案例研究与教师发展-小学.doc

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1、案例研究与教师发展陕西师范大学数学系 罗增儒 710062电话：029-85308872 13609297766E-mail：zrluo snnueducn 主题：建议通过案例研究来促进教师的发展，既解决工作中的实际问题，又促进个人的专业发展期望： 领会三个名词：案例，案例教学，案例研究；参与一个行动：案例分析（校本教研的具体形式）；带走一个信念：我要进行案例研究，我能进行案例研究我将采用讲故事（教育叙事）和交流讨论的方式来进行，即通过教育事件的描述，发掘内隐于其背后的思想与意义记得我当中学教师时（1978-1986）常常问自己：有专业学者的功底吗？有教育理论家的修养吗？有教学艺术家的气质吗？

2、有青年导师的榜样形象吗？如果我们没有向这四个方向努力，我们怎能心安理得地面对充满求知渴望的孩子，又怎能问心无愧地面对我们的崇高职业和激情人生？我的体会是“案例研究”促进了我所有这四个方面的发展，所以，我今天选择了这样一个经验话题来与大家交流 1 案例研究的认识1-1 通过研究案例来说明案例研究先做一道题目，再讲两个故事1-1-1 做一道题目例1-1 （自行车问题） 一个自行车新轮胎，若安装在前轮则行驶5000后报废，若安装在后轮则行驶3000后报废如果行驶一定路程后交换前、后轮胎，使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶多少？ 请用多种解法求解解法1 解法2解法3如果你不能求解，没

3、关系，请先做第2题 例1-2 一件工程，平均分为前、后两段，甲工程队干前半段5000小时完成，乙工程队干后半段3000小时完成，如果两工程队同时动工，甲工程队干前段、乙工程队干后段一定时间后，甲、乙两工程队交换（交换时间不计），使前、后两段同时完工，问整个工程一共几小时完成？如果你能求解请返回做第1题；如果你也不能求解第2题，没关系，请先做第3题 例1-3 一件工程，甲工程队干一半需5000小时，乙工程队干一半需3000小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成？（去掉交换的干扰）如果你能求解请返回做第2、1题；如果你不能求解第3题，请看第4题例1-4 一件工程，甲工程队干需10000

4、小时，乙工程队干需6000小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成？ （再去掉“工程一半”的干扰）这就是标准的工程问题了提示（小时）最终至少要用两个以上的解法完成第1题希望完成之后能谈谈感想，想说什么就说什么（先写下来，下午再交流，有化归的教学设计，揭示深层结构的意图,沟通一题多解的内在联系的目的）1-1-2 第一个故事（案例1）：反思“曹冲称象”（5步） （1）故事简介 这是一个传颂千古的故事：曹操获得一头大象，与大家一边看一边议论，“大象到底有多重呢?”由于当时没有这么大的秤杆，没有先进的仪器，这就成了一个问题，一个非常规应用问题存在不同水平的“问题解决”有人提议把大象宰了，一块

5、一块地称，这是一种“化整为零”的策略，重量虽然出来了，但珍贵的大象却不复存在了曹操的儿子曹冲才7岁，他提出一个聪明的办法：先把大象赶到一艘大船上，看船身下沉多少，就沿着水面，在船舷上画一条线然后，把大象赶上岸，往船上装石头，直至船下沉到画线的地方为止最后，称一称船上的石头，石头有多重，就知道大象有多重了理解曹冲方案需要物理知识（没有阿基米德定律不能保证石头与大象等重，难保不会出现“刻舟求剑”的错误），下面的分析不涉及物理定律，纯粹数学教育的视角（2）问题解决分析我们从数学上分析曹冲的“问题解决”过程主要有两个步骤：第1步，把“整体”的大象对应为等价物：“零散”的石头(映射化整为零);第2步，称

6、一小块一小块石头得出：大象的重量(逆映射集零为整)一头大象一堆石块? 大象重量称出石块总重量 图1 思维亮点：通过物理知识找出等价物.请注意，曹冲先“化整为零”、再“集零为整”的做法，与愚蠢的“宰象”方案有思想方法上的共同性，曹冲的聪明之处在于，既从别人的不成功想法中吸取了合理成分，又用等价物代替大象 （3）反思曹冲方案曹冲方案在实施等价物的时候，有一个大前提就是“把大象赶上船、再赶下船”，这当中若有一次大象不愿走动，那么抬大象的困难与称大象的困难几乎是类似的大象自已走上走下对我们抬石头、称石头能带来什么启示呢?就此，笔者与一位小学二年级学生进行了如下的对话（微型实验）教师：假如我们这块地方是

