同济大学工程数学线性代数第六版答案(全)2794.pdf

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1、实用标准文档 文案大全 第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)381141102 解 381141102 2(4)30(1)(1)118 0132(1)81(4)(1)2481644 (2)bacacbcba 解 bacacbcba acbbaccbabbbaaaccc 3abca3b3c3 (3)222111cbacba 解 222111cbacba bc2ca2ab2ac2ba2cb2 (ab)(bc)(ca)实用标准文档 文案大全 (4)yxyxxyxyyxyx 解 yxyxxyxyyxyx x(xy)yyx(xy)(xy)yxy3(xy)3x3 3xy(xy)y3

2、3x2 yx3y3x3 2(x3y3)2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为 0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为 4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解 逆序数为 5 3 2 3 1 4 2 4 1,2 1 (4)2 4 1 3 解 逆序数为 3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1)2 4 (2n)解 逆序数为2)1(nn 3 2(1 个)5 2 5 4(2 个)7 2 7 4 7 6(3 个)实用标准文档 文案大全 (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2)(n1个)(6)1 3 (2n1)(2n

3、)(2n2)2 解 逆序数为n(n1)3 2(1 个)5 2 5 4(2 个)(2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2)(n1个)4 2(1 个)6 2 6 4(2 个)(2n)2(2n)4(2n)6 (2n)(2n2)(n1 个)3 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项 解 含因子a11a23的项的一般形式为(1)ta11a23a3ra4s 其中rs是 2 和 4 构成的排列 这种排列共有两个 即 24 和 42 所以含因子a11a23的项分别是 (1)ta11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44 (1)ta11a23a34a42(1

4、)2a11a23a34a42a11a23a34a42 4 计算下列各行列式 实用标准文档 文案大全 (1)71100251020214214 解 71100251020214214010014231020211021473234cccc34)1(143102211014 14310221101401417172001099323211cccc (2)2605232112131412 解 2605232112131412260503212213041224cc041203212213041224rr 0000003212213041214rr (3)efcfbfdecdbdaeacab 解 ef

5、cfbfdecdbdaeacabecbecbecbadf abcdefadfbce4111111111 实用标准文档 文案大全 (4)dcba100110011001 解 dcba100110011001dcbaabarr10011001101021 dcaab101101)1)(1(1201011123cdcadaabdcc cdadab111)1)(1(23abcdabcdad1 5 证明:(1)1112222bbaababa(ab)3;证明 1112222bbaababa00122222221213ababaabaabacccc abababaab22)1(2221321)(abaaba

6、b(ab)3 (2)yxzxzyzyxbabzaybyaxbxazbyaxbxazbzaybxazbzaybyax)(33;证明 bzaybyaxbxazbyaxbxazbzaybxazbzaybyax 实用标准文档 文案大全 bzaybyaxxbyaxbxazzbxazbzayybbzaybyaxzbyaxbxazybxazbzayxa bzayyxbyaxxzbxazzybybyaxzxbxazyzbzayxa22 zyxyxzxzybyxzxzyzyxa33 yxzxzyzyxbyxzxzyzyxa33 yxzxzyzyxba)(33 (3)0)3()2()1()3()2()1()3()

7、2()1()3()2()1(2222222222222222ddddccccbbbbaaaa;证明 2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(ddddccccbbbbaaaa(c4c3 c3c2 c2c1得)5232125232125232125232122222ddddccccbbbbaaaa(c4c3 c3c2得)实用标准文档 文案大全 022122212221222122222ddccbbaa (4)444422221111dcbadcbadcba (ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd);证明 44442

8、2221111dcbadcbadcba )()()(0)()()(001111222222222addaccabbaddaccabbadacab )()()(111)()(222addaccabbdcbadacab )()(00111)()(abdbddabcbccbdbcadacab )()(11)()()()(abddabccbdbcadacab =(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd)(5)1221 1 000 00 1000 01axaaaaxxxnnn xna1xn1 an1xan 实用标准文档 文案大全 证明 用数学归纳法证明 当n2 时 2121221axa

