化工系统工程讲座_七_.pdf

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1、?年化学工程第!期化工系统 工程讲座七#梁玉衡化工部化工机械研究院第五讲化工过程系统最优化设计化工过程系统最优化设计是指选择一组过程系统 最优设计变量或控制变量#和 参数,使过程系统的 目标函数在满足 约束条件下达到最大值或最小值。所以过程 系统最 优化设计的数学模型可写成一般形式如下求目标函数化问题。这一 讲首先介绍化工过 程系统最优化的 基本概念和知识,后两讲将分别介绍静态 过程 系统和动态过程系统 的最 优化设计的方 法。,一%,&,(#)(在满足约 束条件+,仓,(#“.,唇,(+,息,(/0+1或+#23一?#一、化工过程系统最优化概述按照描述过 程 系统的变 量和 函数的性质来区分

2、,对于实际的过 程系统的最 优化问题分为连续过程系统最优化和离散过 程系统最优化两大类,为表3一?所示。表3一?连续过程系统和离散过程系统级优化项目的 最大值或最小值。式中+为4维状态 向量,为5维设计向量唇为6维参数向量(为时 间变量动态 系统#或空间变 量静态系统,在静态系统中往往用7代替(#,为8维一般894#向量函数,0,1分别为状态 变 量的 下限和上限。如果 过程系统特性与时间无关,则属 于静态过程系统最优化设计问题,若过程系统特性随 时间变化,则属于动态 过程系统最 优?#变量:#过程系统的状态方程连续过程系统最优化在时间域、空间域连续变化。对一个独立变量为代数方程、常微分方程或

3、 积分方程。对于两个以;上独立变量为偏 微分方程或微分一积分方程。函数或泛函数无约束有等式约束有不等式约束、管式和填充床式反应器用于蒸馏、吸收、芝取的填料塔热交换器一。离散过程系统最优化取时间域、空间域中某些 数位?%?了!#目标函数#约束条件3#举例函数或泛函数无约束有等式约束有不等式约束槽式反应器序列用于蒸馏、吸收、萃取的板式塔具有“级”特性的各种化工过 程。一 一由于工程实践中存在着大量的最优化问题,解决这一类问题的数学方法 即最优化方法,作为近代应用数学的 一个分支而得到迅速发展。最 优化方 法与计算数学、运筹学、现代控 制理论以及 电子计算机的发展有密切的关系,内容十分广泛。在化 学

4、工程 和化工系 统工 程中,常用的一些方 法可以分为间接最优化方法、直接最优 化方法和大型 问题的分解三大类。?。间接最优化方法如 果过程系统 能够用 明确的数学方程式描述,则可用数学解析 的方法寻找目标函数在满 足约束条件下的解,然后 从这些解中根据过程系统 的物理 意义或者充分条件找出最优解。间接最 优 化方 法要 利用过程系 统的全部信息 来确 定最优值,它要求解一个或一组方程式而不是 直接搜索最 优点。在解决 化学工程、化工系统工程 最优 设计问题 时常 使用的 微分法、变分法及 在变分法基 础上拓展出来的最大小#值 原 理和动态 规 划等都属 于间接最优化方 法。:直接最优化方法如果

5、过程系统很 复杂,最 优化的数学模型不能够用 明确的数学方程式描述,或者 由于数学模型太复杂而难以用解析 方 法求解,在这种情况下,不能用间接方 法,而要用直接方法。直接 最优 化方 法利用对 求解最 优化问题有利 的信息,通过目标函数在某一个局部区域 的一些已知数值,确定下 一步应 在什么地方计算目标函数的数值。寻找最优值有两个途径共一是在 许多点上估计目标函数值然后给 出 目标函数的近似式,再对它 用间接方法求最优值多其二是避免对目标函数作完整的描述,仅仅用试验过 程中逐 步产生的局部数据直接求最优值。在化学工程和化工系统工程中使用较多的 直接最优化方 法 分别有?#目标函数没有约束条件