7、个平原，一马平川全是黄土，没有石头，你怎么办? （把等价物从“石头”的传统认识中突破出来不是唯一的）学生：那我就把黄土挑上船，直至船沉到画线的地方，然后称黄土的重量 教师：挑黄土上船、下船，既费工又费时，有没有既省工又省时的更简单办法?（寻找更方便的等价物）学生：用电子秤直接称大象 教师：这不行，不能改变当时的技术条件学生：组织围观的人代替黄土，让人自己走上船、自己走下船过秤，既省工又省时，要不，赶一群羊上船也可以（4）反思的启示这个办法确实比曹冲的强由此，可以得出3个结论：即使是“智慧典范”的解题过程也有创新的空间即使是对小学生作解题过程的分析与启引，也能开发出解题智慧来 找回被浪费的重要信

8、息是解题分析获得进展的一个有效途径在曹冲方案中，“大象自己上船、下船”本已存在，只不过是在使用石头等价物时被浪费了，“小学二年级学生”无非是“找回被浪费的重要信息”（创造性：“人无我有、人有我新、人新我奇”. 曹冲是人家没有“等价物”他有，小学二年级学生是从已有的“等价物”中突破出来，找出新的等价物）（5）对案例研究的启示从曹冲到小学二年级学生，从“抬石头上船”到“人自己走上船”、“赶羊上船”，这里呈现了一个有启发性的故事，这个故事就是一个案例，数学教育界习惯称数学案例为课例我们现在讲这个故事是想导出这样一个话题：一个小学二年级学生都能想出来的办法，我们作为成年人、作为教师为什么没有想过？多少

9、年来我们是不是存在一种认识的自我封闭、缺少自我反思的敏感？类似地，我们天天进行教学，是不是也缺少一种对教学反思的强烈敏感？是不是也缺少一种“案例研究”的自觉意识？ 我们通过这个故事来启引大家认识案例、关注案例研究，实际上是在进行“案例教学”讲这个有教育意义的故事、分析提炼内蕴于其背后的思想、意义与道理，有一个很时髦的词，叫做“教育叙事”通过教育事件的描述，发掘内隐于其背后的思想与意义近一二十年来，教育叙事已成为教师反思性实践的重要途径 （罗增儒：从“曹冲称象”的解题愚蠢说起例说解题过程的改进，中学数学教学参考，2000，9）1-1-3 第二个故事（案例2）：她需要什么样的带助?（1）案例的呈现

10、有这样一道题目:XX牌52型施拉机，一天耕地150公亩，问12天耕地多少公亩?一位学生是这样解的:.因为是新接的四年级班，对孩子不熟悉，所以老师就找她问话:“告诉我，你为什么这么列式?”“老师，我错了”“好的，告诉我，你认为正确的该怎么列式?”“除”“怎么除?”“大的除以小的”“为什么是除呢?”“老师，我又错了”“你说，对的该怎样呢?”“应该把它们加起来”看来，这位学生是在瞎猜，只要老师重复问一句，她就习惯性地说自己错了，接着拿另一种计算方法来搪塞显然，她没有学会分析，她知道加减乘除肯定有一种是适合这道题目的，这也是在许多数学学习困难的学生中常见的现象于是，老师又对她说:“我们换一道题目，比如

11、你每天早上吃两个大饼，5天吃几个大饼?”老师想这道题她应该会做，因为其结构与前面的题目一样，都是每份数、份数与总数的关系，引导学生迁移一下就可以了“老师，我早上不吃大饼的”“那你吃什么?”“我经常吃粽子”“好，那你每天吃2个粽子，5天吃几个粽子?”“老师，我一天根本吃不下两个粽子”“那你能吃几个粽子?”“吃半个就可以了”“好，那你每天吃半个(小数乘法没学)粽子，5天吃几个粽子?”“两个半”“怎么算出来的?” “2天一个，5天两个半”（2）案例的解释对话进行到这里就很有点“搞笑”了！但是，如果我们不能对症下药，那么，教师的循循善诱、耐心启发和多方沟通都会付诸东流（辛苦而无效）这位学生的问题在哪里

