最新考研数学之线性代数讲义(考点知识点+概念定理总结)13131.pdf

《最新考研数学之线性代数讲义(考点知识点+概念定理总结)13131.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新考研数学之线性代数讲义(考点知识点+概念定理总结)13131.pdf（93页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品资料.考研数学之线性代数讲义(考点知识点+概念定理总结)精品资料.收集自网络，不以任何盈利为目的。欢迎考研的同学，下载学习。线性代数讲义 目录 第一讲 基本概念 线性方程组 矩阵与向量 初等变换和阶梯形矩阵 线性方程组的矩阵消元法 第二讲 行列式 完全展开式 化零降阶法 其它性质 克莱姆法则 第三讲 矩阵 乘法 乘积矩阵的列向量和行向量 矩阵分解 矩阵方程 逆矩阵 伴随矩阵 第四讲 向量组 线性表示 向量组的线性相关性 向量组的极大无关组和秩 矩阵的秩 第五讲 方程组 解的性质 解的情况的判别 基础解系和通解 第六讲 特征向量与特征值 相似与对角化 特征向量与特征值概念,计算与应用 相似

2、对角化判断与实现 精品资料.附录一 内积 正交矩阵 施密特正交化 实对称矩阵的对角化 第七讲 二次型 二次型及其矩阵 可逆线性变量替换 实对称矩阵的合同 标准化和规范化 惯性指数 正定二次型与正定矩阵 附录二 向量空间及其子空间 附录三 两个线性方程组的解集的关系 附录四 06,07 年考题 第一讲 基本概念 1线性方程组的基本概念 线性方程组的一般形式为:a11x1+a12x2+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+a2nxn=b2,am1x1+am2x2+amnxn=bm,其中未知数的个数 n 和方程式的个数 m 不必相等.线性方程组的解是一个 n 维向量(k1,k2,kn)(称为解向

3、量),它满足:当每个方程中的未知数 xi都用 ki替代时都成为等式.线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.精品资料.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解.b1=b2=bm=0 的线性方程组称为齐次线性方程组.n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成 0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.2.矩阵和向量 (1)基本概念 矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.

4、由 mn 个数排列成的一个 m 行 n 列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个 mn 型矩阵.例如 2-1 0 1 1 1 1 1 0 2 2 5 4-2 9 3 3 3-1 8 是一个 45 矩阵.对于上面的线性方程组,称矩阵 a11 a12 a1n a11 a12 a1n b1 A=a21 a22 a2n 和(A|)=a21 a22 a2n b2 am1 am2 amn am1 am2 amn bm 精品资料.为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第 i 行第 j 列的数称为(i,j)位元素.

5、元素全为 0 的矩阵称为零矩阵,通常就记作 0.两个矩阵A和B相等(记作A=B),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.由 n 个数构成的有序数组称为一个 n 维向量,称这些数为它的分量.书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是 a1,a2,an的向量可表示成 a1 (a1,a2,an)或 a2 ,an 请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是 1n矩阵,右边是 n1 矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)一个 mn 的矩阵的每一行是一个 n 维向量,称为它的行向量;每一

6、列是一个m 维向量,称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A的列向量组为1,2,n时(它们都是表示为列的形式!)可记A=(1,2,n).精品资料.矩阵的许多概念也可对向量来规定,如元素全为 0 的向量称为零向量,通常也记作 0.两个向量和相等(记作=),是指它的维数相等,并且对应的分量都相等.(2)线性运算和转置 线性运算是矩阵和向量所共有的,下面以矩阵为例来说明.加(减)法:两个 mn 的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是 mn 矩阵,记作 A+B(A-B),法则为对应元素相加(减).数乘:一个 mn 的矩阵A与一个数 c 可以相乘,乘积仍为 mn 的矩阵,记作

7、cA,法则为A的每个元素乘 c.这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律:加法交换律:A+B=B+A.加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C).加乘分配律:c(A+B)=cA+cB.(c+d)A=cA+dA.数乘结合律:c(d)A=(cd)A.cA=0 c=0 或 A=0.转置:把一个 mn 的矩阵 A 行和列互换,得到的 nm 的矩阵称为A的转置,记作A T(或A).有以下规律:(AT)T=A.(A+B)T=AT+BT.(cA)T=cAT.精品资料.转置是矩阵所特有的运算,如把转置的符号用在向量上,就意味着把这个向量看作矩阵了.当是列向量时,T表示行向量,当是行向量时,T表示列向量.向量

