专题：平面向量常见题型与解题指导23715.pdf

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1、word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 平面向量常见题型与解题指导 一、考点回顾 1、本章框图 2、高考要求 1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。8、

2、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。3、热点分析 对本章内容的考查主要分以下三类：1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.3.向量在空间中的应用（在 B 类教材中）.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关

3、平面向量部分突出考查了向量的基本运算。对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。考查的重点是基础知识和基本技能。4、复习建议 由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。在解决关于向量问题时，一

4、是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力。二、常见题型分类 题型一：向量的有关概念与运算 此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量

5、的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件.例 1：已知 a 是以点 A(3,1)为起点，且与向量 b=(3,4)平行的单位向量，则向量 a 的终点坐标是 .思路分析：与 a 平行的单位向量 e=|aa 方法一：设向量 a 的终点坐标是(x,y),则 a=(x-3,y+1)，则题意可知 55185512101334229yx1yx13)()(或解得）（）（yxyx，故填(512,-51)或(518,-59)方法二 与向量 b=(-3,4)平行的单位向量是51(-3,4)，故可得 a(-53,54)，从而向量 a 的终点坐标是(x,y)=a(3,1),便可得结果.点评：向量的概念较多

6、，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念.例 2：已知|a|=1,|b|=1，a 与 b 的夹角为 60,x=2ab，y=3ba,则 x 与 y 的夹角的余弦是多少？思路分析：要计算 x 与 y 的夹角，需求出|x|,|y|,xy 的值.计算时要注意计算的准确性.解：由已知|a|=|b|=1，a 与 b 的夹角 为 60,得 ab=|a|b|cos=21.要计算 x 与 y 的夹角，需求出|x|，|y|，xy 的值.|x|2=x2=(2ab)2=4a24ab+b2=4421+1=3，|y|2=y2=(3ba)2=9b26ba

7、+a2=9621+1=7.xy=(2ab)(3ba)=6ab2a23b2+ab =7ab2a23b2=72123=23，又xy=|x|y|cos，即23=37cos，cos=1421 点评：本题利用模的性质|a|2=a2，在计算 x,y 的模时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 得：如图所示，设AB=b,AC=a,AD=2a,BAC=60.由向量减法的几何意义，得BD=ADAB=2ab.由余弦定理易得|BD|=3，即|x|=3，同理可得|y|=7.题型二：向量共线与垂直条件的考查 例 1 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A(3,1)，B(

8、1,3)，若点 C 满足OCOAOB，其中，R 且+=1，求点 C 的轨迹方程。.解：（法一）设 C(x,y)，则OC=(x,y)，由OC=(x,y)=(3,1)+(-1,3)=(3-,+3)33yx,（可从中解出、）又+1 消去、得 x+2y-5=0（法二）利用向量的几何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知：A，B，C 三点共线，故点 C 的轨迹方程即为直线 AB 的方程 x2y5=0，例 2已知平面向量 a(3，1)，b(21,23).(1)若存在实数 k 和 t，便得 xa(t23)b,ykatb，且 xy，试求函数的关系式 kf(t)；(2)根据(1)的结论，确定 kf(t)的

9、单调区间.思路分析：欲求函数关系式 k=f(t)，只需找到 k 与 t 之间的等量关系，k 与 t 之间的等量关系怎么得到？求函数单调区间有哪些方法？（导数法、定义法）导数法是求单调区间的简捷有效的方法？解：（1）法一：由题意知 x(23322t,223232t),y(21t3k，23tk)，又 xy 故 x y23322t（21t3k）223232t(23tk)0.整理得：t33t4k0，即 k41t343t.法二：a(3，1)，b(21,23),.a2，b1 且 ab xy，x y0，即ka2t(t23)b20，t33t4k0,即 k41t343t(2)由(1)知：kf(t)41t343t

10、 kf(t)43t343,令 k0 得1t1；令 k0 得 t1 或 t1.故 kf(t)的单调递减区间是(1,1)，单调递增区间是（，1）和（1，）.点评：第（1）问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）.第（2）问中word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用.例 3：已知平面向量a(3，1)，b(21，23)，若存在不为零的实数 k