6、的直接方法当目标函数没有约束条件时,直接方 法有梯度法、共扼梯度法、变尺度法、牛顿一拉夫森 法、鲍威尔或修正鲍威尔法、可行多面体法以及包括了试验法和曲线拟合法的一维搜索法等。:#目标函数有等式约束条件的直 接方 法当 约束条件有等式 约束条 件时,常用的直接方法有直接 消去法、雅可必法、待定系数法、罚函数法等。!#目标函数有不等式约束条件 的直接方 法当 目标函数有不等式 约束条件时,常用的直接方法有松弛 变量 法、罚函数法、线性规 划包括单纯形和复合形#方法、几何规戈方 法等。!大型问题分解当过程系统 的最优化问题涉及的变 量很多,函数关系也很复 杂时,无论用直接方法或 间接方法都很难求得最

7、优解。对这一类问题的最 优化设计要采 用分解方法,首先将一个大型 复杂 的最优 化 问题分解为一组小型 的问题子 系统#,先求小型问题 的最优解,然后再综 合求原有大型问题 的最优解。所谓分解包含有将大型问题总的目标函数分解为各个子系统 的目标函数或者将描述大型问题的高 维高阶的数学模型 分解为描述子系统的低维 低阶的数学模型两种意义。应该再次指出,大型问题 的分解要遵守大系统分解的原理,它不是简 单地将大型问题 分成若 干个维数和阶数较小 的子 系统,而是必须使任意一个子系统的最优 化结果不会影响其它子 系统的最优 化结果,否 则按分解得到的一系列 子系统的最 优化 结果 并不代表大型 问

8、题的最优化结果,从而 引出错误的结论。这个问题将在第七讲中予以详细说明。一?一竺、最优化方法涉及的一些基本概念?。决策或策略若目标函数是二个实数独立变量,。,。的函数,这5个独立变量可简单地记为具有5个分量的列 向量或一个点,。了&。、一一&,?一,;。;,门 氏巴,、,一牙一,”,”,”一气”二,当,的分量被定义为一组特定的数值 时,所得的向量 称为决策 或策略。:可行域、闭域、开域在实际的过程系统的最优设计中,决策的数值不是 主观地、任意 地确定的,对 于独立变量,的取值范围要加以一定的数学上的限制,满 足这些 限制或称 约束条 件的点 的全体构 成最优化问题 的可行域,常用表示。简 单地

9、 说,可行域即是 指满足约束条件的点的集合。若可行域包括了它的边界上 的所有点的集合,称为闭域。闭城用不严格不等式簇表示。若可行域的边界上有一部分不属于,则称为开域。开 域用 严格不等式表示。例3一?某化工过程系统由混合器、压缩机、管式反应器、分离器和 循环压缩机等单元设备组成,如图3一?所示。根据过程系统的技术经济分析,对一个规模为?,吨 年的系统,以每年操作费用为目标函数,它 与系统操作压力,、物料循环比,的函数关系可整理成下 式,#一?,+?2+,#一:3+?3,:3一!#在求每年操作费用为最小值 的问题中,按照过程系统的技术要求,?、,必须 满足下述条件镇,簇:,簇,镇 3一#则这两个

10、不等 式在座标平面 上构成的一个长方形区域 就是该 问题 的可行域,并且是一个闭域。见?页图3一#所示。!最 小值和最小点考察可行域中的一个特殊点,气若这一点的目标函数的值比可行域中其它任何一点的目标函数值都小,即对中的一切,手,。,带#,#3一3#则定义,#为目标函数的最小值,称为最小点。它是唯一 的。将式3一3#的不等式反向,可定 义目标函数的最大值和最大点。以后的计算说明,例3一?的最小值为,#二!+?,最小点分别为,带二?,7二。边界最小值和内部最小值在可行域中一切,笋,的点,如果,#簇,#3一#不止存在一个最小点,但目标函数的最小值是唯一的,则式3一#可写成,一,4(乞“,“3一#圈