9、xaxaxD 命题成立 假设对于(n1)阶行列式命题成立 即 Dn1xn1a1 xn2 an2xan1 则Dn按第一列展开 有 1 11 00 100 01)1(11 xxaxDDnnnn xD n1anxna1xn1 an1xan 因此 对于n阶行列式命题成立 6 设n阶行列式Ddet(aij),把D上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转 依次得 nnnnaaaaD11111 11112 nnnnaaaaD 11113 aaaaDnnnn 证明DDDnn2)1(21)1(D3D 证明 因为Ddet(aij)所以 nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaD2211111111111 )

10、1(实用标准文档 文案大全 )1()1(331122111121nnnnnnnnaaaaaaaa DDnnnn2)1()1()2(21)1()1(同理可证 nnnnnnaaaaD )1(11112)1(2DDnnTnn2)1(2)1()1()1(DDDDDnnnnnnnn)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7 计算下列各行列式(Dk为k阶行列式)(1)aaDn1 1,其中对角线上元素都是a 未写出的元素都是 0 解 aaaaaDn0 0010 000 00 0000 0010 00 (按第n行展开)1()1(10 000 00 0000 0010 000)1(nnnaaa

11、)1()1(2 )1(nnnaaa 实用标准文档 文案大全 nnnnnaaa)2)(2(1 )1()1(anan2an2(a21)(2)xaaaxaaaxDn ;解 将第一行乘(1)分别加到其余各行 得 axxaaxxaaxxaaaaxDn 000 0 00 0 再将各列都加到第一列上 得 axaxaxaaaanxDn 0000 0 000 00 )1(x(n1)a(xa)n1 (3)1 11 1 )()1()()1(1111 naaanaaanaaaDnnnnnnn;解 根据第 6 题结果 有 nnnnnnnnnnaaanaaanaaaD)()1()()1(11 11)1(1112)1(1

12、实用标准文档 文案大全 此行列式为范德蒙德行列式 112)1(1)1()1()1(jinnnnjaiaD 112)1()()1(jinnnji 1121 )1(2)1()()1()1(jinnnnnji 11)(jinji (4)nnnnndcdcbabaD 11112;解 nnnnndcdcbabaD 11112(按第 1 行展开)nnnnnnddcdcbabaa000 011111111 实用标准文档 文案大全 0 0)1(1111111112cdcdcbababnnnnnnn 再按最后一行展开得递推公式 D2nandnD2n2bncnD2n2 即D2n(andnbncn)D2n2 于是

13、niiiiinDcbdaD222)(而 111111112cbdadcbaD 所以 niiiiincbdaD12)(5)Ddet(aij)其中aij|ij|;解 aij|ij|0 4321 4 01233 10122 21011 3210)det(nnnnnnnnaDijn 0 4321 1 11111 11111 11111 1111 2132 nnnnrrrr 实用标准文档 文案大全 1 5242321 0 22210 02210 00210 0001 1213 nnnnncccc (1)n1(n1)2n2 (6)nnaaaD 1 11 1 111 1121,其中a1a2 an0 解 nn

14、aaaD 1 11 1 111 1121 nnnnaaaaaaaaacccc 10 0001 000 100 0100 0100 00 11332212132 11113121121110 00011 000 00 11000 01100 001 nnnaaaaaaaa 实用标准文档 文案大全 niinnaaaaaaaa111113121121100 00010 000 00 10000 01000 001 )11)(121niinaaaa 8 用克莱姆法则解下列方程组 (1)01123253224254321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx 解 因为 14211213

15、513241211111D 142112105132412211151D 284112035122412111512D 426110135232422115113D 14202132132212151114D 所以 111DDx 222DDx 333DDx 144DDx 实用标准文档 文案大全 (2)150650650651655454343232121xxxxxxxxxxxxx 解 因为 6655100065100065100065100065D 150751001651000651000650000611D 114551010651000650000601000152D 703511006