8、组的线性组合:设1,2,s是一组 n 维向量,c1,c2,cs是一组数,则称 c11+c22+css 为1,2,s的(以 c1,c2,cs为系数的)线性组合.n 维向量组的线性组合也是 n 维向量.(3)n 阶矩阵与几个特殊矩阵 行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为 n 的矩阵也常常叫做 n 阶矩阵.把 n 阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)下面列出几类常用的 n 阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵:对角线外的的元素都为 0 的 n 阶矩阵.单位矩阵:对角线上的的元素都为 1 的对角矩阵,记作E(或I).数量矩阵:对角线上的的元素都等于一个

9、常数 c 的对角矩阵,它就是 cE.上三角矩阵:对角线下的的元素都为 0 的 n 阶矩阵.下三角矩阵:对角线上的的元素都为 0 的 n 阶矩阵.对称矩阵:满足AT=A矩阵.也就是对任何 i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的 n 阶矩阵.精品资料.(反对称矩阵:满足AT=-A矩阵.也就是对任何 i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素之和总等于 0 的 n 阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是 0.)3.矩阵的初等变换和阶梯形矩阵 矩阵有以下三种初等行变换:交换两行的位置.用一个非 0 的常数乘某一行的各元素.把某一行的倍数加到另一行上.(称这类变换为倍加变换)类似

10、地,矩阵还有三种初等列变换,大家可以模仿着写出它们,这里省略了.初等行变换与初等列变换统称初等变换.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:如果它有零行,则都出现在下面.如果它有非零行,则每个非零行的第一个非 0 元素所在的列号自上而下严格单调递增.把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非 0 元素所在的位置称为台角.简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,特点为:台角位置的元素为 1.并且其正上方的元素都为 0.每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵.这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算,必须十分熟练.精品资料.请注意:1.一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并

11、不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.2.一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.4.线性方程组的矩阵消元法 线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法:用同解变换把方程组化为阶梯形方程组(即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组).线性方程组的同解变换有三种:交换两个方程的上下位置.用一个非 0 的常数乘某个方程.把某个方程的倍数加到另一个方程上.以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.线性方程组求解的基本方法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法.对非齐次线性方程组步骤如下:(1)写出方程组的增广矩阵(A|),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(B|).(2)用(B|)

12、判别解的情况:如果最下面的非零行为(0,0,0|d),则无解,否则有解.有解时看非零行数 r(r 不会大于未知数个数 n),r=n 时唯一解；rn 时无穷多解.(推论:当方程的个数 mn 时,不可能唯一解.)(3)有唯一解时求解的初等变换法:去掉(B|)的零行,得到一个 n(n+1)矩阵(B0|0),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(E|),则就是解.精品资料.对齐次线性方程组:(1)写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B.(2)用B判别解的情况:非零行数 r=n 时只有零解；rn 时有非零解(求解方法在第五章讲).(推论:当方程的个数 m2 时,(A*)*=|A|n-2

13、A；n=2 时,(A*)*=A.二 典型例题 精品资料.1.计算题 例 1=(1,-2,3)T,=(1,-1/2,1/3)T,A=T,求A6.讨论:(1)一般地,如果 n 阶矩阵A=T,则Ak=(T)k-1A=(trA)k-1A.(2)乘法结合律的应用:遇到形如T的地方可把它当作数处理.1 -1 1 T=-1 1 -1 ，求T.（2003 一）设=(1,0,-1)T,A=T,求|aE-An|.n 维向量=(a,0,0,a)T,a1)例 3 1 0 0 设A=1 0 1 ，(1)证明当 n1 时An=An-2+A2-E.(2)求An.例 4设A为 3 阶矩阵,1,2,3是线性无关的 3 维列向量

14、组,满足 A1=1+2+3,A2=22+3,A3=22+33.求作矩阵B,使得A(1,2,3)=(1,2,3)B.(2005年数学四)例 5 设 3 阶矩阵A=(1,2,3),|A|=1,B=(1+2+3,1+22+33,1+42+93),求|B|.(05)精品资料.例 6 3 维向量1,2,3,1,2,3满足 1+3+21-2=0,31-2+1-3=0,2+3-2+3=0,已知1,2,3|=a,求|1,2,3|.例 7 设A 是 3 阶矩阵,是 3 维列向量,使得P=(,A,A2)可逆,并且A3=3A-2A2.又 3 阶矩阵B满足A=PBP-1.(1)求B.(2)求|A+E|.(01 一)2

