概率论与数理统计讲义稿38610.pdf

《概率论与数理统计讲义稿38610.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计讲义稿38610.pdf（101页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 概率论与数理统计讲义稿 Last revision on 21 December 2020 第一章 随机事件与概率 随机事件 随机试验与样本空间 概率论约定为研究随机现象所作的随机试验应具备以下三个特征：（1）在相同条件下试验是可重复的；（2）试验的全部可能结果不只一个，且都是事先可以知道的；（3）每一次试验都会出现上述可能结果中的某一个结果，至于是哪一个结果则事前无法预知。为简单计，今后凡是随机试验皆简称试验，并记之以英文字母E。称试验的每个可能结果为样本点，并称全体样本点的集合为试验的样本空间，分别用希腊字母和表示样本点及样本空间。必须指出的是这个样本空间并不完全由试验所决定，它部分地取

2、决于实验的目的。假设抛掷一枚硬币两次，出于某些目的，也许只需要考虑三种可能的结果就足够了，两次都是正面，两次都是反面，一次是正面一次是反面。于是这三个结果就构成了样本空间。但是，如果要知道硬币出现正反面的精确次序，那么样本空间就必须由四个可能的结果组成，正面-正面、反面-反面、正面-反面、反面-正面。如果还考虑硬币降落的精确位置，它们在空中旋转的次数等事项，则可以获得其它可能的样本空间。经常使用比绝对必要的样本空间较大的样本空间，因为它便于使用。比如，在前面的例子中，由四个可能结果组成的样本空间便于问题的讨论，因为对于一个“均匀”的硬币这四个结果是“等可能”的。尽管这在有 3 种结果的样本空间

3、内是不对的。例 1E：从最简单的试验开始，这些试验只有两种结果。在抛掷硬币这一试验中出现“正面”或“反面”；在检查零件质量时，可能是“合格”或“不合格”；当用来模拟电子产品旋转的方向时，结果是“左边”或者“右边”；在这些情况下样本空间简化为：=正面,反面。2E：更复杂一些，有的随机试验会产生多种可能的结果，比如掷一颗骰子，观察出现的点数。样本空间为：1,2,3,4,5,6。3E:掷两枚硬币（或者观察两个零件或两个电子产品），可以得到=（正面，正面）、（反面，反面）、（正面，反面）、（反面，正面)读者可以将其推广到掷n 个硬币，样本空间里有多少样本点呢 4E：再复杂一些，一名射手向某目标射击，直

4、至命中目标为止，观察其命中目标所进行的射击次数。从理论上讲，只要不能击中目标,射手就必须一直射下去，故样本空间为 1,2,3,n，其中含无穷多个样本点。这也适用于商品销售，假设商场可以无限量地销售某种商品，每天销售的该商品数的样本空间为,2,1,0。5E：在人类学研究中“随机抽取一个人”并测量他的身高和重量，电梯设计师能利用这些资料设计电梯的空间和载重，对于中国人，身高（单位：米）的样本空间取5.2,0,就足够了，体重（单位：公斤）的样本空间取200,0,也许就足够了。在大部分实际的设计问题中，设计师有时会同时考虑电梯使用者的所有可能的身高和体重，更具体地说，设计者通常会对同时提供了可能使用者

5、身高和体重的结果感兴趣。因此，样本空间是12(,)()0,2.5 0 200 高度,重量，。随机事件 随机试验的结果称为随机事件，简称事件，并以大写英文字母,A B C D记之。事件与集合的对应以及它们的运算 通常用希腊字母表示样本空间,表示样本点。称“是的成员”或者“属于”，或者“是的元素”，记为.如果不是试验的一个可能结果，那么不是的元素，则记为.一个事件对应于样本空间的一个子集，因此某事件发生当且仅当它对应的子集中的某个元素（即样本点）在试验中出现。用A表示事件A是的子集。事件的相互关系与集合论中集合的包含、相等以及集合的运算等概念对应。以下就是这些对应关系与运算。为简化起见，以下均假设

6、涉及的集合12,nA B AAA等都是的子集，而不再每次申明。1.事件的包含集合的包含 集合AB即“A包含于B”，意为A中元素都在B中，或说，如果A，必有B。对应于事件，表示A的样本点都在B中，即当A的样本点出现于试验结果B之中，即A发生时，B当然也就发生了，或说“A的发生必导致B的发生”。图 AB的文氏图 2.事件的相等集合的相等 称集合 A和 B相等，并记为AB，是说“AB且BA”。对应于事件，称 A和B 相等，记为AB，就是“如果A发生，则B必然发生，同样如果B发生，则A必然发生”。相等的事件含有相同的样本点。3.事件的并（和）并集 集合 A和 B的并集记为AB,它的元素或者属于A，或者

