敲开高中数学之门思想方法(讲座).doc

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1、敲开数学大门的钥匙-数学思想方法主讲: 石阡中学 李朝臣第1讲函数与方程思想第2讲 数形结合思想 第3讲 分类讨论思想 知识网络构建第4讲 转化与化归思想近几年全国卷考情分析数学思想方法是对数学知识最高层次的提炼与概括，数学思想方法较之数学知识具有更高的层次，具有理性的地位，它是一种数学意识，属于思维和能力的范畴，它是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁高考中把函数与方程的思想作为数学思想方法的重点进行考查，通过选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查；对数形结合思想的考查侧重两个方面：一方面是

2、充分利用选择题和填空题的题型特点(只需写出结果而无需写出解答过程)，突出将复杂的数量关系问题转化为直观的几何图形问题的意识，即由“数”到“形”的转化；另一方面在解答题中以由“形”到“数”的转化为主来考查数形结合思想；对于分类与整合思想是以解答题为主进行考查的，通常是通过对含有字母参数的数学问题进行分类与整合的研究，考查考生思维的严谨性与周密性；转化与化归思想在高考中的重点是一些常用的变换方法，如一般与特殊的转化，繁与简的转化，构造转化，命题的等价转化等纵观近几年的高考试题，都加大了对数学思想方法的考查，把数学思想方法的考查寓于各部分知识的考查之中，以知识为载体，着重考查能力与方法题目很常见预测

3、2013年数学高考中，仍然会在选择题、填空题、解答题中以初等数学的各个知识点为背景，考查数学思想方法，对数学思想方法的考查不会削弱，会更加鲜明，更加重视第1讲函数与方程思想主干知识整合1“函数与方程”思想的地位函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多函数思想即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决2“函数与方程”思想的作用运用方程思想解决问题主要从四个方面着手：一是把

4、问题中对立的已知与未知建立相等关系统一在方程中，通过解方程解决；二是从分析问题的结构入手，找出主要矛盾，抓住某一个关键变量，将等式看成关于这个主变元(常称为主元)的方程，利用方程的特征解决；三是根据几个变量间的关系，符合某些方程的性质和特征(如利用根与系数的关系构造方程等)，通过研究方程所具有的性质和特征解决；四是中学数学中常见的数学模型(如函数、曲线等)，经常转化为方程问题去解决3“函数与方程”思想在高中数学中的体现(1) 函数与方程是密切相关的，对于函数yf(x)，当y0时，就转化为方程f(x)0，也可以把函数式yf(x)看做二元方程yf(x)0.函数问题(例如求反函数，求函数的值域等)可

5、以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)0，就是求函数yf(x)的零点(2) 函数与不等式也可以相互转化，对于函数yf(x)，当y0时，就转化为不等式f(x)0，借助于函数图象与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式(3) 数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要(4) 函数f(x)(axb)n(nN*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题(5) 解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有

6、关理论(6) 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决要点热点探究探究点一函数方程思想在求解最值或参数的取值范围的应用例1 已知函数f(x)x32x2x，g(x)x2xa，若函数yf(x)与yg(x)的图象有三个不同的交点，求实数a的取值范围【解答】 函数f(x)与yg(x)的图象有三个不同的交点等价于方程x32x2xx2xa有三个不同的实数根，即关于x的方程x33x2a0有三个不同的实数根，令h(x)x33x2a，则h(x)3x26x.令h(x)0，解得0x0，解得x2.所以h(x)在(，0)和(2，)上为增函数，在(0,2)上为减函数所以h

7、(0)为极大值，h(2)为极小值从而h(2)0h(0)，解得4a0.【点评】 本题在求解参数取值范围时，利用函数的极值处理，迅速准确地使问题得到解决练习:如果关于实数x的方程ax23x的所有解中，仅有一个正数解，那么实数a的取值范围为()Aa|2a2 Ba|a0或a2 Ca|a2或a0；t(，1)，(1，)时，f(t)0，证明：f(x)；(3)若不等式x2f(x2)m22bm3时，x1,1及b1,1都恒成立，求实数m的取值范围【解答】 用三点共线的充要条件构建目标函数，借助导数研究单调性，利用值域构建不等式求解参数范围问题(1)y2f(1)ln(x1)0，y2f(1)ln(x1)，由于A、B、

