2008-09概率统计A卷试题及答案.doc

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1、20082009学年第一学期概率论与数理统计A试卷答案 得分一、填空题（每小题3分，满分18分，把答案填在题中横线上）1设是三个随机事件，已知则全不发生的概率是 0.3 . 解 ,，故.所求概率为 2设随机变量，且则 1.44 .解 由于,则得,故.3任取两个不大于1的正数，则它们的积不大于，且它们的和不大于1的概率是. 解 设两个数分别为x,y, A表示事件x与y的积不大于,且x与y的和不大于1,则,;.所求概率为4设二维随机变量的概率密度为则 0.5 .解 5设是来自总体的样本，则样本均值的概率密度为解 由于,则,故样本均值的概率密度为6设总体，是来自总体X的样本,为样本均值,为样本方差,

2、未知.检验假设,应取检验统计量.得分二、选择题（每小题3分，满分18分,把答案填在括号内）1在10件产品中有2件次品,依次取出2件产品,每次取一件,取后不放回,则第二次取到次品的概率为( C )（A） （B）. （C） （D）解 第一次取正品第二次取次品的概率为,第一次取次品第二次取次品的概率为,第二次取到次品的概率为.2设随机变量,则随着的增大,概率( D )（A）单调增大 （B）单调减小（C）增减不定（D）保持不变解 由于，所以.而 与无关.3设事件两两独立，则相互独立的充分必要条件是( D )（A）独立 （B）独立（C）独立 （D）独立解 相互独立,哪项与第四个等式等价?可排除(B)和(

3、C). 如果独立, 有,故排除(A).如果独立,则有.反之亦然.4设随机变量X在区间-1，3上服从均匀分布，若由切比雪夫不等式有则=( B )（A）1 （B）2 （C）3 （D）4解 由于,所以即由切比雪夫不等式有 即有,得5设总体，是来自总体X的样本,则( B )（A）0.975. （B）0.95 （C）0.05 （D）0.025解 因为,所以,6对正态总体的数学期望进行假设检验,如果在显著水平0.05下接受那么在显著性水平0.01下,下列结论正确的是( A )（A）必接受（B）可能接受,也可能拒绝（C）必拒绝（D）不接受,也不拒绝解 在显著性水平为0.05下接受即检验统计量观测值落在接受域

4、内.当显著性水平为0.01时,无论是已知还是未知, 无论是双侧假设检验还是单侧假设检验,接受域都比时的接受域扩大了,故必接受得分三、计算题（共5小题，满分54分）1.(10分)设随机变量X在区间2，5上服从均匀分布，对X做3次独立观察，求至少有两次观察值大于3的概率.解 由已知X的概率密度为 (2分)设表示第i次观察值大于3的事件，则有 (5分)设A表示至少有两次观察值大于3的事件，则有 2.(10分)已知随机变量X的概率密度为且求(1)常数的值；(2)解 (1)由 ， (2分)再由 (4分 )解得 . (6分 )(2) (10分)3(10分)设总体,从总体X中抽取样本,样本均值为,试确定的值

5、,使得最大.解 由于于是有令 得驻点, 因为 当时,而当时,所以 是的最大值点,即应取. (10分)4(12分)设总体X的概率密度为其中是未知参数,为来自总体X的样本,试求参数的矩估计量和最大似然估计量.解 （1） 因为 , （3分）令 , 即 ,解得的矩估计量为 . (6分)(2) 设是样本的观测值,似然函数为 （9分）取对数得 ，令 ， 解得的最大似然估计值为 ,从而得的最大似然估计量为 . （12分）5(12分)设二维随机变量的概率密度为 利用卷积公式求的概率密度解 由可得随机变量X,Y边缘的概率密度为 （4分）从而有,因此X与Y相互独立, （6分）由卷积公式 （12分）得分四、证明题（共2小题，满分10分）1（5分）设且，试证A与B相互独立证 由全概率公式 （3分）所以 故A与B相互独立. （5分）2（5分）设证明证 由存在相互独立的随机变量与，且使得 (3分)而且与相互独立，所以由F分布的定义，可知 (5分)