11、3一?某化工过程系统流程筒圈?一混合器:一原料气压缩机!一管式反应器一分离器一循环压缩机若,在可行域的边界上,则争称为边界 上的最小值。否则称为内部最小值。3上界和下界在某些情况下,最小值不一定存在,特别一了 一是当可行域 是开域时往往是如此,在这种情况下,考察一个不一定在可行域中的点,广,在这一点上的 目标函数的值比可行域中其它任何一点的 目标函数的 值都小,即对,若有,#,#3一#则定义点,为目标函数,#的一个下界点。显然,下界点有无穷多个,定义了为所有下界点的集合,在其中必有使,#为最大的点,称 此点为最大下界,即 目标函数,#的下界是满足式3?#的点,即对,玉#乡,#3一?#目标函数的

12、下界记录为二,厂5;,二,#9;井 认,#3一?#、“产,任&一、“若将上述不等式反向,则可定义 目标函数的上界点。其中最小上界点称为目标函数的上界,记为于二五#二“黑,#3一:?#一、,声一,任、,户“若是闭域,由数学分析已经 证 明,闭域 上的连续函数必达到最小值,即一呼歌仁,#卜;旦髦,#一丁3一:#一,任“产刁,任&一“一目。最优值和最优点为了普遍采 用最优 值可以是 最大值,也可以是最小值#及最 优点 的概念,定义一,#一理认,#3一?!#“、“,任&一、“曰、“则带为目标函数的最优 值,为最优点。最优值 和最优 点都是唯一 的。考察一个可行点,和在,辛的一个 可行邻 域中的点 的集

13、合。这些点除满足 规定的的约束条件外,还满足下述附加条件2,一,叫的可行邻域,且对,丙,有产,#,#则定义尹,带#为一个局部最小值,为局部最小点“,一,“,一摆乞,3一 3应注意,令与尹是有区别的,带是希望求得的 目标函数的最小值,亦称为全域最小值,而尹倾&可由间接方法求得。最大和最小 的关系若1为正数,0为任意实数,为目标函数,#的 最小点,并且它亦为0十1,#的最小点。01,一,4 乞01,3一,同时亦为0一1,#的最大点。0一1“,一攫乞0一1,3一,由此可见,最优点 的位置不因加上 常数0和乘以正数1而改变。同时只要改变目标函数的符号,求目标函数的 最小值的方法可岁用来求目标函数的最大

14、值,反之亦然。即记为45,#二一40+一,#3一?#最大和 最小之间对应关系 如图3一:所不。马卜、份勺卜,式中,一一%若可行邻 域记为,一#:“3一“,则如果存在一个包含,帝图卜:最大和最小的对应关系一!一绝驻点及驻点性质的判别数学分析已经指出,驻点是指函数的一阶导数单变量函数#或一阶偏导数多变量 函数#值为零的点,或者函数的梯度为零的点。此 即局部最优点的必要条件但不是充分条件。驻点的性质用赫森矩阵判定若函数的赫森 矩阵为正定矩阵,则为局部最小值,若函数的赫森矩阵为负定矩阵,则为局部最大值。由数学分析中的维尔斯特拉斯定理可知,在闭域 上的连续 函数必然具有最小值和最大值。它的最小值和最大值

15、或则出现在 闭域内部,或则出现在 闭域 的边界上。为了确定最优点的位置,在数学分析中亦己证明连续函数在可行域 内部的最优点可能为其驻点,也可能为其不可微处的点,即闭域 上连续函数的最 优点只 能存在于以下三个位置上?#在闭域 内部的驻点,此时在该点处所有连续的一阶导数偏导数#为零。并用赫森矩阵判定其为最大值或最小值。:#在 闭域内部的一个或多个一阶导数偏导数#的间断点。!#在闭域 的边界上。以单变量函数为例,如图3一!所 示,由图可以看出最优点分别为局部极小点在边界上#。全局 最大点闭域内的点,一阶导数为间断点#。全局最小点闭域内的点,一阶导数为间断点#。局部极大点闭域内的点,驻点#。局部极小

