;5.D;6. A.三、计算题（每小题8分，共32分）1.解 因为,故有 5分所以有 8分2.解由方程可得，由得，即 8分3.解 已知，对两端关于求导，得 4分由 8分4、解 已知 （1）令，即，得 （2）（2）得 6分 即， 8分四、证明题（每小题8分，共32分）

16、1、证明：对于，有 令，则得， 6分由的任意性知，。 8分2、证明：用表示的补集，则（1） = = 4分（2） = = 8分3、已知在上连续，故在有最大值与最小值，从而有 4分由介值定理，存在，使 8分4设，对于，我们有，即在内是严格下凸函数，故对于有 6分代入得 8分数学分析专题研究期末试题选登（2002.1）五、 填空题1.若，则.2.若，则.3.设，若，则称为从到上的 .4.若复数是某个整系数多项式方程的根，则称是 数.5.设，则.6.设函数定义在开区间内，对于，有，则称是内的 函数.六、 单项选择题（每小题3分，共18分）1.设，有.A. B. C. D. 2.若，且，则A. B. C

17、. D. 3.若在内连续，则在内（ ）A. 可导 B. 单调 C. 有界 D. 对称4.设是超越数，则是（ ）A.有理数 B.代数数 C. 无理数 D. 超越数5.与都是以为周期的周期函数，且 ，则（ ）A. 不是周期函数 B. 是以为周期的周期函数C. 是周期函数，但周期大于或等于D. 是周期函数，但周期小于或等于6.设是内充分光滑的严格下凸函数，则（ ）A. 在内必取到最小值 B. 在内必取到最大值C. 在内有 D. 前三个结论都不对七、 计算题（每小题8分，共32分）1.设，求2.设，求3.求函数的极值4.已知重根号），求八、 证明题（每小题8分，共32分）1.证明（1）（4分） （2）

18、（4分）2.证明 设数集与均有上界，则集合有上界，且3.证明 设，有4.证明 设是从到的连续函数，则存在点,使得.参考答案一、 填空题（每小题3分，共18分）1.，2.，3. 满射，4.代数数，5.，6.下凸二、单项选择题（每小题3分，共18分）1.，2.，3.，4. ，5.，6.三、计算题（每小题8分，共32分）1解 ， 2分， 7分故 8分2设，则， 3分代入得 8分3解 3分令，得，易验证是极大值点，是极小值点， 6分极大值，极小值 8分4.解 显然，且，即数列，单调增加且有上界，故存在，设，由可得， 5分即，解得 8分四、证明题（每小题8分，共32分）1. 证明：（1）若设表示的补集，

19、则有 4分（2） 8分 2. 证明：，有，故，即是的一个上界.，使得，即存在，使得故 8分3.证明：设，则，即是严格下凸，根据 有 8分4.证明：令，则是上的连续函数.若，则选取结论得证.若，则选取结论得证. 4分否则有，则，由介值定理，存在，使得，即. 8分数学分析专题研究试题选登一、填空题1集合中的关系同时为反身的、对称的、（ ），则称关系为等价关系。2一个集合若不能与其一个真子集建立一个（ ），则称该集合为有限集。3函数在点的邻域内有定义，若（ ），则称函数在点处连续。4设是从到上的连续函数，满足：1）（ ）；，2）对于有,则是以为底的对数。5若函数是定义在上的连续函数，且满足：1）（

20、）；2），当时，；3）,则分别称是正弦函数与余弦函数。6设为从集合到集合中的关系，若,有唯一的，使（ ），则称为（从到中的）映射。二、单项选择题1A= B C D2实数集是（ ）A有限集 B可列集 C不可列集 D空集3是从到的映射，且，则A= B C D4函数在点处（ ）A间断 B连续 C 可导 D取得极小值5函数与在上有界，且，则在上（ ）。A有界 B无界 C有下界而无上界 D结论不定6下面结论（ ）是正确的。A若是单调函数，也是单调函数，则是单调函数。B若在数集上可导，且有界，则在上有界C若是周期函数，则是周期函数D若在数集上有界且可导，则在上有界三、计算题1求过抛物线上的点的切线方程。2

21、已知，求。3已知，求的最小值。（注：此题有误，实乃最大值）4若，求。四、证明题1设有映射，证明：（1）若是满射，则是满射（2）若是满射，且是单射，则是满射2若在点处连续，则在点处也连续3证明：方程在区间内有且仅有一个实根。4证明不是周期函数。参考答案：一、填空题（每小题3分，共18分）1.传递的；2.双射；3.；4.1）;5.1）， 6. 。二、单项选择题（每小题3分，共18分）1.C；2.C；3.D；4.B；5. D；6. A三、计算题（每小题8分，共32分）1.解 首先计算过点的切线的斜率 4分所求的切线方程为 即 8分2.解 已知 （1）将代替，得 （2） 4分得 8分3.解 已知在内，

22、是上凸函数，由上凸函数的定义有 5分即 而且当时，故是的最小值。 8分4.解 设，则 3分因，故 8分四、证明题（每小题8分，共32分）1.证明（1）因是满射，即,进一步有，故是满射。 4分（2）采用反证法。假设不是满射，即，则存在，但。设，使，由于是单射，故，即，这与是满射矛盾。说明假设矛盾，即是满射。 8分2.证明 ，因为在点连续，故存在，当时，有 由绝对值不等式的 4分故对任意的，当时，有 即在点连续。 8分3.证明：设，则是上的连续函数，且 由介值定理，至少存在一点，使。 4分 由得，当时，。即在内严格单调增加。故有且仅有一点，使，即方程在内有且仅有一实根。 8分4.证明 采用反证法。假设是周期函数，因是连续函数且不是常值，故具有最小正周期，设为。选取自然数，使得。故存在使 4分另一方面，对于，有 这与式矛盾。故不是周期函数。 8分本科程省电大责任教师值班时间 周三上午 8:00-12:00时 开放教育数学与应用数学专业本科数学分析专题研究责任教师联系方式如下： 省电大责任教师 中央电大责任教师 郭兴旺 顾静相Tel 0871-5138827 Tel 010-66412233转1204E-mail gxw E-mail gujingxiang