16、50000601000051001653D 39551000601000051000651010654D 21211000051000651000651100655D 所以 66515071x 66511452x 6657033x 6653954x 6652124x 9 问 取何值时 齐次线性方程组0200321321321xxxxxxxxx有非零解？实用标准文档 文案大全 解 系数行列式为 1211111D 令D0 得 0 或1 于是 当0 或1 时该齐次线性方程组有非零解 10 问取何值时 齐次线性方程组0)1(0)3(2042)1(321321321xxxxxxxxx有非零解？解 系数行

17、列式为 101112431111132421D (1)3(3)4(1)2(1)(3)(1)32(1)23 令D0 得 0 2 或3 于是 当0 2 或3 时 该齐次线性方程组有非零解 实用标准文档 文案大全 第二章 矩阵及其运算 1 已知线性变换 3213321232113235322yyyxyyyxyyyx 求从变量x1 x2 x3到变量y1 y2 y3的线性变换 解 由已知 221321323513122yyyxxx 故 3211221323513122xxxyyy321423736947yyy 321332123211423736947xxxyxxxyxxxy 2 已知两个线性变换 32

18、133212311542322yyyxyyyxyyx 323312211323zzyzzyzzy 求从z1 z2 z3到x1 x2 x3的线性变换 解 由已知 221321514232102yyyxxx321310102013514232102zzz 实用标准文档 文案大全 321161109412316zzz 所以有3213321232111610941236zzzxzzzxzzzx 3 设111111111A 150421321B 求 3AB2A及ATB 解 1111111112150421321111111111323AAB 2294201722213211111111120926508

19、503 092650850150421321111111111BAT 4 计算下列乘积 (1)127075321134 解 127075321134102775132)2(7111237449635 (2)123)321(实用标准文档 文案大全 解 123)321(132231)(10)(3)21(312 解 )21(31223)1(321)1(122)1(2632142 (4)20413121013143110412 解 204131210131431104126520876 (5)321332313232212131211321)(xxxaaaaaaaaaxxx 解 32133231323

20、2212131211321)(xxxaaaaaaaaaxxx (a11x1a12x2a13x3 a12x1a22x2a23x3 a13x1a23x2a33x3)321xxx 322331132112233322222111222xxaxxaxxaxaxaxa 实用标准文档 文案大全 5 设3121A 2101B 问 (1)ABBA吗?解 ABBA 因为6443AB 8321BA 所以ABBA (2)(AB)2A22ABB2吗?解 (AB)2A22ABB2 因为5222BA 52225222)(2BA2914148 但 43011288611483222BABA27151610 所以(AB)2A

21、22ABB2 (3)(AB)(AB)A2B2吗?解 (AB)(AB)A2B2 因为5222BA 1020BA 906010205222)(BABA 而 718243011148322BA 故(AB)(AB)A2B2 6 举反列说明下列命题是错误的 (1)若A20 则A0 实用标准文档 文案大全 解 取0010A 则A20 但A0 (2)若A2A 则A0 或AE 解 取0011A 则A2A 但A0 且AE (3)若AXAY 且A0 则XY 解 取 0001A 1111X 1011Y 则AXAY 且A0 但XY 7 设101A 求A2 A3 Ak 解 12011011012A 1301101120

22、123AAA 101kAk 8 设001001A 求Ak 解 首先观察 0010010010012A222002012 实用标准文档 文案大全 3232323003033AAA 43423434004064AAA 545345450050105AAA kAkkkkkkkkkk0002)1(121 用数学归纳法证明 当k2 时 显然成立 假设k时成立，则k1 时，0010010002)1(1211kkkkkkkkkkkkAAA 11111100)1(02)1()1(kkkkkkkkkk 由数学归纳法原理知 实用标准文档 文案大全 kkkkkkkkkkkA0002)1(121 9 设A B为n阶矩