16、点闭域内的点,驻点#。局部极大点在边界上#。?。函数的凸性、凹性?#单变量函数的凸性和凹性最优值最大值或最小值#与极值极大值或极小值#不同。前者指全域的性质,而后者为局部的性质。那末在什么条件下两者能够相等呢如果能够找出两者相等的条件,则可以利用求函数极值的方法去求函数的最优值。以单变量函数为例,对于区间0,1上的单变量函数,#,如果它的图形是上凹下凸的,则这种曲线的局部极小点,同时也是全局最小点。同理,若对于区间0,1上的单变量函数,#,如果它 的图形是上凸下凹的,则这种曲线 的局部极大点,同时也是 全局最大点。如 图3一所示。定义前者为公七卜以“,子,一,公电图3一!?1,凹西救单变且函数

17、在闭域,上的优点圈3一西橄的凸性 和凹性一一凸函数,后者为凹函数。由图3一可以看出,单变量 凸函数曲线的弦 上任意一点所对 应 的自变量 值为,则,产#均不大于,对应 的弦上自点的函数值#。一般地,刘 单变量凸函数,在定义域中任意两点,、,对于任何实数0,下式成立一个凸函数的负值构成一个凹 函数。换言之,对单变量凹函数,在定义域中任意 两点,、,对 于任何实数0,下 式成立、产5?,曰一?了飞,、叮口、了 声!#、%&一#(妻!%#(%&一!%#)!“%#%簇&!#,%&一#)+簇%!%#,%&一!%#(!“%#夕镇%&%一&.如果 式中只 是严格不等号成立,则称凸函数!%#为严格凸函数。%/

18、多变 量函数的凸性和凹性 凸集设0为1维欧氏空间中的一个集合,若集合中任意两点#,、#(的联线都属于该集合0,则 称集合0为一个凸集。以二维平面为例,如图一所 示。图中%为凸集,%2与%。为非 凸集。咨矛产产3 3、司4 一3、之乡尸&分产尸丁,凸等5、图一6“7盯。,非凸感8。5、9,葬占滚二维凸汽和非凸集由于在1维欧氏空间中,两点#(、。(联线上 任意一点#的座标可用数学式表 示为(#一#,%&一#(%弓一/&则对。廷簇&上的一切。值得到 的点#的全体组 成为#,、#)两点的联线。故 凸集定义如下(若#,、#)任0,对:钱。毛&的任意实数如有#;#(%&一#(任0%一/则 称0为凸集。式中

19、#,、#(为1维 向量。了#,、气#。生夕#?)42 凸函数对多变量函数!%#的凸性可定义如下(设!%#为定义在1维欧氏空 间中一个凸集0上的函数,对:簇镇&的 任意实数及0中任意 两点#,、#(,下式成立(!#7%&一#)%!%#7%&一!%#)%一/则 称!%#是 凸集0上的一个凸函数。如果式中 只是严 格不等式成立,则 称!%#是 凸集0上的一个严 格凸函数。应 该指出,函数!%#的定义 域必须 是凸集,否则式%一/的左边无 意义。同理,将式%3/的不等号反向,可得在 凸集上的凹函数 或严格凹函数。凸函数具有以下重要性质(?若在凸集?上,!#任?,且?,一%&一如果对所有,凸函数在己次可

20、薇 的任一点处,#为正半定矩阵,如果对所有,任,严格凸函数在二次可微的任一点处铲,#为正定矩阵。这 是依二阶导数而论,函数,#在上为凸函数的充分必要条件。以此特性判定函数的凸性。若!#、!#为凸集?上的两个凸函数,则对任意的正数(、),构成的新函数(!#)!#亦为凸集?上的凸函数。+若,、产为凸函数!#的两个最小点,则 其联线上的一切点也都是!#的最小点。若函数!#任?,且、?,?为凸集,则依一阶导数而论,!#为凸集?上的 凸函数的充分必要条件,下式成立!.#!/#!一,#01 !2#!&一3&#从数学分析可以证明函数凸性与局部极值、全 局最优值 之间的关系。若!#为凸集?上的一个函数,一般说

