暑期高一第4讲函数的奇偶性.目标班2924.pdf

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1、 48 第 4 讲目标班教师版 奇偶性的引入（直观）直观：特殊的对称性初中学过中心对称和轴对称，奇偶性正是反映这两个对称的问题的 有些函数关于y轴对称：2yx yx 21yx Ox y x yO yOx 像这样的关于y轴对称的函数叫做偶函数 还有一类函数呈现标准的中心对称，即关于原点的中心对称：yx：1yx 3yx 3yx O yx O yx O yx O yx 象这样的关于原点中心对称的函数叫做奇函数 例：根据图象判断以下函数的奇偶性：11O yx O yx O yx O yx O yx 偶 偶 非奇非偶 不是函数 奇函数 注意不是偶函数，偶函数中y轴相当于一个镜子对着镜子照，发现你有钮扣，

2、镜子里没有；或者你带着手表，一照镜子，镜子里没有，像这种情况只有在大家来找茬里才有 下面我们要从直观中寻找数学表达，先通过一些例子来总结总结规律 例：直观判断下列函数的奇偶性（可以利用图象，或取值代入等方式）4f xx；1f xx；3f x；0f x；1f xx；2f xx 答案：偶；偶；偶；既奇又偶；非奇非偶；奇 4.1 函数奇偶性的定义与判别 49 第 4 讲目标班教师版 先看偶函数的数学表达：总结：可以用数字验证，取一对相反数，若它们的值总是一样的，大概猜它是一个偶函数，这就是我们总结出来的规律那么怎么判断一个函数是偶函数呢？换言之，我们看什么情况下这个函数是偶函数？任取x，在它对称的地

3、方取x，看它们函数值是否相等，若相等就是偶函数，从而得到偶函数的数学表达：yf x定义域为D，D关于原点对称（任意xD，有xD）；（如上面的图形对应的函数就不可能是偶函数）任意xD，f xfx，称 f x为偶函数 再看奇函数的数学表达：任取一点x，存在另x，使 f x与fx互为相反数（这就是关于原点中心对称）对于奇函数有 fxf x 如果 f xfx，f xfx，则是非奇非偶函数 考点 1：函数奇偶性的定义与判定 1奇函数：如果对于函数()yf x的定义域D内任意一个x，都有xD，且()()fxf x，那么函数()f x就叫做奇函数；2偶函数：如果对于函数()yg x的定义域D内任意一个x，都

4、有xD，且()()gxg x，那么函数()g x就叫做偶函数 3图象特征：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数；如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数 练习 1：证明：4211f xxx是偶函数证明：31()g xxx是奇函数 答案：先看定义域：定义域为 00，44221111fxxxf xxx ，f x为偶函数 先看定义域：定义域为 00，3311()()()gxxxg xxx ()g x为奇函

5、数 判断一个函数的奇偶性先看定义域是否对称，定义域 10)(01，R都是对称的定义域；而0)，1 1)，就不是对称的定义域，这样的函数一定是非奇非偶的 在一个函数的定义域是对称的基础上考查每个x，看()f x与()fx是否相等或互为相反数函数的奇偶性是整体性，这与单调性截然不同 知识点睛 50 第 4 讲目标班教师版 【铺垫】判断下列函数的奇偶性：()3f xx；()31f xx；4()1f xx；1()f xxx；2()1f xxx；2()1f xxx【解析】奇；非奇非偶；偶；奇；非奇非偶；偶 【例1】将下列函数按照奇偶性分类：2()1 1f xxx，；()011f xx，；1()1f xx

6、；()11f xxx；22()11f xxx；32()1xxf xx；212|2|xf xx；1()(1)1xf xxx；10()10 xf xx，；10()10 xxf xxx，是奇函数但不是偶函数的有_；是偶函数但不是奇函数的有_；既不是奇函数也不是偶函数的有_；既是奇函数又是偶函数的有 （填相应函数的序号）【解析】；看函数先看定义域，定义域不对称的一定是非奇非偶函数，如，与的定义域比较隐蔽，如果不注意定义域，直接化简，就会掉到坑里 如：定义域101xx，110 xx且1x，1 1x ，非奇非偶如果直接化简得到 21f xx 就会误以为是偶函数，掉到坑里（这里学生化简可能会遇到困难，遇到0

7、a，有1aaa ，从而得结果）对：212|2|xf xx的定义域为 1 00 1，2221112|2|22xxxf xxxx.是奇函数 对，：通过图象直接得到奇偶性是比较明智的，也可以取特殊点看 从这里可以引申出三个结论：结论一：如果一个奇函数，在0 x 处有定义，则一定有 00f 因为在0 x 处，要关于00，对称，又不可能同一个x对应两个y，只能是 00f 也可以根据 fxf x，有 0000fff 当然，奇函数可能在0 x 处无定义，如1()f xx，这样的就不用管，只要有定义，一定有 00f 对于偶函数有这样的结论吗？没有如偶函数2()1f xx 结论二：既奇又偶的函数有穷多个，这些函