23、阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵 证明 因为ATA 所以 (BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB 从而BTAB是对称矩阵 10 设A B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是ABBA 证明 充分性 因为ATA BTB 且ABBA 所以 (AB)T(BA)TATBTAB 即AB是对称矩阵 必要性 因为ATA BTB 且(AB)TAB 所以 AB(AB)TBTATBA 11 求下列矩阵的逆矩阵 (1)5221 解 5221A|A|1 故A1存在 因为 1225*22122111AAAAA 故 *|11AAA 1225 实用标准文档 文案大全 (2)cossins

24、incos 解 cossinsincosA|A|10 故A1存在 因为 cossinsincos*22122111AAAAA 所以 *|11AAA cossinsincos (3)145243121 解 145243121A|A|20 故A1存在 因为 214321613024*332313322212312111AAAAAAAAAA 所以 *|11AAA 1716213213012 (4)naaa0021(a1a2 an 0)解 naaaA0021 由对角矩阵的性质知 实用标准文档 文案大全 naaaA10011211 12 解下列矩阵方程 (1)12643152X 解 126431521X

25、1264215380232 (2)234311111012112X 解 1111012112234311X 03323210123431131 32538122 (3)101311022141X 解 11110210132141X 210110131142121 实用标准文档 文案大全 2101036612104111 (4)021102341010100001100001010X 解 11010100001021102341100001010X 010100001021102341100001010201431012 13 利用逆矩阵解下列线性方程组 (1)35325221323213213

26、21xxxxxxxxx 解 方程组可表示为 321153522321321xxx 故 0013211535223211321xxx 从而有 001321xxx (2)05231322321321321xxxxxxxxx 实用标准文档 文案大全 解 方程组可表示为 012523312111321xxx 故 3050125233121111321xxx 故有 305321xxx 14 设AkO(k为正整数)证明(EA)1EAA2 Ak1 证明 因为AkO 所以EAkE 又因为 EAk(EA)(EAA2 Ak1)所以 (EA)(EAA2 Ak1)E 由定理 2 推论知(EA)可逆 且 (EA)1EA

27、A2 Ak1 证明 一方面 有E(EA)1(EA)另一方面 由AkO 有 E(EA)(AA2)A2 Ak1(Ak1Ak)(EAA2 A k1)(EA)故 (EA)1(EA)(EAA2 Ak1)(EA)两端同时右乘(EA)1 就有 (EA)1(EA)EAA2 Ak1 15 设方阵A满足A2A2EO 证明A及A2E都可逆 并求实用标准文档 文案大全 A1及(A2E)1 证明 由A2A2EO得 A2A2E 即A(AE)2E 或 EEAA)(21 由定理 2 推论知A可逆 且)(211EAA 由A2A2EO得 A2A6E4E 即(A2E)(A3E)4E 或 EAEEA)3(41)2(由定理 2 推论知

28、(A2E)可逆 且)3(41)2(1AEEA 证明 由A2A2EO得A2A2E 两端同时取行列式得|A2A|2 即|A|AE|2 故|A|0 所以A可逆 而A2EA2|A2E|A2|A|20 故A2E也可逆 由 A2A2EO A(AE)2E A1A(AE)2A1E)(211EAA 又由 A2A2EO(A2E)A3(A2E)4E (A2E)(A3E)4 E 所以 (A2E)1(A2E)(A3E)4(A2 E)1 实用标准文档 文案大全 )3(41)2(1AEEA 16 设A为 3 阶矩阵 21|A 求|(2A)15A*|解 因为*|11AAA 所以|521|*5)2(|111AAAAA|2521