21、!#的极值点不一定是最优点,若!#是凸集?上 的一个凸函数,则!#的 任何 极值 点 也是!#的最优点4若!#为凸集?上的严格凸函数,则有唯一 的最优点。5,凸规 划求目标函数,满足下式系统的总吉布斯自由能6可表杀为友应程度7的单值函数,898!7#,证明8!7#为严格凸函数。解由化工热力学可知,理 想系统总吉布斯自由能8可用下式给出对:89习;48,一?;4!8一8分#8梦!&一3%#式中己。一8卜 0 一;二尹则理想气体系统总吉布斯自由能8可写 成。今。,。,了八:8一烈;气8十“0;针#&一3假定化学反应 在标准状态压力!?大气压#:,:,:下进仃,则了犷“田 卜式给出,;贡一丫一言一&

22、一3,对于理想气体系统,丫,9?,所以由式!&一3#、!&一3#可得出下式?一一8式中;,;,!8 0二?一#!&一。#!#、只4!#!?9?,3,!#9?,!&一3#、!#99?,#或!夕的最小值或最大值。式中9!,”一,。#丁,为向量,它的分量分别表示的分量的下界和上界。则称上述 问题为凸规 划。例&一3在一个由理想气体组成的封闭系统中,于恒温、恒压下进行单一化学反应,为组分的克分子数,为包括每个未反应组分在内的反应混合物的总分子数,”一买”,为理想气体常数,为系统温度。化学反应程度用下式定义0;2一;1?!&一?#所以式中;,9;夕47!&一3#为反应开始时组分的克分子数,组分的化学计量

23、系数,对反应产物取几臼?1正值将式对反应物取负值。一城(、。%一/代入式%一心可得 一一叉#二习5?王#分二所以,对于任意实数。以及5,大于2,下式成立 习5。,;、,;5分+?,_盖夕&勺,目 二,习5卜、+#;,冤甲,&了0一一一#不几5工53一!#3一!#+#分别对+求一阶导数和二阶导数,经整理后可得)+#)+二艺,卜 名、,5三红由式3一!?#看出,所有的0有相同符号,由于在化学反应方程式中,化学计量系数至少应 当有一个是正的,有一个是负的,所以下式亦必定成立)+#)+,二父五一竺,丁玉?王53!#3一!3#。:气尸,_花_:?一#2不几5玉5根据凸函数存在的充分必要条件,若+#为凸函

24、数,下式必须成立,即;?,、万、_不_一#不553一!#故+#为一个严格凸函数,荞#有唯一的极小值。这一结论不难推广于同时进行个线性无关的等温、等压理想系统,这些系统总的吉布斯自由能是个反应程度+9,:,”一,#的函数要使式3!#成立,则 只需证明,对于任意实数0,下式成立二+,+,+,+,+时,+#+一,3一#.么,+,#也是严格凸函数。当?%一5。0;8,”为任意实数,卜一(户,。,于八=扩一1,一?心一/1 ,艺?礼中式;叉,而且17。&若令%。,。7一丈;&,/,/?一1一。一。分别对1和、求一阶导数可得(、,产只?:口一亡!了气、口、尸一溥导=压1二&,/,;&,/,所以%,朴,(的

25、极小值亦为全局最小值。这一结论的物理意义是很明显的,即个线性无关的反应%独立反应在达到反应平衡时的平衡组成是唯一 的。关于平衡组成的计算见文献。例一证明例一&的二元函数是一个严格凸函数。解(由式%一!%#、#);&#一&。%#,#(一&/&#/分别对#,#(求!%#,、#(的二阶偏导数和 二阶混合偏导数可得(一行?一1,曰一一一纽汉一1,口一一旦旦3?1:上根据函数存在极值点的必要条件;,则得(之3。卫竺,41卜/一,一14口一1番芬%一.丝业业立二、&,#又,#诬:。季习,&,尸白乞了,#(?!台,#己,?,:#,#,?9+2,丁,万!9义?2,压:9+一,丁,万:又?,丁!,压?+?2,丁