8、数的值域都为0 请别忘记，定义域不同的函数就是不同的函数如 0f x，xR；0f x，1 1x ，；经典精讲 51 第 4 讲目标班教师版 0f x，1 1x ，；0f x，0 x 图象为一个点它也是既奇又偶的函数 结论三：已知5432()f xaxbxcxdxexf，系数abcdef R，为常数 若()f x是奇函数，则系数满足0bdf；若()f x是偶函数，则系数满足0ace 对于一个多项式函数来说，若它是奇函数，则一定只有奇次项，若它是偶函数，则一定只有偶次项一般情况下认为，偶函数与x、2x、4x、21x、常数a相关，由以上东西加加减减得到的多为偶函数；若是与x、1x、3x、5x相关基本

9、上会觉得是奇函数若都有，如1x，21xx，就是非奇非偶函数讲完结论三，就可以秒例 2 了 【拓展】函数29|4|3|xyxx的图象关于（）Ax轴对称 By轴对称 C原点对称 D直线0 xy对称【解析】B 【例2】若函数2()(2)(1)3f xkxkx是偶函数，则()f x的递减区间是 已知函数22()(1)(1)2f xmxmxn，当m ，n 时，()f x是奇函数 【解析】0)，；当12mn ，时，()f x是奇函数 【例3】已知函数()f x是定义在R上的奇函数，()g x是定义在R上的偶函数，且 23()()1f xg xxx，则()g x的解析式为（）A21x B222x C21x

10、D222x 【解析】C 本题可以推广到任何一个定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和我们在秋季再展开讲 【例4】已知()()f xg x，都是定义在R上的函数，下列说法正确的是（）A若()f x为奇函数，()g x为奇函数，则()()f xg x为奇函数 B若()f x为奇函数，()g x为奇函数，则()()f xg x为奇函数 C若()f x为奇函数，()g x为奇函数，则()f g x为偶函数 D若()f x为奇函数，()g x为偶函数，则()f g x为奇函数 设函数3()(1)()f xxxxa是奇函数，则a _【解析】B 1；拓展：复合函数的奇偶性也会由每一层

11、的奇偶性决定，一个函数是奇的还是偶的，到底产生了什么样的变化，换言之，要判断函数是奇还是偶，把x取x，看结果前是否有负号 如：要判断 yfg h r x的奇偶性 x相当于小人，r，h，g，f相当于 4 个守关 boss，来看一下每个 boss 的属性 52 第 4 讲目标班教师版 偶：fxf x对于“”的态度是坚决消灭，也就是“”闯不过偶函数这一关 奇：fxf x，对“”可以闯过去 令xx，看小人x闯关，逐层分析，“”能否过关取决于是否有偶函数如果每层函数都具有奇偶性，则只要某层为偶函数，复合后一定为偶函数只有所有层都为奇函数的情况下，复合后才是奇函数如果某层出现非奇非偶函数，则没有固定的结论

12、 例：判断函数 2231f xx的奇偶性 答案：偶函数最内层21ux为偶函数即可判定 f x为偶 不需要再考虑2vu与3yv的奇偶性，只要遇到偶函数，则一定为偶 函数运算之后的奇偶性也可以直接通过定义去验证，奇函数的和（或差）仍为奇函数，偶函数的和（或差）仍为偶函数，奇函数与偶函数的积，考虑奇函数的个数，有奇数个奇函数则为奇函数，有偶数个奇函数则为偶函数 考点 2：函数奇偶性的简单应用 与奇偶性相关的几个问题：奇偶性在图象范围是一种对称性的体现：如果告诉你一个函数是偶函数，已知右半边的图象，你能否画出左边的？（可以随手给个图形为例）若已知一个函数是奇函数，给出左边图象，能否画右边的？（可以随手

13、给个图形为例）那这个过程能解决什么问题？若一个函数是奇/偶函数，且告诉你它在一半区间上的特点，就能反推到另一半特点，比如已知左边单调性、与x轴交点、最大值、最小值，你就能知道另一半什么样，就好有一个镜子，你照一半，就知道另一半什么样 如：已知 f x是偶函数，且 13f，则(1)3f；若()f x是奇函数，其它条件不变，则有 13f 再比如已知 f x是奇/偶函数，给出()f x在0 x（或0 x）的解析式，就可以得到另一半的解析式 练习 2：f x是偶函数，且在0，上，21f xx，则在0，上，()f x _ 答案：21f xx（可以通过图象的对称性得到，或者通过两点得到）【例5】f x是偶