29、|11AA|2A1|(2)3|A1|8|A|18216 17 设 矩 阵A可 逆 证 明 其 伴 随 阵A*也 可 逆 且(A*)1(A1)*证明 由*|11AAA 得A*|A|A1 所以当A可逆时 有|A*|A|n|A1|A|n10 从而A*也可逆 因为A*|A|A1 所以 (A*)1|A|1A 又*)(|)*(|1111AAAAA 所以 (A*)1|A|1A|A|1|A|(A1)*(A1)*18 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*证明 (1)若|A|0 则|A*|0 (2)|A*|A|n1 证明 (1)用反证法证明 假设|A*|0 则有A*(A*)1E 由此得 AA A*(A*)1|A|E(A*

30、)1O 实用标准文档 文案大全 所以A*O 这与|A*|0 矛盾，故当|A|0 时 有|A*|0 (2)由于*|11AAA 则AA*|A|E 取行列式得到|A|A*|A|n 若|A|0 则|A*|A|n1 若|A|0 由(1)知|A*|0 此时命题也成立 因此|A*|A|n1 19 设321011330A ABA2B 求B 解 由ABA2E可得(A2E)BA 故 321011330121011332)2(11AEAB011321330 20 设101020101A 且ABEA2B 求B 解 由ABEA2B得 (AE)BA2E 即 (AE)B(AE)(AE)因为01001010100|EA 所以

31、(AE)可逆 从而 201030102EAB 实用标准文档 文案大全 21 设Adiag(1 2 1)A*BA2BA8E 求B 解 由A*BA2BA8E得 (A*2E)BA8E B8(A*2E)1A1 8A(A*2E)1 8(AA*2A)1 8(|A|E2A)1 8(2E2A)1 4(EA)1 4diag(2 1 2)1 )21,1,21(diag4 2diag(1 2 1)22 已知矩阵A的伴随阵8030010100100001*A 且ABA1BA13E 求B 解 由|A*|A|38 得|A|2 由ABA1BA13E得 ABB3A B3(AE)1A3A(EA1)1A 11*)2(6*)21(

32、3AEAE 实用标准文档 文案大全 1030060600600006603001010010000161 23 设P1AP 其中1141P 2001 求A11 解 由P1AP 得APP1 所以A11 A=P11P1.|P|3 1141*P 1141311P 而 11111120 012001 故 31313431200111411111A68468327322731 24 设APP 其中111201111P 511 求(A)A8(5E6AA2)解 ()8(5E62)diag(1158)diag(555)diag(6630)diag(1125)diag(1158)diag(1200)12diag

33、(100)(A)P()P1 *)(|1PPP 实用标准文档 文案大全 1213032220000000011112011112 1111111114 25 设矩阵A、B及AB都可逆 证明A1B1也可逆 并求其逆阵 证明 因为 A1(AB)B1B1A1A1B1 而A1(AB)B1是三个可逆矩阵的乘积 所以A1(AB)B1可逆 即A1B1可逆 (A1B1)1A1(AB)B11B(AB)1A 26 计算30003200121013013000120010100121 解 设10211A 30122A 12131B 30322B 则 2121BOBEAOEA222111BAOBBAA 而 422530

34、3212131021211BBA 90343032301222BA 所以 2121BOBEAOEA222111BAOBBAA9000340042102521 实用标准文档 文案大全 即 300032001210130130001200101001219000340042102521 27 取1001DCBA 验证|DCBADCBA 解 41001200210100101002000021010010110100101DCBA 而 01111|DCBA 故|DCBADCBA 28 设22023443OOA 求|A8|及A4 解 令34431A 22022A 则 21AOOAA 故 8218AOO

35、AA8281AOOA 1682818281810|AAAAA 464444241422025005OOAOOAA 实用标准文档 文案大全 29 设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆 求 (1)1OBAO 解 设43211CCCCOBAO 则 OBAO4321CCCCsnEOOEBCBCACAC2143 由此得 snEBCOBCOACEAC2143121413BCOCOCAC 所以 OABOOBAO111 (2)1BCOA 解 设43211DDDDBCOA 则 snEOOEBDCDBDCDADADDDDDBCOA4231214321 由此得 snEBDCDOBDCDOADEAD423121141132