11、 和角，使向量ca(sin3)b,dka(sin)b,且cd，试求实数 k 的取值范围.解：由条件可得：k41(sin23)2169,而1sin1,当 sin1 时，k 取最大值 1；sin1 时，k 取最小值21.又k0 k 的取值范围为 1,0)(0,12.点拨与提示：将例题中的 t 略加改动，旧题新掘，出现了意想不到的效果，很好地考查了向量与三角函数、不等式综合运用能力.例 4：已知向量)1,2(),2,1(ba，若正数 k 和 t 使得向量 btakybtax1)1(2与垂直，求 k 的最小值.解：0)1()1(02btakbtayxyx即 0)1(112222batkbatbttak

12、 )1,2(),2,1(ba，|a|=3，|b|=3 ba22，代入上式 3k32112tttt 当且仅当 t=t1，即 t=1 时，取“”号，即 k 的最小值是 2.题型三：向量的坐标运算与三角函数的考查 向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查.例 7 设函数 f(x)a b，其中向量 a(2cosx,1),b(cosx,3sin2x),xR.（1）若 f(x)13且 x3，3，求 x；（2）若函数 y2sin2x 的图象按向量 c(m,n)(m2)平移后得到函数 yf(x)的图象，求实数 m、n 的值.思路分析：本题主要考查平面向量的概念和

13、计算、平移公式以及三角函数的恒等变换等基本技能，解：(1)依题设，f(x)（2cosx，1）(cosx,3sin2x)2cos2x3sin2x12sin(2x6)word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 由 12sin(2x6)=13，得 sin(2x6)23.3x3,22x665,2x6=3,即 x4.（2）函数 y2sin2x 的图象按向量 c（m,n）平移后得到函数 y2sin2(xm)+n 的图象，即函数 yf(x)的图象.由(1)得 f(x)1)12(2sin2x m2，m12，n1.点评：把函数的图像按向量平移，可以看成是 C 上任一点按向量平移，由这些点平移后的对应点所组成的图象

14、是 C，明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系，也就找到了此问题的解题途径.一般地，函数 yf(x)的图象按向量 a(h,k)平移后的函数解析式为 ykf（xh）、例 8：已知 a=（cos，sin）,b=（cos,sin）(0)，（1）求证：a+b 与 a-b 互相垂直；（2）若 ka+b与 a-kb 的模大小相等(kR 且 k0)，求 解：（1）证法一：a=（cos，sin）,b=（cos,sin）a+b（cos+cos，sin+sin）,a-b（cos-cos，sin-sin）(a+b)(a-b)=（cos+cos，sin+sin）（cos-cos，sin-sin）=cos2-co

15、s2+sin2-sin2=0(a+b)(a-b)证法二：a=（cos，sin）,b=（cos,sin）|a|1，|b|1(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0 (a+b)(a-b)证法三：a=（cos，sin）,b=（cos,sin）|a|1，|b|1,记OAa，OBb，则|OA|OB|=1,又，O、A、B 三点不共线.由向量加、减法的几何意义，可知以 OA、OB 为邻边的平行四边形 OACB 是菱形，其中OCa+b，BAa-b，由菱形对角线互相垂直，知(a+b)(a-b)（2）解：由已知得|ka+b|与|a-kb|,又|ka+b|2(kcos+cos)2+(ksin+sin

16、)2=k2+1+2kcos(),|ka+b|2(cos-kcos)2+(sin-ksin)2=k2+1-2kcos(),2kcos()=-2kcos()又k0 cos()0 0 0,=2 注：本题是以平面向量的知识为平台，考查了三角函数的有关运算，同时也体现了向量垂直问题的多种证明方法，常用的方法有三种，一是根据数量积的定义证明，二是利用数量积的坐标运算来证明，三是利用向量运算的几何意义来证明.word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 题型四：向量运算的几何意义与解析几何 由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带，文科应重视由向量运算的几何

17、意义求圆的方程和椭圆方程。例 9：设 G、H 分别为非等边三角形 ABC 的重心与外心，A(0，2)，B（0，2）且ABGM(R).（）求点 C(x，y)的轨迹 E 的方程；（）过点(2，0)作直线 L 与曲线 E 交于点 M、N 两点，设ONOMOP，是否存在这样的直线 L，使四边形 OMPN 是矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.思路分析：（1）通过向量的共线关系得到坐标的等量关系.（2）根据矩形应该具备的充要条件，得到向量垂直关系，结合韦达定理，求得 k 的值.解：（）由已知得(,)3 3x yG,又GHAB，(,0)3xH CH=HA 222()()433xxxy即22