26、,万:.?,工,三:+?2,丁?,王!/2它的各阶主 子行列 式如下?二 又?,丁!,三#:又?,丁!,三?+?2,丁,三:+?,工,三:火?日,?,万!/所以,、,#为严格凸函数,因此它有唯一的 最优值。?单峰函数若一个函数有唯一的局部最大值,则称这一函数为单 峰函数。考察一个函数,#在,“处的最大值。如 果在,今的邻域有任意两个点,、,若不等式,一,侧洲,一,洲成立,而且有,#,#,#,则连续经过,气,、,的轨迹是单 峰的。如果 任何点,与,手,今的所有点,用,#定义 的单峰轨迹相 连接,则函数,#是单峰函数。如果,和,用对所有,的 单峰直 线连接,则函数,#是强单峰 的函数。图3一给出了

27、单峰函数的几种情况。应注意,兰 峰函数不一定都是凹函数,但凹函数必定是单峰函数。所以凹性是比单峰性更强的 条件。如图3一所示,一个一 维 单峰函数,在0蕊,条件下,是 凸函数在,镇,廷1的条件下是凹函数。其次,在定义函数的凸性、凹性、单峰性时,没有规 定连续可微的要求。对 于凸函数和凹 函数必须 是连 续函数,但不要求可微,对于 单峰函数则不一定是 连续 的。仓卜口,回形图3一“,连坎单峰以“,不连续函数图3一了单峰函数与凸函数、凹函数的关系如果在单位长区间,镇?中点,的位置,案#达到该区间上 目标函数的 最大值气由,#的单峰性,保证它必存在唯 一的局部最大值,同 时假定,#沿,增加的方向达到

28、它 的最大值 之前是严格单调增加的,在最大 值后 是严格单调减少的,即 当,时,带当,时,带/,满足这样条件的函数称为严格单峰函数。?。等高线等值线#函数的等值 线是 函数对于某些常数值时飞#卜、人人、一 一点的轨迹。等值线可以是直线或曲线,也可以是 闭合的或者非闭合的。如对于一个二元函数,其等值线可记为,7,“:#一,#3一:#如例3一?的等值线于 图3一 示出。图中,9?为等式约束条件,约束最小值求法见下一讲。由等值线可以看出函数值的变化情况,一在极大点和极小点的附近,等值线近似于一个椭圆反之,如果,?,。#是一个二次函数,则只有在,#9为椭圆#圆可以看作圆椭的一个特例#时才有极值点。极值

29、点即是这个椭圆族 的共同 中心。因此求函数的极值点的 问题实际上就变成求等值线族的共同中心 的问题了。【待续】参 考文献。,带 伍=、。牵。浓丁夕碑?:毋陌脚少产六甘了目甘八灿,舀阳口图 3一 二元 函数的 等值线?南京大学数学系,“最 优化方法”科学出版社,?匀:兰州化机所,“化工系统工程学,修改稿#,内部资料,?3、?!?0)53),“2(470(5 05)0(”,0一?4,?44?1?0,“?)5?500445,0一?46,?:3?)5,“,5)0(5 6(470(5”5(0?,?梁玉 衡,石油化工3,?上接第 3 页】参考文献?,?5,(0?,“4 0?555,?(),045,?:?6,(0?,“4 0?5(0(5”,?(),5(一0?!?4(“40?5 55卜5(”,5)二0一?,?0),0,“4 0?0(几?05(”?(),5?5,?30,5,(0?,45,:,?!?了!#久保田宏等,日#“反应工学概论”初版,日刊工业新闻社,东京,主?:,一?一