36、11BDCABDODAD 所以 11111BCABOABCOA 30 求下列矩阵的逆阵 实用标准文档 文案大全 (1)2500380000120025 解 设1225A 2538B 则 5221122511A 8532253811B 于是 850032000052002125003800001200251111BABA (2)4121031200210001 解 设2101A 4103B 2112C 则 1111114121031200210001BCABOABCOA 411212458103161210021210001 实用标准文档 文案大全 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 1 把下列

37、矩阵化为行最简形矩阵 (1)340313021201 实用标准文档 文案大全 解 340313021201(下一步 r2(2)r1 r3(3)r1)020031001201(下一步 r2(1)r3(2)010031001201(下一步 r3r2)300031001201(下一步 r33)100031001201(下一步 r23r3)100001001201(下一步 r1(2)r2 r1r3)100001000001 (2)174034301320 解 174034301320(下一步 r22(3)r1 r3(2)r1)310031001320(下一步 r3r2 r13r2)实用标准文档 文案大

38、全 0000310010020(下一步 r12)000031005010 (3)12433023221453334311 解 12433023221453334311(下一步 r23r1 r32r1 r43r1)1010500663008840034311(下一步 r2(4)r3(3)r4(5)22100221002210034311(下一步 r13r2 r3r2 r4r2)00000000002210032011 (4)34732038234202173132 实用标准文档 文案大全 解 34732038234202173132(下一步 r12r2 r33r2 r42r2)118770129

39、8804202111110(下一步 r22r1 r38r1 r47r1)41000410002020111110(下一步 r1r2 r2(1)r4r3)00000410001111020201(下一步 r2r3)00000410003011020201 2 设987654321100010101100001010A 求A 解 100001010是初等矩阵E(1 2)其逆矩阵就是其本身 100010101是初等矩阵E(1 2(1)其逆矩阵是 E(1 2(1)100010101 实用标准文档 文案大全 100010101987654321100001010A 2872212541000101019

40、87321654 3 试利用矩阵的初等变换 求下列方阵的逆矩阵 (1)323513123 解 100010001323513123101011001200410123 1012002110102/102/30232/102/11002110102/922/7003 2/102/11002110102/33/26/7001 故逆矩阵为21021211233267 (2)1210232112201023 实用标准文档 文案大全 解 10000100001000011210232112201023 00100301100001001220594012102321 201043011000010012

41、00110012102321 106124301100001001000110012102321 10612631110 1022111000010000100021 106126311101042111000010000100001 故逆矩阵为10612631110104211 4(1)设113122214A 132231B 求X使AXB 实用标准文档 文案大全 解 因为 132231 113122214),(BA412315210 100010001 r 所以 4123152101BAX (2)设433312120A 132321B 求X使XAB 解 考虑ATXTBT 因为 1343132

42、31221320),(TTBA411007101042001 r 所以 417142)(1TTTBAX 从而 4741121BAX 5 设101110011A AX 2XA 求X 解 原方程化为(A2E)X A 因为 101101110110011011),2(AEA 011100101010110001 实用标准文档 文案大全 所以 011101110)2(1AEAX 6 在秩是r 的矩阵中,有没有等于 0 的r1 阶子式?有没有等于 0 的r阶子式?解 在秩是r的矩阵中 可能存在等于 0的r1阶子式 也可能存在等于 0 的r阶子式 例如 010000100001A R(A)3 0000是等

43、于 0 的 2 阶子式 010001000是等于 0 的 3 阶子式 7 从矩阵A中划去一行得到矩阵B 问A B的秩的关系怎样?解 R(A)R(B)这是因为B的非零子式必是A的非零子式 故A的秩不会小于B的秩 8 求作一个秩是 4 的方阵 它的两个行向量是(1 0 1 0 0)(1 1 0 0 0)解 用已知向量容易构成一个有 4 个非零行的 5 阶下三角矩阵 实用标准文档 文案大全 0000001000001010001100001 此矩阵的秩为 4 其第 2 行和第 3 行是已知向量 9 求下列矩阵的秩 并求一个最高阶非零子式 (1)443112112013;解 443112112013(