15、 1 0 例 8 3 阶矩阵A,B满足ABA*=2BA*+E,其中A=1 2 0 ,求|B|.(04 一)0 0 1 例 9 3-5 1 设 3 阶矩阵A=1-1 0 ,A-1XA=XA+2A,求X.-1 0 2 例 10 1 1-1 设 3 阶矩阵A=-1 1 1 ,A*X=A-1+2X,求X.1-1 1 例 11 4 阶矩阵A,B满足ABA-1=BA-1+3E,已知 1 0 0 0 A*=0 1 0 0 ,求B.(00 一)1 0 1 0 0-3 0 8 例 12 3 0 0 1 0 0 已知A=2 1 0 ,B=0 0 0 ,XA+2B=AB+2X,求X11.2 1 3 0 0-1 精品

16、资料.例 13 设1=(5,1,-5)T,2=(1,-3,2)T,3=(1,-2,1)T,矩阵A满足 A1=(4,3)T,A2=(7,-8)T,A3=(5,-5)T,求A.2.概念和证明题 例 14 设A 是 n 阶非零实矩阵,满足A*=AT.证明:(1)|A|0.(2)如果 n2,则|A|=1.例 15 设矩阵A=(aij)33满足A*=A T,a11,a12,a13为 3 个相等的正数,则它们为(A)3/3.(B)3.(C)1/3.(D)3.(2005 年数学三)例 16 设A 和B都是 n 阶矩阵,C=A 0 ,则C*=0 B (A)|A|A*0 .(B)|B|B*0 .0|B|B*0|

17、A|A*(C)|A|B*0 .(D)|B|A*0 .0|B|A*0|A|B*例 17 设A是 3 阶矩阵,交换A的 1,2 列得B,再把B的第 2 列加到第 3 列上,得C.求Q,使得C=AQ.例 18 设A是 3 阶可逆矩阵,交换A的 1,2 行得B,则(A)交换A*的 1,2 行得到B*.(B)交换A*的 1,2 列得到B*.(C)交换A*的 1,2 行得到-B*.(D)交换A*的 1,2 列得到-B*.(2005 年)例 19 设A是 n 阶可逆矩阵,交换A的 i,j 行得到B.精品资料.(1)证明B可逆.(2)求AB-1.例 20 设 n 阶矩阵A满足A2+3A-2E=0.(1)证明A

18、可逆,并且求A-1.(2)证明对任何整数 c,A-cE可逆.讨论:如果 f(A)=0,则(1)当 f(x)的常数项不等于 0 时,A可逆.(2)f(c)0 时,A-cE可逆.(3)上述两条的逆命题不成立.例 21 设是 n 维非零列向量,记A=E-T.证明(1)A2=AT=1.(2)T=1 A不可逆.(96一)讨论:(2)的逆命题也成立.例 22 设A,B都是 n 阶矩阵,证明 E-AB可逆 E-BA可逆.例 23 设 3 阶矩阵A,B满足AB=A+B.(1)证明A-E可逆.(2)设 1-3 0 B=2 1 0 ,求A.0 0 2 (91)例 24 设A,B是 3 阶矩阵,A可逆,它们满足 2

19、A-1B=B-4E.(1)证明A-2E可逆.精品资料.(2)设 1-2 0 B=1 2 0 ,求A.0 0 2 (2002)例 25 设 n 阶矩阵A,B满足AB=aA+bB.其中 ab0,证明(1)A-bE和B-aE都可逆.(2)A可逆 B可逆.(3)AB=BA.例 26 设A,B都是 n 阶对称矩阵,E+AB可逆,证明(E+AB)-1A也是对称矩阵.例 27 设A,B都是 n 阶矩阵使得A+B可逆,证明(1)如果AB=BA,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(2)如果A.B都可逆,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(3)等式B(A+B)-1A=A(A+B)-1B总成立.例

20、28 设A,B,C都是 n 阶矩阵,满足B=E+AB,C=A+CA,则B-C为 (A)E.(B)-E.(C)A.(D)-A.(2005 年数学四)参考答案 1-1/2 1/3 例 1 35A=35-2 1 2/3 .3 -3/2 1 3.a2(a-2n).-1.E.4.例 2 O.例 3 (1)提示:An=An-2+A2-EA n-2(A2-E)=A2-E A(A2-E)=A2-E.(2)n=2k 时,1 0 0 精品资料.An=k 1 0 .k 0 1 n=2k+1 时,1 0 0 An=k+1 0 1 .k 1 0 例 4 1 0 0 B=1 2 2 .1 1 3 例 5 2.例 6 4a