12、呢?学生学习数学，是从生活经验开始的，并具有很强的生活型思维习惯，但数学学习需要的是数学思维方式举例来说，当学生面对“每天吃两个棕子”这一材料时，有的学生首先会想:这可能吗?而有的学生首先会想:这是一个每份数前者是一种极生活化的思考，关注材料的合理性;后者是一种数学思考，将材料抽象为一个“量”，从而进行形式化的演绎思考这位学生的问题就在于这种数学思考的方式尚未建立起来，也就是说，她需要的不是老师不断地重复讲这类题目，而是建立起与题目对应的数学语言，并运用数学语言间的数理关系进行演绎建构，形成我们通常所说的思维能力 （俞正强：不让一个学生落后从四个数学准备性学习案例谈学生群体学习质量的提高人民教

13、育，2007年第7期）应该看到，这个学生并不缺乏生活经验，而是缺乏数学抽象的能力尽管这个学生已经上到了四年级，但在由“日常数学”上升到“学校数学”这一方向上并未获得真正的进展在此我们应清楚地认识到：“数学抽象”事实上是一个模式化的过程作为数学抽象的产物，数学概念(与命题)所反映的不只是某一特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的共同性质这就是所谓的“模式”模式化的一个重要特征，就是“去情境化、去时间化和去个性化”，这意味着与现实原型在一定程度上的分离看来，这个学生不知道、或不会将“现实原型”分离，抽象出“抽象模式”即使会乘法操作、也不理解乘法的意义（参见郑毓信善于举例人民教育，

14、 2008，18）（3）对案例研究的启示这里呈现了一个学生解题、教师的循循善诱、耐心启发的故事，这个故事就是一个案例我们通过这个故事来启引大家认识案例、关注案例研究，实际上是在进行“案例教学”讲这个有教育意义的故事、分析提炼内蕴于其背后的思想、意义与道理，叫做“教育叙事”通过教育事件的描述，发掘内隐于其背后的思想与意义近一二十年来，教育叙事已成为教师反思性实践的重要途径 1-2 案例研究的现实需要数学教学是数学活动的教学，这是数学新课程改革的一个响亮口号它强调观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动；强调动手实践、自主探索和合作交流；强调学习内容应当是现实的、有意义的、富于挑战性的；强调师

15、生之间、学生之间交往互动与共同发展这些教学理念的贯彻，促使数学教学的活动化取向、生活化取向、个性化取向正在热情地展开，曾经被成人、被知识、被考试所扭曲的数学教学正注入一般清新的空气同时也面临许多始料未及、而又缺乏现成解决方案的问题，向我们提出了从理论到实践的挑战、向我们提出了从教学到数学的挑战1-2-1 课改中遇到的问题(讨论：实行新课程存在些什么问题？）（1）关于标准基本理念有的老师对某些理念表示了不同意见，并提出了修改意见如人人学有价值的数学评价中“更要”不准确，改为“也要”信息技术中“重视”改为“适当”内容结构对于学段有的教师提出，标准按学段安排，是想给教材编写者留有一定空间，教材给教学

16、留有一定空间，初衷是好的但老师不好把握教学目标，对某一内容教到多深多浅没有把握有的老师提出不要每学段都设四个领域统计与概率内容在一册教材集中讲，三年级以前不要讲初中也可以在一册教材讲“实践与综合应用”不做一个单独的领域，而是把它融合在代数和几何中也有的调查表明，教师对4个领域内容一般是肯定的初中和高中某些内容不衔接标准中没有的内容高中需要具体内容的设计数与代数：估算教师觉得难把握；不应删去韦达定理、十字相乘韦达定理学生好理解，由此带来的繁难练习才是问题，可以明确要求，但不能因此不要韦达定理平面几何：教师反映标准忽视逻辑推理的重要性，削弱了平面几何证明；几何证明比较乱，几何证明的格式应早渗透几何

17、推理既有具体的直观，又有逻辑推理多年来，平面几何证明教学起到了很好的效果当然，应试教育造成的题海战术和难题挫伤了一些学生学习数学的兴趣，这是应该纠正的，可以删去一些难题但新课程大大削弱平面几何教学的方法是不可取的统计与概率内容：从1年级就开始学习，重复实践和综合应用：目标要求不够具体化，案例少，教师操作起来有困难内容的呈现螺旋式上升绝对化后，4个领域的内容每年都要螺旋，造成内容割裂忽视数学知识的系统性，与其他学科之间衔接也不够实施建议教师更多的是看教学建议，教学建议还可看，有一些例子，评价建议比较空，不易操作标准表述标准有的地方的表述得不够明确，把目标和要求更明确一些出现的新词，教师不好把握如