8、C三点共线，即y2f(1)ln(x1)1，yf(x)ln(x1)12f(1)，f(x)，故f(1)，f(x)ln(x1)(2)令g(x)f(x)，由g(x)，x0，g(x)0，g(x)在(0，)上是增函数，故g(x)g(0)0，即f(x).(3)原不等式等价于x2f(x2)m22bm3，令h(x)x2f(x2)x2ln(x21)，由h(x)x，当x1,1时，h(x)max0，m22bm30.令Q(b)m22bm3，则解得m3或m3.练习 对于满足0p4的所有实数p，不等式x2px4xp3都成立，则实数x的取值范围是_x3或x1，若仅有一个常数c使得对于任意的x，都有y满足方程logaxloga

9、yc，这时a的取值的集合为_ (1)2【解析】 由logaxlogayc，得y(xa,2a)，则当xa,2a时，y.又对于任意的xa,2a，都有ya，a2，因此又仅有一个常数c，所以2loga23a2.(2)函数f(x)(0x2)的值域是() (2)CA. B. C. D.【解析】 由y，得y21cos2x5y24y2cosx.令tcosx(t1,1)，则等价于方程t24y2t5y210在1,1上有实数根令g(t)t24y2t5y21，g(1)y20，g(1)9y20，故y2，因此值域为，选C.探究点四运用函数、方程、不等式的相互转化，解决有关问题例4 若关于x的方程x22kx10的两根x1、

10、x2满足1x10x22，则k的取值范围是()A. B. C. D. A【解析】设函数f(x)x22kx1，关于x的方程x22kx10的两根x1、x2满足1x10x22，即k0，故选择A.练习 已知aR，若关于x的方程x2x|a|0有实根，则a的取值范围是_【解析】方程即|a|x2x2，利用绝对值的几何意义，得|a|，可得实数a的取值范围为.探究点五函数方程思想在数列问题中的应用例5 2010全国卷 记等差数列an的前n项和为Sn，设S312，且2a1，a2，a31成等比数列，求Sn.【解答】 设数列an的公差为d，依题设有即解得或因此Snn(3n1)，或Sn2n(5n)练习 已知函数f(x)若

11、数列an满足anf(n)(nN*)，且an是递增数列，则实数a的取值范围是()A. B. C2,3) D(1,3)【解析】A依题意，数列an满足anf(n)(nN*)，且an是递增数列，所以f(x)在(0，)上是增函数，所以解得aln21且x0时，exx22ax1.【解答】(1)f(x)ex2，所以当xln2，)时，f(x)是增函数；当x(，ln2)时，f(x)是减函数所以f(x)的单调递增区间是ln2，)，单调递减区间是(，ln2)所以f(x)极小值f(ln2)22ln22a.(2)证明：设g(x)exx22ax1，则g(x)ex2x2a，由(1)知当aln21时，g(x)最小值22ln22

12、a，所以有g(x)最小值0，即g(x)在R上是增函数，于是当aln21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)，所以g(x)exx22ax10，所以exx22ax1.22010抚州卷 已知数列an，bn中，a10，b11，且当nN*时，an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列(1)求数列an，bn的通项公式；(2)求最小自然数k，使得当nk时，对任意实数0,1，不等式(23)bn(24)an(3)恒成立【解答】 (1)依题意2bnanan1，abnbn1.又a10，b11， bn0，an0，且2bn，2(n2)， 数列是等差数列，又b24，b39，n，n1也适合bnn2，

13、an(n1)n.(2)将an，bn代入不等式(23)bn(24)an(3)，整理得(2n1)n24n30.令f()(2n1)n24n3，则f()是关于的一次函数，由题意可得解得n1或n3.存在最小自然数k3，使得当nk时，不等式恒成立规律技巧提炼1函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处量变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式，是很重要的数学思想(1)函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量之间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是一关键步骤，大体可分为下面两个步骤：根据题意建立变量之间的函数关系