21、.例 7 0 0 0 B=1 0 3 .|E+A|=-4 0 1-2 例 8 1/9.例 9 -6 10 4 X=-2 4 2 .-4 10 0 例 10 1 1 0 (1/4)0 1 1 .1 0 1 例 11 6 0 0 0 B=0 6 0 0 .6 0 6 0 0 3 0-1 例 12 1 0 0 2 0 0 .6-1-1 例 13 2-1 1 -4-2-5 .例 15 (A).例 16 (D).精品资料.例 17 0 1 1 Q=1 0 0 .0 0 1 例 18(D).例19 E(i,j).例22 提示:用克莱姆法则.例如证明,即在E-AB可逆时证明齐次方程组(E-BA)X=0 只有

22、零解.例 23 1 1/2 0 A=-1/3 1 0 .0 0 2 例 24 0 2 0 A=-1-1 0 .0 0-2 例 25 提示:计算(A-bE)(B-aE).例 28(A).第四讲 向量组的线性关系与秩 一.概念复习 1.线性表示关系 设1,2,s是一个 n 维向量组.如果 n 维向量等于1,2,s的一个线性组合，就说可以用1,2,s线性表示.如果 n 维向量组1,2,t 中的每一个都可以可以用1,2,s线性表示,就说向量 1,2,t可以用1,2,s线性表示.判别“是否可以用1,2,s线性表示?表示方式是否唯一？”就是问：向量方程 精品资料.x11+x22+xss=是否有解？解是否唯

23、一？用分量写出这个向量方程,就是以1,2,s为增广矩阵的线性方程组.反之,判别“以A为增广矩阵的线性方程组是否有解？解是否唯一？”的问题又可转化为“是否可以用A的列向量组线性表示?表示方式是否唯一？”的问题.向量组之间的线性表示问题与矩阵乘法有密切关系:乘积矩阵AB的每个列向量都可以表示为A的列向量组的线性组合,从而AB的列向量组可以用A的列向量组线性表示;反之,如果向量组1,2,t可以用1,2,s线性表示,则矩阵(1,2,t)等于矩阵(1,2,s)和一个 st 矩阵C的乘积.C可以这样构造:它的第 i 个列向量就是i对1,2,s的分解系数(C不是唯一的).向量组的线性表示关系有传递性,即如果

24、向量组1,2,t可以用1,2,s线性表示,而1,2,s可以用1,2,r线性表示,则1,2,t可以用1,2,r线性表示.当向量组1,2,s 和1,2,t互相都可以表示时就说它们等价并记作1,2,s1,2,t.等价关系也有传递性.2.向量组的线性相关性(1)定义(从三个方面看线性相关性)线性相关性是描述向量组内在关系的概念,它是讨论向量组1,2,s 中有没有向量可以用其它的s-1 个向量线性表示的问题.精品资料.定义 设1,2,s 是 n 维向量组,如果存在不全为 0 的一组数 c1,c2,cs使得 c11+c22+css=0,则说1,2,s 线性相关否则(即要使得 c11+c22+css=0,必

25、须 c1,c2,cs全为 0)就说它们线性无关.于是,1,2,s“线性相关还是无关”也就是向量方程 x11+x22+xss=0“有没有非零解”,也就是以(1,2,s)为系数矩阵的齐次线性方程组有无非零解.当向量组中只有一个向量(s=1)时,它相关(无关)就是它是(不是)零向量.两个向量的相关就是它们的对应分量成比例.(2)性质 当向量的个数 s 大于维数 n 时,1,2,s 一定线性相关.如果向量的个数s 等于维数 n,则1,2,n线性相关|1,2,n|=0.线性无关向量组的每个部分组都无关(从而每个向量都不是零向量).如果1,2,s 线性无关而1,2,s,线性相关,则可用1,2,s 线性表示

26、.如果可用1,2,s 线性表示,则表示方式唯一1,2,s 线性无关.如果1,2,t可以用1,2,s 线性表示，并且 ts,则1,2,t线性相关.推论 如果两个线性无关的向量组互相等价,则它们包含的向量个数相等.精品资料.3.向量组的极大无关组和秩(1)定义 向量组的秩是刻画向量组相关“程度”的一个数量概念.它表明向量组可以有多大(指包含向量的个数)的线性无关的部分组.定义 设1,2,s 是 n 维向量组,(I)是它的一个部分组.如果 (I)线性无关.(I)再扩大就线性相关.就称(I)为1,2,s 的一个极大无关组.条件可换为:任何I都可用(I)线性表示,也就是(I)与1,2,s 等价.当1,2