18、情感态度价值观，数感、符号感等（2）关于实验教材每册4个领域使有些内容相隔太久，有些内容又有重复（统计与概率）；标准没有提出逻辑顺序，教材编写应该深入了解标准，去把握体系 学生探究多了，练得少了，学生记不住，学生的知识技能不扎实一些教材的呈现对学生太简单，初中学生已经具有了一定的抽象能力，还让他们动手，也会造成没有兴趣，并且时间不够知识不系统，学生不能形成整体的概念知识跨度大学生的逻辑推理困难，初一、初二没有给证明式的推理，初三6个月突击证明所有结论，而且造成学生思维混乱，已经用的还要证明新教材比较仓促和粗糙，没有经过实践的检验，出现错误和多处顺序问题，有些概念表述不严谨例题与习题不协调，有的

19、章节配的某些练习很难情景和过程过多，每一问题都从生活情景出发，教学任务完不成，学生生活背景知识也不够有些教材引课实例很难，很多时间没有花在学数学上教材有绝对化的倾向老教材学生家长能看懂，新教材学生家长也看不懂了城市化素材比较多，农村素材较少内容安排与课时安排不统一，课时比较紧教材相应的东西不配套，不及时多种教材分散造成混乱（3）关于教学形式化贯彻新理念新课程强调自主学习、探究学习、合作学习，但教学中往往形式化，出现到处小组讨论，说话多、讨论少；动口多、动脑少；表层多、深层少；提倡创设情景，教材编者创设的情景不是真实的，老师创设的并不贴近学生；课堂上要求学生多活动，教师少说话形式化后，有的领导评

20、课拿秒表计算老师说话的时间，有的课教师到最后才说话；教育技术的运用也有形式化的倾向绝对化贯彻新理念所有知识都要生活背景，都要探索，所有结论都要学生说出使得课堂上无效时间多了，有效时间少了教师绝对性使用鼓励语言，一方面占了时间，另一方面，当学生出现了特别优秀的想法时，教师已不能再使用更合适的语言，学生的错误也不能使用恰当的语言纠正两极分化提前了、加剧了两极分化提前到小学3年级甚至到1、2年级；优秀学生和困难学生两头的比例多了主要原因是优秀学生主宰了课堂进度算法多样化，解决问题策略多样化，初衷也是好的，但学生的各种方法都肯定，教师也不给一个最优的方法，差的学生还是不知道如何解决教师把握课堂困难教师

21、把握不住新理念怎么教教师反映时间不够一方面是学生讨论得多了，让所有学生都说，教师不忍心打断学生，时间不够是不是所有东西都探索，教师如何把握课堂是一个问题（4）关于评价新的评价方式操作起来比较困难教师认为评价提出了较好的理念（如注重过程评价、发展性评价等），但操作起来较困难；考试改革滞后明显；考试评价与教材不匹配；有些地方仍用旧的方式进行评价高考、中考造成的为考而教的大环境制约着新课程考试改革远远落后于新课程改革，特别是中学教师心目中最重要的就是考试许多老师反映教学中不放心，出现新教材和老教材一起用的情况另外，一些地区的考试与标准要求不匹配，打击了教师实施新课程的积极性实际上，评价改革，不单单是

22、评价方式多了，书面考试题的改革是非常重要的我国的国情、家长的期望等造成中考、高考很难改变，教师一方面认为高考确实要改，现在教师和学生的负担很重但另一方面又感觉，在我国综合评价带来的弊端远比高考大，高考问题一时半会解决不了这是一个社会问题，我们要思考数学课程改革在其中能起多大的作用（5）关于课程改革推进新课程推进过快原来设想2010年推广，现在2004年全面推广，欲速则不达新课程推进与当地领导的重视和有效管理密切相关灵武是国家级试验区，咸阳是省级试验区，还是有差别的虽然灵武经济不太好，但对课程改革的组织和实施落实得好一些，整个管理是比较规范的如对班额的控制，灵武在60人以下，咸阳乾县平均一个班1

23、00多人这与开始的国家的培训和政策的落实有关新课程推进中理想与现实的落差一些教师反映标准比较理想，与现实有一定矛盾新课程的一些初衷是好的，但与我国国情相比，落实起来很不容易例如，教学中一些班级的班额过大；大多数教师跟不上新课程的理想和需求，一些理念教师能认同，但不知如何操作；教材给了教师比较大的空间，但教师又缺乏驾驭教材的能力；一些农村的孩子需要依靠学习走出大山，但教师师资来源是个问题同时，有的教师也指出作为教育，绝对理想化是不对的，但没有理想也不行不应该挫伤教师实施新课程的积极性教师培训力度不够课程资源匮乏初中和高中的衔接问题尤其是高中一个班中既有实验区学生，也有非实验区学生保证新课程实施的