14、式，把问题转化为相应的函数问题；根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题2)方程思想(：在某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程或(方程组)，通过解方程(或方程组)求出它们，这就是方程思想2函数与方程是两个有着密切联系的数学概念，它们之间相互渗透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法来支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想第2讲数形结合思想主干知识整合1数形结合思想的概念数形结合思想，就是把问题的数量关系和图形结合起来考查的思想方法，即根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质和特征去

15、研究，或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题去研究数形结合思想，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思想方法，在高考中经常考查2数与形转换的三条途径(1)通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解(2)转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到形的角度来考虑如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等(3)构造，通过对数(式)与形特点的分析，联想相关知识构造图形或函数等比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等3数形结合的主要解题方式(1)数转化为形，即根据所给出的“数”的特点，构造符合条件的几何图形，用几何方法解决(2)形转化为数，即根据题目特点，用代数方法去研究几何问题(

16、3)数形结合，即用数研究形，用形研究数，相互结合，使问题变得简捷、直观、明了华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”运用数形结合思想解题，不仅直观，易于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理，简化解题过程，可起到事半功倍的效果所以华先生还一语双关地告诫学生“不要得意忘形”要点热点探究探究点一代数问题几何化以形助数例1 (1)2010湖北卷 若直线yxb与曲线y3有公共点，则b的取值范围是()A1,12 B12，12 (1)CC12，3 D1，3【解析】 曲线方程可化简为(x2)2(y3)24(1y3)，即表示圆心为(2,3)，半径为2的半圆依据数形结合，当直线yxb与此半圆相切时须满

17、足圆心(2,3)到直线yxb距离等于2，2，解得b12或b12.因为是下半圆，故可得b12，当直线过(0,3)时，解得b3，故12b3，所以C正确 (2)2010全国卷 若变量x，y满足约束条件则zx2y的最大值为()A4 B3 C2 D1(2)B【解析】 画出可行域(如下图)，zx2yyxz，由图可知，当直线l经过点A(1，1)时，z最大，且最大值为zmax12(1)3.【点评】 本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力求解时，将代数式赋予了几何意义，那就是直线的“在轴上的截距的2倍的相反数”，再结合图形，从而使问题得到解决除了赋予“截距”的意义外，我们还经常将式子赋予“斜率”“

18、两点间的距离”等请看下面变式题练习(1)已知实系数方程x2(m1)xmn10的两个实根分别为x1，x2，且0x11，x21，则的取值范围是()A. B. C. D(2，1)(1) A【解析】 解答此题的关键是要由根的分布将条件转化为m，n的关系式，令f(x)x2(m1)xmn1，则f(x)0的两根分别满足0x11，即有即为以上区域内的动点(m，n)和原点连线的斜率的范围(如图)，从而得到20时函数为减函数，故选A.(2)2010安徽卷 设abc0，二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是()D【解析】 (2)根据二次函数图象开口向上或向下，分a0或a0时，b、c同号，C、D两图中c0，故b0，

19、选项D符合(3)2010重庆卷 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是()A直线 B椭圆 C抛物线 D双曲线(3)D【解析】 (图形略)在边长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，DC与A1D1是两互相垂直的异面直线，平面ABCD过直线DC且平行于A1D1，以D为原点，分别以DA，DC为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设点P(x，y)在平面ABCD内且到A1D1与DC的距离相等，则|x|，x2y2a2.【点评】 转换数与形的重要途径之一就是通过坐标系的建立，引入数量，化静为动，以动求解练习(1)2010湖南卷 函数yax2bx与ylogx(ab

20、0，|a|b|)在同一直角坐标系中的图象可能是() D【解析】 函数yax2bx与x轴的两个交点是(0,0)，.对于A、B，由抛物线的图象知，则(0,1)，所以ylog|x不是增函数，排除；对于C，由抛物线的图象知a0且1，所以ylog|x应是增函数排除C，故选D.(2)若动直线x与函数f(x)sinx和g(x)cosx的图象分别交于M、N两点，则的最大值为()A1 B. C. D2 (2)B高考命题者说【考查目的】 本题考查三角函数的最大值的求法，考查数形结合的数学思想【命制过程】 考生对f(x)sinx和g(x)cosx的图象是比较熟悉的本题可以通过作图直观得到线段MN，但要从图形的变化确