27、,s 不全为零向量时,它就存在极大无关组,并且任意两个极大无关组都等价,从而包含的向量个数相等.定义如果1,2,s 不全为零向量,则把它的极大无关组中所包含向量的个数是一个正整数称为1,2,s 的秩,记作 r(1,2,s).如果1,2,s全是零向量,则规定 r(1,2,s)=0.由定义得出:如果 r(1,2,s)=k,则 i)1,2,s 的一个部分组如果含有多于 k 个向量,则它一定的相关.ii)1,2,s 的每个含有 k 个向量的线性无关部分组一定是极大无关组.(2)应用 1,2,s 线性无关 r(1,2,s)=s.可用1,2,s 线性表示r(1,2,s,)=r(1,2,s).精品资料.(事

28、实上若不可用1,2,s线性表示,则r(1,2,s,)=r(1,2,s)+1.)推论 1:可用1,2,s 唯一线性表示r(1,2,s,)=r(1,2,s)=s.推论 2:如果 r(1,2,s=维数 n,则任何 n 维向量都可以用1,2,s线性表示.1,2,t可以用1,2,s 线性表示r(1,2,s,1,2,t)=r(1,2,s).推论:如果 1,2,t可以用1,2,s线性表示,则 r(1,2,t)r(1,2,s).1,2,s和1,2,t等价 r(1,2,s)=r(1,2,s,1,2,t)=r(1,2,t).极大无关组和秩的概念可以推广到向量集合上(即包含的向量的个数不必有限),所有性质仍然成立.

29、4.秩的计算,有相同线性关系的向量组 两个向量个数相同的向量组1,2,s,和1,2,s称为有相同线性关系,如果向量方程 x11+x22+xss=0 和 x11+x22+xss=0 同解,即齐次线性方程组(1,2,s)X=0 和(1,2,s)X=0 同解.当1,2,s和1,2,s有相同线性关系时,(1)它们的对应部分组有一致的线性相关性.(2)它们的极大无关组相对应,从而它们的秩相等.精品资料.(3)它们有相同的内在线性表示关系.例如,当A经过初等行变换化为B时,AX=0 和BX=0 同解,从而A的列向量组和B的列向量组有相同线性关系.于是它们的极大无关组相对应,秩相等.这样,就产生了计算一个向

30、量组1,2,s的秩和极大无关组的方法:把此向量组作为列向量组构造矩阵(1,2,s),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B,则B的非零行数就是1,2,s的秩,B的各台角所在列号对应的部分组是1,2,s的的一个极大无关组.如果A经过初等列变换化为B，则A的列向量组和B的列向量组是等价关系，虽然秩相等,但是极大无关组并没有对应关系.5.矩阵的秩(1)定义 一个矩阵A的行向量组的秩和列向量组的秩相等,称此数为矩阵A的秩,记作 r(A).于是 r(A)=0 A=0.如果A是 mn 矩阵,则 r(A)Minm,n.当 r(A)=m 时,称A为行满秩的;当 r(A)=n 时,称A为列满秩的.对于 n 阶矩阵A,

31、则行满秩和列满秩是一样的,此时就称A满秩.于是:n 阶矩阵A满秩r(A)=n(即A的行(列)向量组无关)|A|0A可逆.矩阵的秩还可以用它的非 0 子式来看.精品资料.A的 r 阶子式:任取 A的 r 行和 r 列,在它们的交叉位置上的元素所构成的行列式,如果它的值不为0,就称为非 0 子式.命题 r(A)就是A的非 0 子式的阶数的最大值.(即A的每个阶数大于 r(A)的子式的值都为 0,但是A有阶数等于 r(A)的非 0 子式.)(2)计算 命题 初等变换保持矩阵的秩.阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.矩阵秩的计算:用初等变换将其化为阶梯形矩阵,则此阶梯形矩阵的非零行数就是原矩阵的秩.(

32、3)在矩阵运算中,矩阵的秩有性质 r(A T)=r(A).如果 c 不为 0,则 r(cA)=r(A).r(AB)r(A)+r(B).r(AB)Minr(A),r(B).当A(或B)可逆时,r(AB)=r(B)(或 r(A).如果AB=0,n 为A的列数(B的行数),则 r(A)+r(B)n.如果A列满秩(r(A)等于列数),则 r(AB)=r(B).一般公式:r(A)+r(B)n+r(AB).下面给出和在判别向量组的线性相关性和秩的计算问题上的应用.设向量组1,2,s线性无关,向量组1,2,t可用1,2,m线性表示,表示矩阵为C,则 i)r(1,2,t)=r(C).ii)如果 t=s(此时C