14、函数，在0，上，243f xxx，则在0，上()f x _ f x是偶函数，在0，上，31f xxx，则在0，上，f x 已知函数()f x为R上的奇函数，且当0 x 时，21()f xxx求函数()f x的解析式 【解析】243f xxx（画图解决）可以画出图象的问题，知一半求一半可以直接通过图形得到 经典精讲 知识点睛 53 第 4 讲目标班教师版 当给出的一半的解析式不能画图时怎么办？有什么统一的方法？统一方法：以为例：设0 x，0 x，243fxxxf x 目的求 f x，（x在左边取），而 f x要由对称的点求，即 fxf x，先求fx 用此方法可以求出的解析式 31()f xxx；

15、2210()0010 xxxf xxxxx，所有跟奇偶性相关的问题实质上就是一个问题：告诉你一半区间上的性质，让你去求另一半性质 单调性：若一个偶函数在0，上单调递增，则在0，上单调递减；若一个奇函数在0，上单调递增，则在0，上单调递增 说明：偶函数在对应区间上单调性相反，奇函数在对应区间上单调性相同 奇函数与偶函数的单调性可以通过单调性的定义去证明由此可以得到奇（或偶）函数的值域与最值的一些相关结论，如偶函数在0，上的值域与它在0，上的值域相同而奇函数在0，上的值域若为34，则它在0，上的值域为43，偶函数在0，上的最值与它在0，上的最值相同；奇函数在0，上的最大值的相反数是它在0，上的最小

16、值奇函数在0，上的最小值的相反数是它在0，上的最大值这些通过图象都很容易得到 练习 3：已知 1f xxx，它是奇函数，已知它在01，上单调递减，在1，上单调递增，那么可以得到它在(0)，上的单调情况为_ 答案：在10，上单调递减，在1，上单调递增 【例6】定义在R上的偶函数()f x满足在0)，上单调递增，则（）A(3)(2)(1)fff B(1)(2)(3)fff C(2)(1)(3)fff D(3)(1)(2)fff 设()f x是定义在R上的偶函数，且在(0)，上是增函数，则(1)f 与2(23)f aa（aR）的大小关系是_ 4.2 单调性与奇偶性综合 经典精讲 知识点睛 54 第

17、4 讲目标班教师版 f x是偶函数，在0，上单调递增，且 10f，解不等式220f x f x是奇函数，在0，上单调递增，且 10f，解不等式220f x 【解析】；2(23)(1)f aaf；3113，321 123，；注意：知道一个奇函数在(0)，上单调增，只能得到它在(0)，上也单调增，不能得到它在R上单调增，即使在0 x 有定义但如果已知奇函数在0)，上单调增，则可以得到它在R上单调增 【拓展】已知定义在R上的奇函数 f x是一个减函数，且120 xx，230 xx，310 xx，则 123f xf xf x的值（）A大于0 B小于0 C等于0 D以上均有可能【解析】A 已知定义在 2

18、2，上的奇函数()f x是增函数，求使(21)(1)0fafa成立的实数a的取值范围【解析】302，；【演练 1】定义在R上的函数()f x是奇函数，且()0f x，则2()1()F xxf x（）A是奇函数但非偶函数 B是偶函数但非奇函数 C既是奇函数又是偶函数 D为非奇非偶函数【解析】A 【演练 2】在0)，上，4321f xxxxx，f x在定义域上为偶函数 求在0，上，f x f x是奇函数，当(0)x，时，2211f xxxx，则在0，上，实战演练 55 第 4 讲目标班教师版 f x 【解析】4321xxxx；2211f xxxx；【演练 3】函数 23f xaxbxab的图象关于

19、y轴对称，它的定义域为32aa，则函数 f x的值域为 【解析】37，；【演练 4】已知()f x是偶函数，()g x是奇函数，若1()()1f xg xx，则()f x的解析式为_ 【解析】211f xx；【演练 5】已知函数1()f xxx 求证：函数()f x为奇函数；用定义证明：函数()f x在(1)，上是增函数【解析】1()f xxx的定义域为|0 x x 关于原点对称；11()()fxxxf xxx 所以函数()f x为奇函数 任取121xx ，且12xx，则 12121211()()f xf xxxxx211212()xxxxx x1212121()x xxxx x，由121xx ，且12xx，可知12xx，1210 x x 所以12()()f xf x所以函数()f x在1，上是增函数 1奇函数与偶函数的定义域都关于_对称，奇函数满足_，且奇函数的图象关于_对称；偶函数满足_，且偶函数的图象关于_对称 2奇函数在对称区间上的单调性_，偶函数在对称区间上的单调性_ 3如果一个奇函数在原点有定义，则一定有(0)f_ 答案：1原点；()()fxf x，原点（中心对称）；()()fxf x，y轴；2相同；相反；30 概念要点回顾