21、定线段MN的长度的最大值是困难的，这就必须将“形”转化为“数”实际上|MN|sincos|sin.命制本题的目的是考查数形结合思想的应用和三角函数yAsin(x)的最大值的求解方法【解题思路】 |MN|sincos|.【试题评价】 试题以考生熟悉的三角函数图象入手，巧妙设计动态的图形变化，将“形”的问题求|MN|的最大值，转化为“数”的问题求函数y|sincos|的最大值，不仅突出考查了三角函数的图象和性质，也考查了考生将知识迁移到不同情境中的能力，将数形结合的思想充分展现出来(引自高等教育出版社2009年大纲版的高考理科试题分析第62页第8题)探究点三“数”“形”互助相得益彰例3 (1)20

22、10全国卷1 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D, 且2，则C的离心率为_(1)【解析】 (法一)如图，|BF|a，作DD1y轴于点D1，则由2，得，所以|DD1|OF|c，即xD，由椭圆的第二定义得|FD|ea.又由|BF|2|FD|，得a2ae 解法二：设椭圆方程为第一标准形式1，设D(x2，y2)，F分BD所成的比为2，xC x2xCc；yCy2 ，代入椭圆方程得1e.(2)2010安徽卷 椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e.(1)求椭圆E的方程；(2)求F1AF2的角平分线所在直线的方程【解答】 (1)设椭圆

23、E的方程为1. 由e，即，a2c，得b2a2c23c2，所以椭圆方程1. 将A(2,3)代入上式，得1，解得c2，椭圆E的方程为1. (2)由(1)知F1(2,0)，F2(2,0)，所以直线AF1的方程为y(x2)，即3x4y60；直线AF2的方程为x2. 由椭圆E的图形知F1AF2的角平分线所在直线的斜率为正数设P(x，y)为F1AF2的角平分线所在直线上任一点，则|x2|.若3x4y65x10，即x2y80，其斜率为负，不合题意，舍去于是3x4y65x10，即2xy10.所以F1AF2的角平分线所在直线的方程为2xy10.备选练习(选题依据：1,2均为数形结合，很有代表性)12010黄冈卷

24、 方程2sincos，0,2)的根的个数是()A1 B2 C3 D4【解析】B因为方程有根，故cos0，令sinx，(1x1)，则问题转化为方程2x的根的个数的问题，记C1：y2x，C2：y，则问题转化为两曲线交点个数的问题在同一坐标系中画出它们的图象，如图所示，故选B.【点评】 方程根的个数与曲线交点的个数是相同的本例先对数式换元转化，再进行数形转化，最后考查曲线交点的个数2如果实数x，y满足等式(x2)2y23，则的最大值是()A. B. C. D.【解析】 D 将写成的形式，这样就可以看成是圆(x2)2y23上任意一点到定点(0,0)连线的斜率如图，显然当连线与圆相切时取得最值，其中倾斜

25、角为锐角的切线斜率最大，为.规律技巧提炼1运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等价性原则：要注意由于所作的草图不能精确刻画数量关系带来的负面效应；(2)双向性原则：即进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易失真；(3)简单性原则：不要为了“数形结合”而数形结合，而取决于是否有效、简便和更易达到解决问题的目的2运用数形结合思想分析解决问题时要注意：(1)两个或两个以上的函数图象在同一个坐标系内时，必须要考虑它们的相对位置关系，否则易出错例如方程sinxlgx有多少个实数解？很多学生由图得只有1个解，这是错误的(2)要熟记常见函数或曲线的形状和位

26、置，画图要比较准确第3讲分类讨论思想主干知识整合1分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，同时也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要的帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略2运用分类讨论思想解题的基本步骤：(1)明确讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；(2)对所讨论的对象进行合理分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级)；(