33、是 t 阶矩阵),则1,2,s线性无关 C可逆.精品资料.(令A=(1,2,s),B=(1,2,t),则B=AC,并且 r(A)=列数 s,用得到 r(1,2,s)=r(C).t=s 时,C可逆r(1,2,s)=r(C)=s 1,2,s线性无关.或直接用证明 ii):C可逆时 r(B)=r(A)=s,从而1,2,s线性无关.如果C不可逆,则 r(1,2,s)r(C)s,从而1,2,s线性相关.)6.矩阵的等价 两个矩阵如果可以用初等变换互相转化,就称它们等价.矩阵的等价的充分必要条件为它们类型相同,秩相等.二.典型例题 1.向量组秩的计算和应用 例 1a,b,c 满足什么条件时向量组1=(a,

34、0,c),2=(b,c,0),3=(0,a,b)线性无关？(02)例 2 已知(2,1,1,1),(2,1,a,a),(3,2,1,a),(4,3,2,1)线性相关,并且 a1,求 a.(05)例 3 设1=(1+a,1,1)，2=(1,1+b,1)，3=(1,1,1-b)，问 a,b 满足什么条件时 r(1,2,3)=2?例 4 设1=(1+，1，1)，2=(1，1+，1)，3=(1，1，1+)，=(0，,2)为何值时，可用1，2，3线性表示，并且表示方式唯一？为何值时，可用1，2，3线性表示，并且表示方式不唯一？为何值时，不可用1，2，3线性表示？精品资料.例 5 设1=(1,0,1,1)

35、,2=(2,-1,0,1),3=(-1,2,2,0),1=(0,1,0,1),2=(1,1,1,1).问:c1,c2满足什么条件时 c11+c22可以用1,2,3线性表示?例 6 设1=(1,2,0,1),2=(1,1,-1,0),3=(0,1,a,1),1=(1,0,1,0),2=(0,1,0,2).a 和 k 取什么值时,1+k2可用1,2,3线性表示?写出表示式.例 7 设1=(1,2,-3)，2=(3,0,1)，3=(9,6,-7)，1=(0,1,-1)，2=(a,2,1)，3=(b，1，0)已知 r(1,2,3)=r(1,2,3),并且3可用1,2,3线性表示，求 a,b.(00 二

36、)例 8 求常数 a,使得向量组1=(1,1,a),2=(1,a,1),3=(a,1,1)可由向量组1=(1,1,a),2=(-2,a,4),3=(-2,a,a)线性表示,但是1,2,3不可用1,2,3线性表示.(2005 年数学二)例 9 给定向量组()1=(1,0,2)，2=(1,1,3)，3=(1,-1,a+2)和()1=(1,2,a+3)，2=(2,1,a+6)，3=(2,1,a+4)当 a 为何值时()和()等价?a 为何值时()和()不等价?(03 四)例 10 设1=(1,-1,2,4),2=(0,3,1,2),3=(3,0,7,14),4=(1,-2,2,0),5=(2,1,5

37、,10).它们的下列部分组中,是极大无关组的有哪几个?(1)1,2,3.(2)1,2,4.(3)1,2,5.(4)1,3,4.2.向量组秩的性质的应用 精品资料.例 11 已知1,2,3线性相关,而2,3,4线性无关,则1,2,3,4中,能用另外 3 个向量线性表示,而 不能用另外 3 个向量线性表示.例 12 已知 r(1,2,3)=r(1,2,3,4)=3,r(1,2,3,4,5)=4，求r(1,2,3,4-5)(95 三)例 13 已知可用1,2,s 线性表示，但不可用1,2,s-1线性表示证明 s不可用1,2,s-1线性表示；s可用1,2,s-1,线性表示 例 141,2,3,线性无关

38、,而1,2,3,线性相关,则 A)1,2,3,c+线性相关.(B)1,2,3,c+线性无关.(C)1,2,3,+c线性相关.(D1,2,3,+c线性无关.例 15 已知 n 维向量组1,2,s 线性无关,则 n 维向量组1,2,s 也线性无关的充分必要条件为 A)1,2,s 可用1,2,s线性表示.(B)1,2,s可用1,2,s线性表示.(C)1,2,s 与1,2,s等价.(D矩阵1,2,s)和(1,2,s等价.精品资料.3.矩阵的秩 例 16 n 阶矩阵 1 a a a a 1 a a A=a a 1 a a a a 1 的秩为 n-1,求 a.(98 三)例 17 设 a b b A=b