24、经费严重不足办学经费不足，有的甚至连三角尺都没有教师培训经费不足1-2-2 问题所涉及的关系（1）关注过程和关注结果的关系；（过程与结果，预设与生成）没有过程的结果是事实的外在灌输，没有结果的过程是时间的低效消费过程与结果并重精心预设是精彩生成的基础，精彩生成是教学观念、教学能力和精心预设的升华（2）学生自主学习和教师讲授的关系；（教师与学生，讲授与探究）学生为主体、教师为主导。（双主体，学以学生为主体、教以教师为主体）历史上是先有探究学习后有接受学习；讲授法不是万能的，没有讲授法是万万不能的（3）合情推理和演绎推理的关系；（归纳与演绎）数学上有两种类方法，一类是发现的方法，一类是论证的方法直

25、觉用于发现，逻辑用于证明（4）生活情境和知识系统性的关系；（生活经验与知识体系）生活中只有数学的原型和数学的应用，谁见过数学上的“1”、几何上的“点”？既要有引进的“情景化”，又要有结论的“去情景化”；形式主义与繁琐哲学的情景实际上是一种“负情景”，它既增加教学夹生的风险，又进行了生命的奢侈消费（5）改革与继承的关系（传统与创新）用一句话来概括中国数学教育的特色，那就是：“在良好的数学基础上谋求学生的数学发展”这里的“数学基础”， 其内涵就是三大数学能力：数学运算能力、空间想象能力、 逻辑思维能力；这里的“数学发展”是指：提高用数学思想方法分析问题和解决问题的能力，促进学生在德智体各方面的全面

26、发展与此相应的教学方式，则是贯彻辩证唯物主义精神，进行“启发式”教学，关注课堂教学中的数学本质， 倡导数学思想方法教学，运用“变式”进行练习，加强解题规律的研究.如何继承而又促进学生的发展？（参见张奠宙.关于中国数学教育的特色与国际上相应概念的对照.人民教育，2010，2） 如何继承而又促进学生的发展？我们认为，这是教师专业化发展的一个历史良机，建议同行们通过“行动研究”的方式来解决现实问题（更加有效地促进学生的学习），通过反思性的实践来促进自身的水平提高（教师的自我完善与成长）修改的主要内容1体例与结构的修改重新撰写了“前言”；术语解释与案例汇总作为附录，统一放在正文后面，使正文更加简洁清晰

27、；“实施建议”统一表述，不分学段，减少了重复和繁琐，便于教师阅读和实施2基本理念的修改对数学的意义、数学教育作用的表述做了调整，对课程标准的基本理念做了一些修改，力图使得表述更加准确、易于理解、便于实施如将数学课程的性质与目标表述为“义务教育阶段的数学课程要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”3课程设计思路的修改进一步明确数学课程的四个部分（数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践）的目标与内容，较为详尽地阐述了学生数学素养的有关核心词（如数感、符号意识、运算能力、模型思想、空间观念、几何直观、推理能力、数据分析观念等 应

28、用和创新），便于教师理解和把握课程内容的核心思想4课程目标的修改在总体目标中明确提出了“四基”：基础知识，基本技能，基本思想和基本活动经验在继承我国数学教育注重“双基”传统的同时，突出了培养学生创新精神和实践能力（基本思想和基本活动经验）的改革方向在强调发展学生分析和解决问题能力的基础之上，增加了发现和提出问题能力的课程目标5 内容标准的修改对于三个学段的具体内容进行了适当调整：在“数与代数”中，增加了“了解一元二次方程根与系数关系和判别式”，有利于理解方程的本质，删去了“一元不等式组的应用”等；增强了“图形与几何”内容的条理性，进一步阐述了合情推理和演绎推理的关系，强调了几何证明表述方式的多

29、样性；较为系统地整理了“统计与概率”，减少了概率的部分内容，使得三个学段的层次更加清晰，结构更加合理，表达更加准确；进一步明确了“综合与实践”的内涵，明确了其目标是帮助学生积累数学活动经验和培养学生的应用意识与创新意识各领域知识点的数量有增有减，但整体数量上没有明显变化6实施建议的修改将原来的按三个学段分别表述改为整体表述，避免不必要的重复，并增强了可操作性为了使教材编写者和广大教师能够更好地理解标准（修改稿）的理念，明确教学的过程与方法，增补一些具有针对性的案例，使得数量达到84个，并且对于案例的教学功能等进行了比较详细的阐述1-2-3 教学中遇到的一些案例案例3 如何处理？新世纪（版）小学