7、属于B（当然有的可能同时属于 A和 B），即:ABAB 或。对应事件的并AB表示“A或B至少有一个发生”。图 AB的文氏图 并的概念可以推广到n个事件和可数个事件,12,nA AA的并121niniAAAA表示“(1,2,)iAin中至少有一个发生”；可数个事件12,nAAA的并niiAAAA211表示“(1,2,)iAin中至少有一个发生”。4.事件的交（积）交集 两个集合 A和 B的交集记为AB，它是由既属于 A又属于 B的元素构成的集合，即 对应于事件的交AB表示“A和 B同时发生”。AB常简记作AB。图 AB的文氏图 类似地，交得概念也可以推广到n个事件的交,121niniAAAA表示

8、“n个事件(1,2,)iAin同时发生”，可数个事件的交121iniAAAA表示“可数个事件(1,2,)iAin同时发生”。5.逆事件（对立事件）补集 的子集 A的补集记为A，它是由属于但不属于 A的元素构成的集合，因为仅牵涉到属于（样本空间）的点，集合A就是由那些不属于 A元素组成的。记为 图 A的文氏图 对应于事件，A发生当且仅当A不发生时发生，称作事件A的逆事件。利用上述事件的并和交的运算符号，有 AA 及 AA 6.事件的差差集 集合A与B的差集AB由A中那些不属于B的元素全体组成。对应地，事件的差AB表示“A发生而B不发生”即ABAB。图 AB的文氏图 7.互斥（或不相容）事件不交集

9、 在集合论中,若AB,则表明A,B没有公共元素，它们互不相交。对应于事件,若AB，则表明A，B不同时发生，称A与B互斥（或不相容）。图 AB的文氏图 8.必然事件和不可能事件样本空间和空集 有两个特殊的集合需要特别讨论，一个是样本空间本身，从集合的定义容易推断出是它自身的子集，从包含关系的左边取一个元素使它不在右边集合中，显然是不可能的，因此。又假设存在集合，该集合不包含任何元素（空的集合），必定是每一个集合的子集，对任何子集A，要从中找到一个元素不在A中，显然是不可能的，因为没有元素，因此，A成立。对应于事件，称试验必然会出现的结果为必然事件。注意到以下等式总是成立的 上述事件间的关系与运算

10、可由集合论中的文氏图予以展示。与集合运算一样，事件的运算亦有如下的运算律：1交换律：ABBA，ABBA；2结合律：()()ABCABC，()()ABCABC；3分配律：()()()ABCABAC，()()()ABCABAC；4对偶律：ABAB，ABAB。上述运算律亦可推广到任意有限个或可列个事件的情况。例如，对n个事件(1,2,)iB in有分配律 11nniiiiABAB，11nniiiiABAB 对偶律留给读者自行写出。图 n个事件的关系图 对可列个事件(1,2,)iA in的分配律也留给读者，此处给出有对偶律 及 为帮助读者熟悉事件的运算。以三个集合为例，A、B和 C 的并集，如图的文氏

11、图是有用的。根据图，请读者检验这些等式：图 三个事件的关系图 例 已知一批机器螺钉中含有许多次品，随机抽取三个并检验。令,A B C分别表示其第一、二、三次所抽到的螺钉是次品的事件。试用,A B C及其运算表示下列事件：（1）第三次抽到正品；（2）只有第三次抽到次品；（3）恰有一次抽到次品；（4）至少有一次抽到次品；（5）不止一次抽到次品（或至少抽到两个次品）；（6）没有抽到次品。解 （1）.C （2）.ABC （3）.ABCABCABC（4）.ABC（5）.ABACBC（6）CBACBA.概 率 频率与概率 定义 称在相同条件下所做的n次试验中事件A发生的次数An为A发生的频数，并称比值An

12、n为事件A发生的频率，记作 A 定义 在相同条件下所做的n次试验中，当n 时，事件A发生的频率()nfA稳定在某个常数p附近。称此常数p为事件A发生的概率，记作 概率的公理化定义 定义 设试验E的样本空间为。对于中每一个事件A都赋予一个实数()P A，它具有以下三条基本性质：1.0()1P A；2.()1P ；3.如果,321AAA 是中任意一列两两互斥的事件(,)ijAAij当，无论有限或无限，如果 表示事件“至少出现一个iA”，则 或表示为 11()iiiiPAP A，则称实数()P A为事件A的概率。利用概率的三条基本性质可以推导出概率的其他性质。4.()1()P AP A。证 因AA