39、a b ,已知 r(A)+r(A*)=3,求 a,b 应该满足的关系.(03 三)b b a 例 18 设 1 2 3 4 1 2 3 4 A=2 3 4 5 ,B=0 1 2 3 ,求 r(BA+2A).3 4 5 6 0 0 1 2 4 5 6 7 0 0 0 1 例 19 a b -3 b-1 a 1 3 阶矩阵A=2 0 2 ，B=0，已知 r(AB)小于 r(A)和 r(B),求a,b 和3 2 -1 0 2 1 r(AB).例 20 设1，2，3 线性无关，则()线性无关：1+2，2+3，3-1；精品资料.1+2，2+3，1+22+3；1+22，22+33，33+1；1+2+3，2

40、1-32+223，31+52-53(97 三)例 21 设1，2，3 线性无关，则()线性相关：1+2，2+23，3+41；1-2，2-23，3-41；1+(1/2)2，2+3，33+21；1-(1/2)2，2-3，3-21 例 22 设A是 mn 矩阵,B是 nm 矩阵,则()(A)当 mn 时,AB 0.(B)当 mn 时,AB.(C)当 nm 时,AB|0.(D)当 nm 时,AB.(99)例 23 AB=0,A,B是两个非零矩阵,则(A)A的列向量组线性相关.B的行向量组线性相关.(B)A的列向量组线性相关.B的列向量组线性相关.(C)A的行向量组线性相关.B的行向量组线性相关.(D)

41、A的行向量组线性相关.B的列向量组线性相关.(04)4.证明题 例 24 设1,2,s是 n 维向量组.证明 r(1,2,s)=n 的充分必要条件为:任何 n 维向量都可用1,2,s线性表示.精品资料.例 25 设A是 mn 矩阵，证明 r(A)=1存在 m 维非零列向量=(a1,a2,，a m)T和 n 维非零列向量=(b1,b2,bn)T，使得A=T.例 26 设 n 阶矩阵A的秩为 1，证明A2=tr(A)A.例 27 设A*为 n 阶矩阵A的伴随矩阵,则 n,若 r(A)=n,r(A*)=1,若 r(A)=n-1,0,若 r(A)n-1.例 28 设A为 n 阶矩阵,为 n 维列向量.

42、正整数 k 使得Ak=0,但是Ak-10,证明,A,Ak-1线性无关.例 29 证明 r(1,2,s,1,2,t)r(1,2,s)+r(1,2,t).例 30 证明 r(A+B)r(A)+r(B).例 31 证明矩阵方程AX=B有解r(A|B)=r(A).参考答案 例 1 abc0.例 2 1/2.例 3 a=-1 或 b=0 并且 a0.例 4(1)0 和-3.(2)=0.(3)=-3.例 5 2c1+c2=0.精品资料.例 6 k=-1,a1.例 7 a=15,b=5.例 8 1.例 9 a-1 时等价,a=-1 时不等价.例 10 (2)和(4).例 11 1能,4不能.例 12 4.例

43、 14 (D).例 15 (D).例 16 a=1/(1-n).例 17 a=-2b0.例 18 2.例 19 a=1,b=2,r(AB)=1.例 20 (C).例 21 (D).例 22 (B).例 23 (A).第五讲 线性方程组 精品资料.一.概念复习 1.线性方程组的形式 线性方程组除了通常的写法外,还常用两种简化形式：矩阵式 AX=，(齐次方程组AX=0).向量式 x11+x22+xss=，(齐次方程组 x11+x22+xss=0).2.线性方程组解的性质(1)齐次方程组AX=0 如果1,2,s是齐次方程组AX=0 的一组解,则它们的任何线性组合c11+c22+css也都是解.(2)

44、非齐次方程组AX=如果1,2,s是AX=的一组解,则 它们的线性组合c11+c22+css也是AX=解的c1+c2+cs=1.它们的线性组合c11+c22+css是AX=的解 c1+c2+cs=0.如果0是AX=的一个解,则 n 维向量(n 是未知数的个数)也是解-0是导出齐次方程组AX=的解.(也就是说,是0与导出组AX=的一个解的和.)3.线性方程组解的情况的判别 对于方程组AX=,判别其解的情况用三个数:未知数的个数 n,r(A),r(A|).无解r(A)r(A|).有唯一解r(A)=r(A|)=n.(当A是方阵时,就推出克莱姆法则.)有无穷多解r(A)=r(A|)n.精品资料.方程的个