27、3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；(4)归纳总结：将各类情况总结归纳3明确引起分类讨论的原因，有利于掌握用分类讨论的思想方法解决问题，分类讨论的主要原因有：(1)由数学概念引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角、两条直线所成的角等；(2)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数中真数与底数的要求、不等式中两边同乘以一个正数、负数对不等号方向的影响等；(3)由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；(4)由图形的不确定性引起的分类讨论；(5)由参数的变化引起的分类讨论，某些含参数的问题，由于

28、参数的取值不同会导致所得结果不同，或者由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；(6)其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，应用问题等要点热点探究探究点一根据数学概念分类讨论例1 2009广东卷 已知二次函数yg(x)的导函数的图象与直线y2x平行，且yg(x)在x1处取得极小值m1(m0)设f(x).(1)若曲线yf(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为，求m的值；(2)k(kR)如何取值时，方程f(x)kx0有解，并求出该方程的解【解答】(1)依题可设g(x)a(x1)2m1(a0)，则g(x)2a(x1)2ax2a，又g(x)的图象与直线y2x平行，2a2，a

29、1，g(x)(x1)2m1x22xm，f(x)x2.设P(x0，y0)，则|PQ|2x(y02)2x22x2m22m2|m|2m，当且仅当2x时，|PQ|2取得最小值，即|PQ|取得最小值.当m0时，解得m1；当m0，当m0，k1或者m0，k1(m0)，或k1(m0(n1,2，) (1)求q的取值范围；(2)设bnan2an1，记bn的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小【解析】 由于涉及等比数列的前n项和公式的应用，须分q1和q1讨论欲比较Sn与Tn的大小，只需求出Sn与Tn后，再用作差法比较【解答】 (1)因为an是等比数列，Sn0，可得a1S10，q0.当q1时，Snna10；当q1时

30、，Sn0，即0，(n1,2，)上式等价于不等式组：(n1,2，)或(n1,2，)解式得q1；解，由于n可为奇数、可为偶数，得1q0，且1q0，当1q2时TnSn0，即TnSn；当q2且q0时，TnSn0，即Tn0，此时f(x)0，函数f(x)在(0,1)上单调递减；当x(1，)时，g(x)0，函数f(x)在(1，)上单调递增当a0时，由f(x)0，即ax2x1a0，解得x11，x21，(i)当a时，x1x2，g(x)0恒成立，此时f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减；(ii)当0a时，x10，此时f(x)0，函数f(x)在(0,1)上单调递减；当x时，g(x)0，函数f(x)在上单调递

31、增；x时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)在上单调递减；(iii)当a0时，由于1x2，当x(0,1)时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)在(0,1)上单调递减；x(1，)时，g(x)0，函数f(x)在(1，)上单调递增综上所述：当a0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)在(1，)上单调递增；当0a时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)在上单调递增，函数f(x)在上单调递减；当a时，函数f(x)在(0，)上单调递减【点评】 本题分类讨论的目的是为了判定导函数的符号，正是因为a的不同取值对导函数的符号的影响，才决定着必须进行分类讨论讨论时要突出目的性

32、、全面性、准确性探究点四根据图形位置或形状变动分类讨论例4 2010辽宁卷 有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是() AA(0，) B(1,2)C(，) D(0,2)【解析】 根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱锥形的铁架，有以下两种情况：(1)底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a，如图(1)，此时a可以取最大值，可知AD，SD，则有2，即a284()2，即有a0即可满足条件综上分析可知a(0，)【点评】 涉及几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，需要根据图形的特征进行分类讨论变试题 (1)已知椭圆1的两个焦点分别是F1，F2，P是椭圆上的任意一点，则使得三角形PF1F2是直角三角形的点P的个数为( ) DA2 B4 C6 D8 (1)【解析】按照直角三角形PF1F2的直角顶点的不同情况分析研究若F1为直角顶点，则这样的直角三角形一定存在，且有两个，如图.若F2为直角顶点，则这样的直角三角形一定存在，且有两个，如图.若P为直角顶点，若这样的P点存在，设其坐标为(x，y)，依题意F1(4,0)，F2(4,0)，于是(4x，y