13、，AA，故由基本性质 2 及 3 有 1()()()()PP AAP AP A，移项即得。5.不可能事件的概率为 0，即()=0P。证 因=，由基本性质 3 有 再由性质 1 得()=0P。注 空集的概率为 0，它被称之为不可能事件。但要注意的是这并不是意味着一个概率为 0的事件 A必须是“不可能”或者等于。将在后面举例说明。6.有限可加性：若事件12,nA AA两两互斥，则 证 因121=niniA AAA，故 121()niniPAP AAA，再由性质 3 和 5 即得。注 本性质从概率的可数可加性导出了有限可加性。7.若AB，则()()()P BAP BP A且()()P AP B。证

14、由于AB，则()BABA，且A与()BA互斥，故由性质 6 有()()()P BP AP BA即()()()P BAP BP A。再由性质 1，()0P BA，于是()()P AP B。8.（加法定理）如果1A和2A是任何事件，不必是互斥事件，则 证 显然 12112()AAAAA和21212()()AAAAA 对于每一个等式来说右端的并集中的两个事件都是互斥事件。根据性质 3 第二个等式给出12212()()()P AAP AP AA，把它代入第一个等式就得到了要证明的结论。可将性质 8 推广到n个事件的情形：如果1A,2A,nA是任何事件，不必是互斥事件，则 （）右边的这些加和包括了单个事

15、件、两个事件、三个事件等的所有可能的交集。证 遵循性质 8 的证明可以用归纳法证得，具体的细节省略，熟悉归纳法证明的读者应该没有困难的补充这些证明。古典概型 下面讨论一类在概率论发展初期讨论的最多的试验古典概型的概率计算。它适用于有限的离散概率空间的情形，并且每个样本点都以等可能出现。定义 设试验E的样本空间有有限多个样本点，即12,n ，且每个样本点出现的可能性相同。称此试验为古典概型。因为样本点是两两互斥的，根据概率的基本性质 2 和 3，在古典概型中，一方面有 1()1niiPP，另一方面，所有)(iP都相等，所以 11()()nniiiiiPPnP，可见每一个样本点i出现的概率为 所以

16、，若事件A由An个样本点构成，则其发生的概率 这是古典概型计算事件概率的基本公式。独 立 性 事件的独立性 1.两个事件的独立性 从字面意义上说，若事件A与事件B的发生互不影响，称A与B相互独立应是恰当的。那么概率论中该如何定义事件的独立性呢 定义 称两个事件A和B互相独立（或者统计意义下的独立），如果 作为特殊情形，若,A B中有一个是必然事件或不可能事件，则（）式显然成立。这表明，任意事件都与（或）相互独立。定理 设事件A与事件B相互独立，则A与B，A与B，A与B亦相互独立。证 以下证明A与B相互独立，此即A和B的独立性。关于事件A和B独立，只要交换A和B角色即可。类似可证关于事件A和B的

17、独立性。初学者往往容易将事件A与B独立和事件,A B互斥相混淆，常误以为独立就是互斥。或许是独立与互斥这两个汉语词汇的词义相近造成这样的误解。其实当,A B都具有正概率时，由定义，若,A B独立，则()0P AB，从而,A B相容而不是互斥；而当,A B互斥时则因()0P AB，但()()0P AP B，所以,A B不独立。2.多个事件的独立性 先考虑 3 个事件，称事件321,AAA两两独立，如果 121213132323()()(),()()(),()()().P A AP AP AP A AP AP AP A AP AP A （）进一步称321,AAA互相独立，如果成立，并且 也成立。显

18、然互相独立要强于两两独立。,A B C满足()()()()P ABCP A P B P C，,A B C中可能有两个事件不相互独立。请看下面的例子：例 假设投掷两枚均匀的硬币，设A是事件“第一次出现正面”，设B是事件“第二次出现正面”，设C是事件“两个硬币匹配”（两个正面或两个反面）。易知事件A和事件B是独立事件，而事件A和C也是独立事件，同样B和C是独立事件（为什么）。所以事件A，B和C是两两独立，但是观测1()4P ABC，然而 从而事件A，B和C是不独立的，尽管他们是两两独立。另一种情况，仅有，也不能保证成立，见下例。例 掷一颗骰子，观察其点数。令1,2,3,4A，4,5,6B，3,4,