45、数 m 虽然在判别公式中没有出现,但它是 r(A)和 r(A|)的上界,因此 当 r(A)=m 时,AX=一定有解.当 mn 时,一定不是唯一解.对于齐次方程组AX=0,判别解的情况用两个数:n,r(A).有非零解 r(A)=n(即:只有零解r(A)=n).推论 1 当A 列满秩时,A 在矩阵乘法中有左消去律:AB=0B=0；AB=ACB=C.证明 设B=(1,2,t),则AB=Ai=0,i=1,2,s.1,2,t都是AX=0 的解.而A 列满秩,AX=0 只有零解,i=0,i=1,2,s,即B=0.推论 2 如果A列满秩,则 r(AB)=r(B).证明 只用证明齐次方程组ABX=0 和BX=

46、0 同解.(此时矩阵AB和B 的列向量组有相同的线性关系,从而秩相等.)是ABX=的解AB=B=0(用推论)是BX=的解.于是ABX=0 和BX=0 确实同解.4.齐次方程组的基础解系 线性方程组的通解(1)齐次方程组的基础解系 如果齐次方程组AX=有非零解,则它的解集(全部解的集合)是无穷集,称解集的每个极大无关组为AX=的基础解系.于是,当1,2,s是AX=的基础解系时:精品资料.向量是AX=的解可用1,2,s线性表示.定理 设AX=有 n 个未知数,则它的基础解系中包含解的个数(即解集的秩)=n-r(A).于是,判别一组向量1,2,s是AX=的基础解系的条件为 1,2,s是AX=的一组解

47、.1,2,s线性无关.s=n-r(A).推论 如果AB=0,n 为A的列数(B的行数),则 r(A)+r(B)n.证 记B=(1,2,s),则Ai=0,i=1,2,s,即每个i都是齐次方程组AX=的解,从而 r(B)=r(1,2,s)n-r(A),即 r(A)+r(B)n.(2)线性方程组的通解 如果1,2,s是齐次方程组AX=的基础解系,则AX=的通解(一般解)为 c11+c22+css,其中 c1c2,cs可取任何常数.如果0是非齐次方程组AX=的解,1,2,s是导出组AX=的基础解系,则AX=的通解(一般解)为 0+c11+c22+css,其中 c1c2,cs可取任何常数.二.典型例题

48、例 1 3x1+2x2-2x3+x4 =0，6x1+4x2+5x3+2x4+3x5=0，求此齐次方程组的基础解系和通解.9x1+6x2 +3x4+2x5=0，精品资料.例 2 讨论 p,t 的取值对下面方程组解的影响,并在有无穷多解时求通解.(96 四)x1+x2-2x3+3x4=0，2x1+x2-6x3+4x4=-1，3x1+2x2+px3+7x4=-1，x1-x2-6x3-x4=t 例 3 齐次方程组AX=0 的系数矩阵为 1+a 1 1 1 2 2+a 2 2 A=3 3 3+a 3 ,n n n n+a a 为什么数时AX=0 有非零解?求通解.(04 一)例 4 线性方程组的增广矩阵

49、为 1 a b 1 0(A|)=2 1 1 2 0 ,3 2+a 4+b 4 1 又已知(1,-1,1,-1)T是它的一个解.(1)用导出组的基础解系表示通解.(2)写出满足 x2=x3的全部解.(04 四)例 5 设线性方程组为 x1+a1x2+a12x3=a13,x1+a2x2+a22x3=a23,精品资料.x1+a3x2+a32x3=a33,x1+a4x2+a42x3=a43.(1)证明当 a1,a2,a3,a4两两不相等时,方程组无解.(2)设 a1=a3=-a2=-a4=k,并且(-1,1,1)T和(1,1,-1)T都是解,求此方程组的通解.(94 三)例 6 已知1(0,1,0)T

50、和2=(-3,2,2)T都是方程组 x1-x2+2x3=-1,3x1+x2+4x3=1,ax1+bx2+cx3=d 的解,求通解.例 7 已知1(1,1,-1,-1)T和2(1,0,-1,0)T是线性方程组 x1+x2-x3 +x4=2，x2+px3+qx 4=s,2x1+tx2-x3+tx 4=r 的解,=(2,-2,1,1)T是它的导出组的解,求方程组的通解.例 8 设矩阵=(,3,4),其中,3,4线性无关,=2-3.又设=1+2+3+,求 AX=的通解.(02 一，二)例 9 1,2,3都是X=的解,其中=(1,2,3,4),0,1,2,3 r()=3.求通解.(00 三)例 10 1