中考数学压轴题解题策略(2)相似三角形的存在性问题23117.pdf

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1、word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 中考数学压轴题解题策略（2）相似三角形的存在性问题解题策略 挑战压轴题中考数学的作者 上海 马学斌 专题攻略 相似三角形的判定定理有 3 个，其中判定定理 1 和判定定理 2 都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等 判定定理 2 是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验，如例题 1、2、3、4 应用判定定理 1 解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如例题 6 应用判定定理 3 解题不多见，如例题 5，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）例题

2、解析 例 如图 1-1，抛物线213482yxx与 x 轴交于 A、B 两点（A 点在 B 点左侧），与 y 轴交于点 C 动直线 EF（EF/x 轴）从点 C 开始，以每秒 1 个单位的速度沿 y 轴负方向平移，且分别交 y 轴、线段 BC于 E、F 两点，动点 P 同时从点 B 出发，在线段 OB 上以每秒 2 个单位的速度向原点 O 运动是否存在t，使得BPF 与ABC 相似若存在，试求出 t 的值；若不存在，请说明理由 图 1-1【解析】BPF 与ABC 有公共角B，那么我们梳理两个三角形中夹B 的两条边 ABC 是确定的由213482yxx，可得 A(4,0)、B(8,0)、C(0,

3、4)于是得到 BA4，BC4 5还可得到12CECOEFOB BPF 中，BP2t，那么 BF 的长用含 t 的式子表示出来，问题就解决了 在 RtEFC 中，CEt，EF2t，所以5CFt 因此4 555(4)BFtt 于是根据两边对应成比例，分两种情况列方程：当BABPBCBF时，424 55(4)tt解得43t（如图 1-2）当BABFBCBP时，45(4)24 5tt解得207t（如图 1-3）word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 图 1-2 图 1-3 例 如图 2-1，在平面直角坐标系中，顶点为 M 的抛物线 yax2bx（a0）经过点 A 和 x 轴正半轴上的点 B，AOBO

4、2，AOB120（1）求这条抛物线的解析式；（2）连结 OM，求AOM 的大小；（3）如果点 C 在 x 轴上，且ABC 与AOM 相似，求点 C 的坐标 图 2-1 【解析】ABC 与AOM 中相等的一组角在哪里呢？本题由简到难，层层深入第（1）题求出抛物线的解析式，得到顶点 M 的坐标，为第（2）题求AOM 的大小作铺垫；求得了AOM 的大小，第（3）题暗示了要在ABC 中寻找与AOM 相等的角（1）如图 2-2，过点 A 作 AHy 轴，垂足为 H容易得到 A(1,3)再由A(1,3)、B(2,0)两点，可求得抛物线的解析式为232 333yxx（2）由2232 333(1)3333yx

5、xx，得顶点 M 3(1,)3 所以3tan3BOM所以BOM30所以AOM150 图 2-2（3）由 A(1,3)、B(2,0)，可得ABO30 因此当点 C 在点 B 右侧时，ABCAOM150 所以ABC 与AOM 相似，存在两种情况：当3BAOABCOM时，2 3233BABC 此时 C(4,0)（如图 2-3）word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 当3BCOABAOM时，332 36BCBA此时 C(8,0)（如图 2-4）图 2-3 图 2-4 例 如图 3-1，抛物线 yax2bx3 与 x 轴交于 A(1,0)、B(3,0)两点，与 y 轴交于点 D，顶点为 C（1）求此抛

6、物线的解析式；（2）在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 M，过 M 作 MNx 轴于点 N，使以 A、M、N 为顶点的三角形与BCD 相似？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 图 3-1【解析】AMN 是直角三角形，因此必须先证明BCD 是直角三角形一般情况下，根据直角边对应成比例分两种情况列方程（1）抛物线的解析式为 yx24x3（2）由 yx24x3(x2)21，得 D(0,3)，C(2,1)如图 3-2，由 B(3,0)、D(0,3)、C(2,1)，可知CBO45，DBO45 所以CBD90，且2133 2BCBD 图 3-2 图 3-3 图 3-4 设点 M、N 的横坐标

7、为 x，那么 NMyM，而 NA 的长要分 N 在 A 的右边或左边两种情况，因此列方程要“两次分类”：当 N 在 A 右侧时，NAx1，分两种情况列方程：当3NABDNMBC时，13(1)(3)xxx解得103x 此时 M107(,)39（如图 3-3）当13NABCNMBD时，11(1)(3)3xxx解得 x6此时 M(6,15)（如图 3-5）当 N 在 A 左侧时，NA1x，也要分两种情况列方程：word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 当3NABDNMBC时，13(1)(3)xxx解得83x 1，不符合题意（如图 3-4）当13NABCNMBD时，11(1)(3)3xxx解得 x0，