19、5C，则有 2()3P A，1()().2P BP C 于是 而 1()()().6P ABP A P B n个事件。定义 称事件12,kA AA两两相互独立的，如果 对任何ji 成立.若n个事件12,nA AA满足以下21nn个等式 则称n个事件12,nA AA相互独立。由此定义看出，在规定n个事件12,nA AA的相互独立性时应能保证其中的任意k个事件(1)kn亦相互独立。惟有如此才是合理的。因此也可把上述定义重述为：称一列事件12,nA AA是相互独立的，如果其中任意有限多个事件相互独立。对于n 伯努利概型 像掷硬币试验那样只有两个可能结果A与A的试验称之为伯努利（Bernoulli）试

20、验。又如，射手向某目标射击，只考虑两个结果：击中与未击中；掷一颗骰子考察结果是出现 6 点还是未出现 6 点；从一批产品中任意取出一件产品，看其是合格品还是不合格品；买彩票中奖或不中奖；这些都是伯努利试验。为方便计，有时将A称作“成功”，而将A称作“失败”。与掷硬币试验一样，人们可在相同条件下将伯努利试验重复进行n次。显然，n次试验的结果应是相互独立的，且每次试验中事件A发生的概率都一样。称这样的试验为独立重复试验。定义 称独立重复进行的n次伯努利试验为n重伯努利试验。称独立重复进行的可数次伯努利试验为一个伯努利独立试验序列。例 解 这是一个 3 重伯努利试验。由题设可知每次取到红球的概率为，

21、若以iA表示第i次“取到红球”的事件，则试验的样本空间为 由独立性，容易算出每个样本点出现的概率。例如33216.0)(AAAP，而4.06.0)(2321AAAP。由于事件B=“恰有 2 个红球”=123123123,AA AA A AAA A，其中样本点是两两互斥的，所以 条件概率 条件概率 定义 设,A B为两个事件，若()0P B，则定义“事件B发生条件下事件A发生的条件概率”为 定义适用于任何随机试验（而非只适用于古典概型）的条件概率定义，它同时提供了用无条件概率计算条件概率的方法。因为条件概率也是概率，因此它也应具有类似无条件概率的三条基本性质：1.0(|)1P A B；2.(|)

22、1PB；3.对两两互斥的事件列12,nA AA，有 注 条件概率既然是概率，它也应有概率的其他性质，如加法定理：如果1A和2A是任何事件，不必是互斥事件，则 读者可以把无条件概率的其他性质推广到条件概率。可以把条件概率进一步推广到多个事件的情形，如果,1,2,3,iA in是 n个事件，给定121,nA AA出现，那么nA的条件概率由下面的公式给出：乘法公式 利用定义立即可得下面的概率乘法定理。定理 设,A B为两个事件，则当()0P B 时，称上面的公式为乘法公式。有一个重要的特殊情形，当A与B相互独立时，事件B的发生不会改变A发生的概率，即(|)()P A BP A时，这时乘法公式变为 反

23、之，当()0P B 时，若,A B(|)().P A BP A于是得到下面的定理。定理 设()0P B，则事件,A B相互独立的充要条件是 下面给出乘法定理的推广形式。定理 设有n个事件12,nA AA满足121()0nP A AA，则有 证 注意到112121()()()0nP AP A AP A AA，并1n 全概率公式与贝叶斯公式 定义 假设nBBBB,321是为某试验的样本空间的一组互不相容的事件，也就是满足(,1,2,)ijB Bij i jn，如果还满足1niiB，则称事件组nBBB,21为的一个分割。即任两个iB不可能同时出现，而且其中一个必须出现。定理 设nBBB,21为的一个

24、分割，且有()0(1,2,)iP Bin，则对任意事件A有 niiiBPBAPAP1)()|()(（）证 由定理假设，A是任何事件，如果A发生，那么它必然与 iB中一个同时发生（见图）。即 因nBBB,21两两互斥，故nABABAB,21亦两两互斥，再利用公式就得 niiiBPBAP1)()|(全概率公式可以推广到可数的子集构成的分割的情形。即假设123,B B B是可数多个互不相容事件，且满足(,1,2,)ijB Bij i j，和1iiB，则如果有(0)(1,2,)iP Bi，则对任意事件A有 1)()|()(iiiBPBAPAP （）下面来探讨另一个问题。如果观测到事件A实际发生，要计算