18、1(2 3)124xyx （2）设 l 方程为 y=k(x-2)，代入曲线 E 得（3k2+1）x2-12k2x+12(k2-1)=0 设 N(x1，y1)，M(x2，y2)，则 x1+x2=221231kk，x1 x2=2212(1)31kk OPONOM，四边形 OMPN 是平行四边形.若四边形 OMPN 是矩形，则ONOM x1 x2+y1 y2=0 222222212(1)12(1)24(4)0313131kkkkkkk得k=3 直线 l 为：y=3(2)yx 点评：这是一道平面几何、解析几何、向量三者之间巧妙结合的问题.例 10：已知椭圆方程1422 yx，过 B（1，0）的直线 l

19、 交随圆于 C、D 两点，交直线 x4 于 E点，B、E 分CD的比分1、2求证：120 解：设 l 的方程为 yk(x1)，代入椭圆方程整理得（4k21）x28k2x4(k21)0.设 C（x1,y2）,D(x2,y2)，则 x1x21444,148222122kkxxkk.由BDCB1得 ),1(),1(2211yxyx 所以11),1(1211211xxxx.同理，记 EEDCEyE2),4(word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 得44),4(4212221xxxx4411212121xxxx)4)(1(8)(52222121xxxxxx其中 ,081485144428)(52222

20、22121kkkkxxxx 021.例 11：给定抛物线 C:y24x，F 是 C 的焦点，过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点.设 l 的斜率为 1，求OA与OB夹角的余弦。解：C 的焦点为 F（1，0）,直线 l 的斜率为 1，所以 l 的方程为 yx1,将 yx1 代入方程 y2=4x，并整理得 x26x10 设 A（x1,y1）,B(x2,y2),则有 x1x26,x1x21，从而OAOBx1x2y1y22x1x2(x1+x2)+13 OAOB2121yx 2222yx 41,cosOBOA,OBOAOBOA41413 例 12 已知点 G 是ABC 的重心，A(0,1)

21、，B(0,1)，在 x 轴上有一点 M，满足|MA|=|MC|，GMAB (R)求点 C 的轨迹方程；若斜率为 k 的直线 l 与点 C 的轨迹交于不同两点 P，Q，且满足|AP|=|AQ|，试求 k 的取值范围 分析 本题依托向量给出等量关系，既考查向量的模、共线等基础知识，又考查动点的轨迹，直线与椭圆的位置关系.通过向量和解析几何间的联系，陈题新组，考查基础知识和基本方法.按照求轨迹方程的方法步骤，把向量问题坐标化，几何问题代数化.解：设 C(x,y)，则 G(x3,y3)GMAB(R)，GM/AB,又 M 是 x 轴上一点，则 M(x3,0)又|MA|=|MC|，2222xx()(01)

22、(x)y33，整理得22xy1(x0)3，即为曲线 C 的方程 当 k=0 时，l 和椭圆 C 有不同两交点 P，Q，根据椭圆对称性有|AP|=|AQ|当 k0 时，可设 l 的方程为 y=kxm，联立方程组 2213ykxmxy 消去 y，整理行(13k2)x26kmx3(m21)=0（*）直线 l 和椭圆 C 交于不同两点，word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载=(6km)24(13k2)(m21)0，即 13k2m20 (1)设 P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则 x1,x2是方程（*）的两相异实根，x1x2=26km13k 则 PQ 的中点 N(x0,y0)的坐标是 x0=12xx2=23km13k，y0=k x0m=2m13k，即 N(23km13k,2m13k)，又|AP|=|AQ|，ANPQ，kkAN=k22m113k3km13k=1，m=213k2.将 m=213k2代入(1)式,得 13k2(213k2)20（k0），即 k21，k(1,0)(0,1)综合得，k 的取值范围是(1,1)对题目的要求：有较大的难度，有特别的解题思路、演变角度，要有一定的梯度.