30、数学教科书（一年级下册）第25页有一道“看图列式题”：左图有38只青蛙，右图有5只青蛙，要解答的问题是跳下去多少只青蛙？（只） 图2下面是与此题有关的一个教学案例：这原本是一节很平常的数学练习课，短短几分钟，我们就完成了第一个习题接下来是看图列式题，我照例先让学生观察并描述一下图意一名学生说：“荷叶上有38只青蛙，忽然一个石子落入水中，啪的一声，小青蛙们害怕了，纷纷跳入水中最后只剩下5只青蛙妈妈”我表扬了他，说他语言流畅，想像力丰富，并鼓励大家向他学习我又叫了一名同学，他说：“38只青蛙正在荷叶上晒太阳一个顽皮的男孩路过，向水中打了几个水漂，胆小的青蛙都钻到荷叶下面了，只剩下5只勇敢的”“嗯，

31、你的想像真棒！”两名同学描述过后，我正打算让同学们看问题列式可耳畔又响起了几个急不可耐的童音：“老师，我有不同的想法”一个男孩没有得到我允许就说：“我认为，是轰隆隆的雷声响了，要下雨了，所以它们都急着游回家”“你的想像也很奇特”我说此时，仍有几只小手高高举着，不肯放下，似乎在抗议为什么不让我说？望着那一双双渴求的眼睛，我真的不忍打消他们此刻的激情，我也无权锁住他们想像的翅膀，我做出了“让他们畅所欲言吧！”的决定于是，孩子们一个接一个不停地说出了：青蛙们正在进行游戏比赛，正在学本领，正在寻找蝌蚪孩子整间教室成了一个想像的国度不知不觉中，下课的铃声响起来了我这才意识到数学练习课怎么演变成了看图想像

32、说话课，虽然气氛之热烈是空前的，可课的性质却变了数学课不是语文课，但也需要口语表达的训练，这体现了新课程综合性的理念，放手让学生畅所欲言也是新课程所倡导的可这节练习课学生们只完成了一道习题，却不能不让人反思：如果再有类似现象发生，我们是任其驰骋还是及时收住缰绳？我想，很多教师在实践中定会与我有同样的困惑，如何看待这类情况，如何才能处理好这类问题呢？希望得到大家的指教 （陶文中克服数学教学中的非数学活动倾向对由一节变性的数学课引发的思考的思考小学数学教师，2004，3）这个案例可从观念层面、技术层面等多个角度去作出分析，我们想着重提出4点与大家交流（1）这个案例表明教师已经有了“数学教学是数学活

33、动的教学”的理念，教学方式的转变和课堂气氛的热烈都值得肯定应该明白，活动不仅仅是获得结果的手段，活动本身也是一个成果、一个目标（尤其有助于获得更多的过程知识）教学可以从总体上去作出动态的安排，而不拘泥于一节课的快慢（2）随着课程改革的深入，应该从强调理念的转变逐步转移到数学教学的实质性进展上来，数学教学中的非数学活动要适当控制，过程与结果要并重，数学课首先要关注数学,关注学生在数学上的进步俗话说，不仅要有温度，还要有浓度，更要有深度和速度就活动与参与而言，既会有非数学化的活动，缺少数学思维；也会有含数学内容的行为活动，缺少学生的心理参与；我们追求的是数学、行为、心理共同参与的活动（行为参与、认

34、知参与、情感参与）（3）对学生的评价不仅要发挥激励功能（以纠正单纯的甄别与选拔功能），而且也要发挥导向功能，应多重功能同时发挥（4）“跳下去多少只青蛙？”填空的回答，与标准型的封闭题稍有不同，除了385=33外，很可能出现38？=5 ，（方程的结构，不同的路径）？+5=38 或 ，5+？=38 等多种情况，对此，教师应有充分的思想准备，并在数学观、教学观、学生观上接受考验案例4 能用表示吗？淅教版小学数学第十册“真分数，假分数和带分数”一节的公开课教学中（2004、4），曾经有过这样一个教学案例：在引导学生初步建立了真分数、假分数和带分数的概念后，教师组织学生进行应用练习：用分数表示图中的涂色