25、条件概率)|(ABPj。通过使用和，发现 公式称为贝叶斯(Bayes)公式，有许多的应用。定理贝叶斯定理)事件组nBBB,21为的一个分割,且有()0(1,2,)iP Bin，则对任意事件A有 证 由条件概率公式()(|)()jjP BAP BAP A 通常称上述公式为贝叶斯公式或逆概公式。第一章 一、选择题。1、设,A B为随机事件，且()0,(|)1P BP A B，则必有（）（A）()()P ABP A （B）()()P ABP B（C）()()P ABP A （D）()()P ABP B 2、将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A=掷第一次出现正面，2A=掷第二次出现正面3A=正、反面

26、各出现一次，4A=正面出现两次，则事件有（）（A）123,A A A相互独立 （B）234,A A A相互独立（C）123,A A A两两独立 （D）234,A A A两两独立 3、对于任意二事件A和B，则（）（A）若AB ，则,A B一定独立 （B）若AB ，则,A B有可能独立 （C）若AB ，则,A B一定独立 （D）若AB ，则,A B一定不独立 4、A，B是两随机事件，当A，B发生时事件C发生，则以下正确的是（）A）、)()(CPABP B）、)()()(ABPCPABCP C）、)()(CPBAP D）、)()(CPBAP 5、A，B，C是 三 个 随 机 事 件，其 中1)(),

27、(),(0CPBPAP，且 已 知)|()|()|(CBPCAPCBAP，则以下正确的是（）A）、)|()|()|(CBPCAPCBAP B）、)()()(ABPACPABACP C）、)()()(BPAPBAP D）、)|()()|()()(BCPBPACPAPCP 6、A，B，C是三个随机事件，设以下条件概率均有意义，则以下不正确的是（）A）、)|(1)|(CAPCAP B）、1)|()|(CAPCAP C）、)|()|()|()|(CABPCBPCAPCBAP D）、)|()|()|()|()|(CBAPCBPBCAPCBPCAP 7、A，B是两个随机事件，其中0)(,0)(BPAP，则

28、以下正确的是（）A）、AB，A，B一定独立 B）、AB，A，B不一定独立 C）、AB，A，B一定独立 D）、AB，A，B不一定独立 8、甲袋中有 2 个白球 3 个黑球，乙袋中全是白球，今从甲袋中任取 2 球，从乙袋中任取 1 球混合后，从中任取 1 球为白球的概率 9、10 台洗衣机中有 3 台二等品，现已售出 1 台，在余下的 9 台中任取 2 台发现均为一等品，则原先售出 1 台为二等品的概率为 10、若 A,B 为任意两个随机事件，则 ()(A)P ABP A P B (B)P ABP A P B(C)2P AP BP AB (D)2P AP BP AB 11、某人向同一目标独立重复射

29、击,每次射击命中目标的概率为01pp,则此人第 4次射击恰好第 2 次命中目标的概率为 （）(A)23(1)pp (B)26(1)pp (C)223(1)pp (D)226(1)pp 12、设,A B是两个随机事件,且0()1,()0,(|)(|),P AP BP B AP B A则必有（）(A)(|)(|)P A BP A B (B)(|)(|)P A BP A B(C)()()()P ABP A P B (D)()()()P ABP A P B 二、填空题 1、A，B是两随机事件，5.0)(AP，7.0)(BP，则 )(ABP 。2、A，B是两随机事件，3.0)(AP，5.0)(BAP，则

30、)(BAP 。3、A，B是两随机事件，)()(BAPABP，pAP)(，则)(BP 。4、一袋中有 10 件产品，其中 3 件次品，7 件正品，从中不放回地取 3 次，则“至少有两件次品的概率”为 。5、从 5 双不同的鞋子中任取 4 只，则此 4 只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率为 。6、设有n个人，每个人都等可能的被分配到N个房间中的任意一间去住Nn，求（1）、指定的n个房间各有一个人住的概率为 。（2）、恰有n个房间各有一个人住的概率为 。7、从)1,0(中任取两个数x和y，则满足条件的31xy的概率为 。8、随机地向半圆2(,)02x yyaxx（其中0a，是常数）内掷一点，则原点

31、和该点的连线与x轴的夹角小于4的概率为_。9、从长度为a的线段内任取两个点，将其分成三段，求它们可以构成一个三角形的概率为 。10、试证对任意两个事件A与B，如果()0P A，则有()(|)1()P BP B AP A）11、设P(A)0，P(B)0，证明(1)若A与B相互独立，则A与B不互斥(2)若A与B互斥，则A与B不独立 12、设两两相互独立的三事件A，B，C，满足：ABC，P(A)P(B)P(C)21,并且169)(CBAP，求事件A的概率 13、一袋中有 5 件产品，其中 2 件次品，3 件正品，从中不放回地取 2 次，设A=第一次取得正品，B=第二次取得正品，则)|(ABP 。14