44、下一步 r1r2)443120131211(下一步 r23r1 r3r1)564056401211(下一步 r3r2)000056401211 矩阵的2秩为 41113是一个最高阶非零子式 (2)815073131213123 实用标准文档 文案大全 解 815073131223123(下一步 r1r2 r22r1 r37r1)15273321059117014431(下一步 r33r2)0000059117014431 矩阵的秩是 2 71223是一个最高阶非零子式 (3)02301085235703273812 解 02301085235703273812(下一步 r12r4 r22r4

45、r33r4)02301024205363071210(下一步 r23r1 r32r1)0230114000016000071210(下一步 r216r4 r316r2)实用标准文档 文案大全 02301000001000071210 00000100007121002301 矩阵的秩为 3 070023085570是一个最高阶非零子式 10 设A、B都是mn矩阵 证明AB的充分必要条件是R(A)R(B)证明 根据定理 3 必要性是成立的 充分性 设R(A)R(B)则A与B的标准形是相同的 设A与B的标准形为D 则有 AD DB 由等价关系的传递性 有AB 11 设32321321kkkA 问k

46、为何值 可使 (1)R(A)1(2)R(A)2(3)R(A)3 解 32321321kkkA)2)(1(0011011 kkkkkr (1)当k1 时 R(A)1 (2)当k2 且k1 时 R(A)2 (3)当k1 且k2 时 R(A)3 实用标准文档 文案大全 12 求解下列齐次线性方程组:(1)02220202432143214321xxxxxxxxxxxx 解 对系数矩阵A进行初等行变换 有 A2122111212113/410013100101 于是 4443424134334xxxxxxxx 故方程组的解为 1343344321kxxxx(k为任意常数)(2)051050363024

47、32143214321xxxxxxxxxxxx 解 对系数矩阵A进行初等行变换 有 A5110531631121000001001021 实用标准文档 文案大全 于是 4432242102xxxxxxxx 故方程组的解为 10010012214321kkxxxx(k1 k2为任意常数)(3)07420634072305324321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx 解 对系数矩阵A进行初等行变换 有 A74216314721351321000010000100001 于是 00004321xxxx 故方程组的解为 00004321xxxx 实用标准文档 文案大全 (4)0

48、3270161311402332075434321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx 解 对系数矩阵A进行初等行变换 有 A3127161311423327543000000001720171910171317301 于是 4433432431172017191713173xxxxxxxxxx 故方程组的解为 1017201713011719173214321kkxxxx(k1 k2为任意常数)13 求解下列非齐次线性方程组:(1)83111021322421321321xxxxxxxx 解 对增广矩阵B进行初等行变换 有 实用标准文档 文案大全 B80311102132

49、124600034111008331 于是R(A)2 而R(B)3 故方程组无解 (2)69413283542432zyxzyxzyxzyx 解 对增广矩阵B进行初等行变换 有 B691413283542141320000000021101201 于是 zzzyzx212 即 021112kzyx(k为任意常数)(3)12222412wzyxwzyxwzyx 解 对增广矩阵B进行初等行变换 有 B11112212241111200000010002/102/12/11 实用标准文档 文案大全 于是 0212121wzzyyzyx 即 00021010210012121kkwzyx(k1 k2为

50、任意常数)(4)2534432312wzyxwzyxwzyx 解 对增广矩阵B进行初等行变换 有 B253414312311112000007/57/97/5107/67/17/101 于是 wwzzwzywzx757975767171 即 00757610797101757121kkwzyx(k1 k2为任意常数)14 写出一个以 实用标准文档 文案大全 1042013221ccx 为通解的齐次线性方程组 解 根据已知 可得 10420132214321ccxxxx 与此等价地可以写成 2413212211432cxcxccxccx 或 432431432xxxxxx 或 043024324