35、部分（书中“练一练”第1题）图3 教学过程听课教师反应师（投影呈现图3）：涂色部分可以用哪个分数表示？生1：学生都没有异议，但还有不少学生举着手生2：学生同样没有异议，教师也肯定了生2的答案，在教师刚想转入下一个图的讨论时，发现还有几个学生高举着手生3：我认为还可以用表示教室里顿时安静了下来，不少学生的脸上露出了疑惑不解的神情师（惊讶地）：还可以用，能说说你的想法吗？生3：我是把3个三角形看作一个整体，平均分成6份，阴影部分表示其中的5份在学生表述过程中，教师把3个三角形圈了起来（如图4），并表示赞同生3的意见图4生3的发言刚结束，有学生不等教师同意就开始发表自己的意见生4：我认为还可以用表示

36、这下，教师也愣住了，教室更加安静了，学生们再一次睁大了眼睛生4：我是把其中的2个三角形看作单位“1”，平均分成4份，阴影部分表示这样的5份这时，教师脑海中闪现的是“2的就是”，于是马上肯定了这位学生的意见课后，许多外校的老师主动留下来参与了讨论不少教师对上述教学提出了异议，认为图中的涂色部分“不能用表示”，“用表示毫无道理”，这样教会把学生“越教越糊涂” 听课教师的脸上同样露出了疑惑的神情这时，听课教师开始躁动起来“能用表示吗？”老师们在小声议论着老师们也再次安静了下来老师们再次躁动起来，议论的声音更大了（朱国荣能用表示吗？“警惕数学教学中的形式主义”例谈小学数学教师，2004，9）学生表示为

37、或是不是毫无道理？这样教会不会把学生越教越糊涂？导致这些情况的原因是什么 ？我们认为，学生的主动建构活动全都有道理；教师的教学开放与民主态度也值得肯定而听课教师不仅观念落后了，并且不能以数学的眼光去分析数学课堂说4点看法（1）教师的“惊讶”、“愣住”、“疑惑”、“躁动”、“安静”、“再躁动”等表明，很多教师都把一道开放题当作封闭题来处理了教师把1个三角形抽象为单位1，但只在心里作了这样的潜在假设，而在题目中没有明确交代（歪打正着，这一疏忽引出了一堂开放课）学生3把所给的3个三角形整体地抽象为单位1，学生4又把2个涂色的三角形整体地抽象为单位1，由此展开，题目是开放的，答案并不惟一（分别用市斤称

38、和公斤称去称同一物体，得出的数值当然不一样）学生的主动建构活动反映了思维的活跃，也印证了学生学习的建构主义认识观（2）教师对学生的内心世界缺乏了解，具体表现在对单位1的认识上日常生活中常把1看得最简单不过了，其实不然，请看下面两个例子其一：夏日来客，主人把西瓜切成8块，总是拿起一小块请客人“来一块西瓜解解渴”，从来不说“来个西瓜解解渴”其二：在一次小学分数的公开课上，教师演示切西瓜，把半个西瓜叫做，学生都明白之后，教师随口问，“两半西瓜合在一起，应该等于几？”学生异口同声回答教师问理由，学生答：“你两半西瓜取一半，我两半西瓜取一半，合起来就是四半西瓜取两半”教师耐心解释之后，还有学生问：“如果

39、两半西瓜来自大小不同的两个瓜，那合起来还是得不出一个瓜？”（案例11）这例子说明，把整体看成1并不是那么简单的，它的数学化过程既有抽象性，又有相对性，还应该是丰富多彩的当教师用自己的潜在假设去设想学生时，实际上是对学生的内心世界缺乏了解（3）这堂课上得开放而民主，但主动的开放组织与被动的开放补救有区别，前者对数学抽象有深刻的认识，对问题的开放性有心理准备，即使学生的活动失于封闭，也能主动启引学生作开放性的思考；后者则是对突（偶）发事件的艺术处理因此，只有开放的理念并不够，还要有过硬的数学功底来作保证（4）顺便提起，在开放性的教学中，在学生的多种解法面前，教师应有恰当的评价，启发学生的较优取向若

40、把一个三角形看成1，则涂色部分可以表示为获；若把两个三角形看成1，则涂色部分可以表示为；若把三个三角形看成1，则涂色部分可以表示为在这堂课中，更多的还是数学的挑战（继续小学数学教师2011第78期“2还是4”P174）案例 乘法交换律的教学有一个教学设计，用一个柄特别长的勺子喝水，勺子太长自己喝不到，学生经过讨论找到“交换喝水”的办法：你拿勺子喂给我喝，我拿勺子喂给你喝，喝水问题圆满解决这个“活动”固然有趣，办法也很好，但与“乘法”没有关系，亦离开了“数量不变”的交换率本身交换律的本质是变化中的不变性，学生在这里学到的不是数学或不是“乘法交换律”（地狱与天堂的寓言）（参见张奠宙. 教育数学是具