32、、若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于65”的概率为_.15、在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之1()2P AB 差的绝对值小于12的概率为_.16、设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为19,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等,则()P A=_.17、一批产品共有 10 个正品和 2 个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为_.18、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为和,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为_.第二章 一维随机变量及其分布 随机变量 随机试验有各种不同的可能结果，有些情况下，这

33、些可能的结果都可以用数量表示。【例】在含有 3 件次品的 20件产品中，任意抽取 2 件观察出现的次品数。如果用 X表示出现的次品数，则X可能取的值有 0、1、2，取不同的值代表不同事件的发生。“0X”表示事件“没有次品”“1X”表示事件“有一件次品”“2X”表示事件“有两件次品”。有些试验结果并不直接表现为数量，但可以使其数量化。【例】抛掷一枚硬币，观察出现正面还是反面。我们规定：变量X取值如下“0X”表示事件“出现反面”“1X”表示事件“出现正面”这样便把试验结果数量化了。无论哪一种情形，都体现出这样的共同点：对随机试验的每一个可能结果，有唯一一个实数与它对应。这种对应关系实际上定义了样板

34、空间上的函数，通常记作)(XX，。定义 设随机试验的样板空间为，)(XX 是定义在样板空间上的实单值函数，称)(XX 为一维随机变量，通常用大写字母,X Y Z等表示。随机变量的取值随试验的结果而定，在试验前不能预知它取什么值，即随机变量的取值是随机的，具有偶然性；但随机变量取某一值或某一范围内值的概率是确定的，具有必然性。如，例 1中(P“有一件次品”268.0/1)22011713CCCXP；例 2 中P(“出现正面”)2/11XP。这显示了随机变量与普通函数有着本质的差异。引入随机变量，可以将对随机事件的研究转化为对随机变量的研究，进一步有可能用数学分析的方法对随机试验的结果进行深入的研

35、究。根据随机变量取值情况的不同，最常见的随机变量有离散型随机变量和连续型随机变量两种。离散型随机变量 定义 如果随机变量的全部可能取值是有限个或可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量。例如，“掷骰子出现的点数”，“某班数学的及格人数”只能取有限个值，“命中目标前的射击次数”可取可列无穷多个值，它们都是离散型随机变量。一、离散型随机变量的概率分布 对于离散型随机变量，除了要知道它可能取哪些值外，更重要的是要知道它取这些值的概率。定义 设离散型随机变量X所有可能取的值为 1x，2x，kx，X取这些值的概率依次为12,kp pp，则称 kkpxXP，(1,2,k)为离散型随机变量X的概率分布

36、或分布律。概率分布也可以用如下表格的形式表示：由概率的定义，概率分布具有以下两个性质：（1）0kp，1,2,k （2）11kkp。【例】若离散型随机变量X的概率分布为 求常数a的值。解 由概率分布的性质，有 所以 1/3a。二、三种常见离散型随机变量的分布 1(0 1)分布（或两点分布）定义 设随机变量X只可能取 0、1 两个值，它的概率分布为 pXP 1，pXP10（01p）即 1,0,)1(1kppkXPkk，)10(p 或 0 1 则称X服从参数为p的(01)分布或两点分布。只有两种可能结果的随机试验的概率分布都可用两点分布表求，如产品的“合格”与“不合格”；新生儿的“男”、“女”性别；

37、射击目标“命中”与“没命中”；以及掷硬币的“出现正面”与“出现反面”等等。2二项分布 定义 设随机试验E只有两种可能的结果：A或A，在相同条件下将E重复进行n次，各次试验结果互不影响，则称该n次试验为n重独立试验，又称为n重贝努利试验。若试验E中，事件A发生的概率()P Ap，（01p），可以证明在n重贝努利试验中，事件A恰好发生k次的概率为 knkknpPC)1(。定义 若随机变量X的概率分布为 knkknpPCkXP)1()(，（0,1,kn）其中01p，则称X服从参数为,n p的二项分布，记为),(pnbX。可以证明其满足分布律的两个条件。特别地，当1n 时，二项分布化为 即为(01)分