8、此时 M(0,3)（如图 3-6）图 3-5 图 3-6 例 如图 4-1，在平面直角坐标系中，A(8,0)，B(0,6)，点 C 在 x 轴上，BC 平分OBA点 P 在直线 AB 上，直线 CP 与 y 轴交于点 F，如果ACP 与BPF 相似，求直线 CP 的解析式 图 4-1【解析】首先求得点 C(3,0)ACP 与BPF 中，相等的角在哪里啊？如图 4-2，当点 P 在线段 AB 上时，ACP 与BPF 中，APC 与BPF 是邻补角，如果这两个邻补角一个是锐角，一个是钝角，两个三角形怎么可能相似呢？因此 CP 与 AB 是垂直的可以求得 F(0,4)，于是直线 CF(CP)为443

9、yx 如图 4-3，当点 P 在 AB 的延长线上时，ACP 与BPF 有公共角P于是OFCPFBA，可以求得 F(0,4)，因此直线 CF(CP)为443yx 如图 4-4，当点 P 在 BA 的延长线上时，B 与PCA 不可能相等 在AOB 中，根据大边对大角，BBAO；BAO 又是PCA 的一个外角，BAOPCA 图 4-2 图 4-3 图 4-4 例 如图 5-1，二次函数 yx23x 的图象经过点 A(1,a)，线段 AD 平行于 x 轴，交抛物线于点 D 在word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 y 轴上取一点 C(0,2)，直线 AC 交抛物线于点 B，连结 OA、OB、OD、

10、BD求坐标平面内使EODAOB 的点 E 的坐标；图 5-1【解法一】点 A、D、B 都是确定的，可以求得 A(1,4)，D(4,4)，B(2,2)所以17AO，2 2BO，3 5AB，4 2DO EODAOB，对应边已经确定，因此我们可以根据判定定理 3 列方程 由EOODDEAOOBBA，得4 2172 23 5EODE所以2 17EO，6 5DE 设点 E 的坐标为(x,y)，根据 EO268，DE2180，列方程组222268,(4)(4)180.xyxy解得118,2,xy 222,8,xy 所以点 E 的坐标为(8,2)或(2,8)上面的解题过程是“盲解”，我们并不明白两个三角形的

11、位置关系【解法二】如图 5-2，AOB 是确定的，AOB 与EOD 有公共点 O，OBOD12，BOD90 如果EODAOB，我们可以把AOB 绕着点 O 顺时针旋转，使得点 B落在 OD 上，此时旋转角为 90，点 B恰好落在 OD 的中点 按照这个运动规则，点 A(1,4)绕着点 O 顺时针旋转 90，得到点 A(4,1)，点 A是线段 OE 的中点，因此点 E 的坐标为(8,2)如图 5-3，点 E(8,2)关于直线 OD（即直线 yx）对称的点为 E(2,8)图 5-2 图 5-3 例 如图 6-1，在ABC 中，ABAC42，BC8A 的半径为 2，动点 P 从点 B 出发沿 BC方

12、向以每秒 1 个单位的速度向点 C 运动延长 BA 交A 于点 D，连结 AP 交A 于点 E，连结 DE 并延word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 长交 BC 于点 F设点 P 运动的时间为 t 秒，当ABP 与FBD 相似时，求 t 的值 图 6-1【解析】ABC 是等腰直角三角形，A 是确定的，先按照题意把图形补充完整 如图 6-2，容易发现ABP 与FBD 有公共角B，如果根据对应边成比例列方程BABDBPBF或BABFBPBD，其中 BA42，BPt，BD422，但是用含 t 的式子表示 BF 困难重重啊！图 6-2 图 6-3 图 6-4 我们另起炉灶，按照判定定理 1 来解决

13、 ABP 与FBD 有公共角B，我们以D 为分类标准，分两种情况讨论它们相似：第一种情况，如图 6-3，BAPD 是不可能的，这是因为BAP 是等腰三角形 ADE 的外角，BAP2D 第二种情况，如图 6-4，当BPAD 时，在ABP 中，由于BAP2D2BPA，因此 453BPA180解得BPA45 此时ABP 是等腰直角三角形，P 与 C 重合，所以 t8 解答这道题目，如果选取点 P 的 3 个不同位置，按照题意画图，可以帮助我们探究在讨论第二种情况BPAD 时，我们容易被已知图 6-1 给定的点 P 的位置所误导，以为图 6-2 中“锐角D”与“钝角BPA”不可能相等 更多、更详细内容，请查看华东师大出版社挑战中考数学压轴题。