41、有教育形态的数学.数学教育学报，2005，8）讲解：数学并不只是一种有趣的活动，仅仅使数学变得有趣起来并不能保证数学学习一定能够获得成功（数学上的成功还需要艰苦的工作）有效的情景应该起始于精细的数学认知分析，使情境具有数学对象的必要因素和必要形式（这是一个创作与创造的过程），只注意情景的形式，缺失了数学及其本质（去数学化），会好心办坏事如何防止“去数学化”，既是教学的挑战，又是数学的挑战. （柄长可以锯短或靠前拿，为什么一定要交换呢？） （说到乘法交换律还想提起，现实解释是可以有区别的，比如，一个人生病了，医生开了30个药片，每天吃3次，每次吃1片，连吃10天病就好了；若用“交换律”，每天吃1

42、次，每次吃10片，连吃3天可能就把人吃死了.）案例6 结构不良问题与解释性解法有一道趣味题，流传着多种版本，大量出现在小学教材和课外读物里题目 古印度有一位老人，临终前留下遗嘱，要把11头牛分给三个儿子，老大分得总数的，老二分得总数的，老三分得总数的按印度的教规，牛被视为神灵，不能宰杀，只能整头分三兄弟为此一筹莫展，你能帮助他们解决问题吗？ 这是一道流传着多种版本的数学趣题，大量出现在教材或课外读物里对本问题的解答多种多样，常见的有以下几种：（1）借一还一法 邻居先借1头牛，使牛的总数变成12，三兄弟按遗嘱中的比例各分得6头、3头和2头最后剩下1头牛，物归原主这就按遗嘱份额要求，把11头牛整分

43、完了（聪明的邻居）代入检验了吗？说明 有人批评这种做法已经改变了题意（偷换概念），分的是12头牛而不是11头牛，下面的级数求和法对这个结论提供了一个“较为合理的解释” （2）级数求和法 因三兄弟的总份额，故第一次分配后会有剩余，而剩余部分还应分给三兄弟，并且还应那保持的比例不变，如此类推故老大第一次从总数中分得后，第二次又可从剩余量中，分得如此类推，一直分下去，老大分得的量组成一个的等比数列，总头数为等比数列的和同理可得，老二、老三分得的总头数各为3和2这就按遗嘱份额要求，把11头牛整分完了说明 这种解法有“三兄弟无穷分下去比例不变”的因素，故可以改写为按比例分配法和解方程法（3）按比例分配法

44、 因，且，故三兄弟各分得6头、3头和2头这就按遗嘱份额要求，把11头牛整分完了 （4）解方程法 设老大分得头，则按的比例，老二和老三各分得头和头依题意得方程，解之得故三兄弟各分得6头、3头和2头这就按遗嘱份额要求，把11头牛整分完了说明 有人批评这种做法也是改变了题意（偷换概念），把“老大分得总数的，老二分得总数的，老三分得总数的”改变为“三兄弟按的比例分配，即老大分得总数的，老二分得总数的，老三分得总数的”，把本应三兄弟共分得 改变为，实际做的是另一道题他们认为本题无解（5）错题无解 要求三兄弟各分得总数的，但，这就无法按遗嘱要求，分尽11所以，此为错题，无解说明 从结构良好的封闭题标准看来

45、，条件确实是不充分的，从形式化习题的角度说“无解”也并无不可但是，作为一个实际问题，“无解”并未解决分牛纠纷遗嘱还要执行，牛还要分，此时的“无解”反成了“无能”的代名词了所以，面对结构不良问题，提供“解释性解法”有现实需要有人提出用四舍五入法（6）四舍五入法 因，且，故三兄弟各分得6头、3头和2头这就近似按遗嘱份额要求，把11头牛整分完了说明 有人质疑，一律“五入”对三兄弟的补偿是不一样的，是否有“公平性”问题？改为9头牛老二不但不能“五入”还要“四舍”了另外，“恰好整分完”对数字11有直接的依赖，改为12头牛就没有“四舍”也没有“五入”，最终还剩下1头牛总之，对于结构不良问题，提供“解释性解法”有现实需要（如级数求和、四舍五入），但不能按“结构良好问题”的标准来处理 这几个小例子表明，现实向我们提出了从理论到实践的挑战、向我们提出了从教学到数学的挑战2 案例研究的理论提炼2-1