38、布或两点分布。注意到(1)kkn knC pp恰是(1)npp二项展开式中的第1k 项，二项分布由此得名。满足二项分布的随机变量X的取值就是事件A在n重贝努利试验中发生的次数。3泊松分布 定义 设随机变量X所有可能取的值为,2,1,0，而取各个值的概率为!)(kekXPk，（,2,1,0k）其中0是常数，则称X服从参数为的泊松分布，记为)(X。可以证明其满足分布律的两个条件。一般地，泊松分布可以作为描述大量重复试验中稀有事件出现的频数的概率分布情况的数学模型，即当n很大)20(n，p很小)05.0(p，而乘积np大小适中时，二项分布),(pnb可以用泊松分布作近似 npkknkkneknppP

39、C!)()1(，（,2,1,0k）随机变量的分布函数 一般情况下，人们只对某个区间内的概率感兴趣，即研究下列四种可能的区间的概率 只要利用一维坐标轴就分容易得出下列结论 当0 1221122112211221 P xXxP XxP XxP xXxP XxP XxP xXxP XxP XxP xXxP XxP Xx 所以，我们只须定义一个P Xx形式就可以了，其他区间形式都可以用它表示出来。于是定义：F xP Xx为X的分布函数。它就是X落在任意区间,x上的概率，本质上是一个 累积函数，对于离散点，采用叠加，对于连续点，使用一元积分。定义 设X是随机变量，x是任意实数，函数 称为X的分布函数。分

40、布函数是一个普通的函数，其定义域是整个实数轴在几何上，它表示随机变量X 的取值落在实数 x左边的概率 分布函数具有性质：1.1)(0 xF；2.)(xF是x的不减函数；3.0)(lim)(xFFx，1)(lim)(xFFx；4.)()0(xFxF，即)(xF是右连续的。上述全部可能的表示中，只有0F x，但 0F xF x，因为假如 110F xF x，那么，当离散型在1x点的概率不为零时，等式1212P xXxP xXx就会出现矛盾，故 F x不可能左连续。其中，0000000limxxP XxF xF xF xF x是计算离散型分布函数的重要公式。又，上式中根本不可能出现0F x的形式，0

41、F xF x对上述 5 种关系没有任何影响，即 F x右连续 00000;0 且 F xF xF xF x。当然，由于连续型在一点的概率恒为零，所以，连续型分布函数左连续和右连续同时成立。正是要求 F x右连续，才使 F x成为分布函数的普适定义。评 注 分布函数可以描述任何类型的随机变量，不仅可以描述连续型，还可以描述离散型及其其他非连续型，但不同的随机变量可以有相同的分布函数。对连续型任一点的概率等于零，而对非连续型任一点的概率不一定等于零。我们要重点掌握离散和连续两类随机变量的分布规律。注意，存在既非离散型又非连续型的分布函数，如 0,01,0121,1xF xxxx等类型。例 设 12

42、,F xFx为两个分布函数，其相应的概率密度 12,fxfx是连续函数，则必为概率密度的是（）（A）12fx fx （B）212fx F x（C）12fx Fx （D）1221fx Fxfx F x【例】设 12,F xFx都是分布函数，常数0,0,1abab，证明 12F xaF xbFx也是分布函数，并举例说明分布函数不只是离散与连续两种。证明：分布函数的三个基本条件：（1）1212xxF xF x（2）lim0,lim1xxF xF x（3）0F xF x 所以，F x也是分布函数。取：12ab，并令 由于 F x是不连续的分段函数，故即不是离散型，又不是连续型。例 设X的分布函数为 0

43、,10.4,110.8,131,3xxF xP Xxxx ，求X的概率分布。解：由于 F x要求右连续，故等号必须加在号上。又由于每一区间的 F x为常数，故X具有离散型特征。F x在1,1,3x 处有第一类跳跃间断点，即X在这些点的概率不为零，即正概率点存在。计算如下 X的概率分布（即离散分布律）为 1 3 连续性随机变量及其概率密度 一、连续性随机变量及其概率密度 定义 对随机变量X的分布函数)(xF，如果存在非负函数)(xf，使对任意实数x，有 则X称为连续型随机变量，其中)(xf称为X的概率密度函数，简称概率密度。显然，改变概率密度)(xf在个别点的函数值不影响分布函数)(xF的取值。

44、概率密度)(xf具有性质：1.0)(xf；2.1)(dxxf；3.对于任意实数21,xx，21xx，有 21)()()(1221xxdxxfxFxFxXxP；4.若)(xf在点x连续，则有)()(xfxF。概率密度)(xf表示的不是随机变量X取值x的概率，而是X在x处概率分布的密集程度，)(xf的大小能反映出X在x领域内取值概率的大小，xxfxxXxP)(。【例】设连续型随机变量 X具有概率密度 （1）确定常数k；（2）求X的分布函数)(xF；（3）求2523 XP。连续型随机变量X的分布函数)(xF是x的连续函数；X取任一实数值a的概率为0，即0 aXP，因此有 注意：0 aXP，但aX 不

45、一定是不可能事件；同样1)(AP，但A不一定是必然事件。二、三种常见连续型随机变量 1均匀分布 定义 设连续型随机变量X的概率密度为 则称X在区间),(ba服从均匀分布，记为),(baUX。可以证明它满足概率密度的两个最基本性质。它的分布函数为【例】设随机变量 X在2，5上服从均匀分布，现对 X进行三次独立观测。试求至少有两次测值大于 3的概率。解 依题意得 X的密度函数为 设 Y 表示三次独立观测中其测值大于 3的次数，则 2指数分布 定义 设连续型随机变量X的概率密度为 其中0为常数，则称X服从参数为的指数分布，记为)(EX。可以证明它满足概率密度的两个最基本性质。它的分布函数为 例 指数

46、分布的特点是：“无记忆性”，即000|P xXxx XxP Xx。试证明之。证明：00000000000000000000,|1111111xxxxxP xXxxXxP xXxxPXxP xXxx XxP XxP XxeeP xXxxF xxF xeF xP XxP XxF xe 例（2013 数一）.设随机变量 Y服从参数为 1 的指数分布，a为常数且大于零，则PYa+1|Ya=。例.设随机变量 X 服从参数为的指数分布,且 X 落入区间（1,2）内的概率达到最大,则=.3正态分布 定义 设连续型随机变量X的概率密度为 222)(21)(xexf，x 其中)0(,为常数，则称X服从参数为,的

47、正态分布，记为),(2NX。可以证明它满足概率密度的两个最基本性质。它的分布函数为 dtexFxt222)(21)(，x 当1,0时，称X服从标准正态分布，记为)1,0(NX，其概率密度和分布函数分别为 2221)(xex，dtexxt2221)(。易知)(1)(xx。对于一般正态分布和标准正态分布，有以下关系：引理 若),(2NX，则)1,0(NXZ。由此得 【例】已知)4,8(2NX，求0,16XPXP和2012 XP。【例】设),(2NX，求X落在区间),(kk内的概率)3,2,1(k。定义 设)1,0(NX，对于给定的)10（，如果u满足条件 则称点u为标准正态分布的上分位点。显然有

48、1)(u，uu1。常见的u的值 随机变量的函数的分布 在实际问题中，不仅需要研究随机变量，往往还要研究随机变量的函数，即已知随机变量 X的概率分布，求其函数 Y=g(X)的概率分布.【例】设随机变量X具有以下分布，试求：（1）XY2，（2）2)1(XZ的分布律 小结：设离散型随机变量X的分布律为 kkpxXP，),2,1(nk 其函数 Y=g(X)的分布律可按如下步骤计算：（1）计算Y全部可能取的值：)(,),(),(21nxgxgxg，有相同的只取其中之一，然后将它从小到大排列，记为kyyy,21；（2）计算Y取kyyy,21各个值的概率：如果1y 只与)(1xg相同，则11)(pyYP；如

49、果1y与)(),(21xgxg都相同，则211)(ppyYP。对每个),2,1(kiyi都作同样处理，就可确定Y取kyyy,21各个值的概率 【例】设随机变量X具有概率密度 求随机变量82XY的概率密度。【例】设随机变量 X 服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量2XY 在（0，4）内的概率密度 yfY=_ 小结：设连续型随机变量X的概率密度为)(xfX，x，如何计算其函数 Y=g(X)的概率密度)(yfY （1）一般地，可先求Y的分布函数)()()(yXgPyYPyFY，由“yXg)(”解出X，得到一个与“yXg)(”等价的X的不等式，并以后者代替“yXg)(”（这一步是关键），然后将)(y

50、FY对y求导得到概率密度)(yfY。【例】已知随机变量X的服从0,上的均匀分布，求sinYX的概率密度。解:：分布函数定义法 X的概率密度为：先确定Y的值域为0,1Y。故 00;11;YYyFyyFy 当01y时 x的单调区域D有两个，即|0arcsin|arcsinDxxyxyx，根据反函数的定义，D的两个单调区域存在反函数。使用一般法，得 【例】X服从0,1 N，求XYe,221YX,YX的概率密度。解：1 2210,1()2xXNf xe x 一般解法：由0 恒成立XYe，故，当 0y ()0YFyP Yy 当0y 时 ()YFyP Yy()(ln)XP eyP Xy=2212xlnye