七年级数学培优班讲义教师版10858.pdf
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1、-.z.初一数学根底知识讲义 一、第一讲 和绝对值有关的问题知识构造框图:二、绝对值的意义:(1)几何意义:一般地,数轴上表示数 a 的点到原点的距离叫做数 a 的绝对值,记作|a|。(2)代数意义:正数的绝对值是它的本身;负数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零。也可以写成:|0aaaaaa当 为正数当 为0当 为负数 说明:|a|0 即|a|是一个非负数;|a|概念中蕴含分类讨论思想。三、典型例题 例 1 数形结合思想a、b、c 在数轴上位置如图:则代数式|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|的值等于 A A-3a B 2ca C2a2b Db 解:|a|+|a+b|+|c-a|-|b
2、-c|=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a 分析:解绝对值的问题时,往往需要脱去绝对值符号,化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时,必须先确定绝对值符号各个数的正负性,再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想,由 a、b、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号数的符号,从而去掉绝对值符号,完成化简。例 2:zx 0,0 xy,且xzy,则yxzyzx 的值 C A是正数 B是负数 C是零 D不能确定符号 解:由题意,*、y、z 在数轴上的位置如下图:所以 分析:数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂 的 不等关系借助数轴直观、
3、轻松的找到了*、y、z 三个数的大小关系,为我们 顺 利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴,但我们应该有数形结合解决问题的意识。例 3 分类讨论的思想甲数的绝对值是乙数绝对值的 3 倍,且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧,两点之间的距离为 8,求这两个数;假设数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢.分析:从题目中寻找关键的解题信息,“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧意味着甲乙两数符号相反,即一正一负。则终究谁是正数谁是负数,我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。解:设甲数为*,乙数为 y 由题意得:yx3,0)()(yxzyzxyxzyzx-.z.1)1(xx201020081861
4、6414211数轴上表示这两数的点位于原点两侧:假设*在原点左侧,y 在原点右侧,即*0,则 4y=8 ,所以 y=2,*=-6 假设*在原点右侧,y 在原点左侧,即*0,y0,则-4y=8 ,所以 y=-2,*=6 2数轴上表示这两数的点位于原点同侧:假设*、y 在原点左侧,即*0,y0,y0,则 2y=8 ,所以 y=4,*=12 例 4 整体的思想方程xx20082008 的解的个数是 D A1 个 B2 个 C3 个 D无穷多个 分析:这道题我们用整体的思想解决。将*-2021 看成一个整体,问题即转化为求方程aa的解,利用绝对值的代数意义我们不难得到,负数和零的绝对值等于它的相反数,
5、所以零和任意负数都是方程的解,即此题的答案为 D。例 5 非负性|ab2|与|a1|互为相互数,试求下式的值 分析:利用绝对值的非负性,我们可以得到:|ab2|=|a1|=0,解得:a=1,b=2 于是 1111112220072007abababab 在上述分数连加求和的过程中,我们采用了裂项的方法,巧妙得出了最终的结果同学们可以再深入思考,如果题目变成求 值,你有方法求解吗.有兴趣的同学可以在课下继续探究。例 6 距离问题观察以下每对数在数轴上的对应点间的距离 4 与2,3 与 5,2与6,4与 3.并答复以下各题:1你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗.答:_相等 .2假设
6、数轴上的点 A 表示的数为*,点 B 表示的数为1,则 A 与 B 两点间的距离 可以表示为 分析:点 B 表示的数为1,所以我们可以在数轴上找到点 B 所在的位置。则点 A 呢.因为*可以表示任意有理数,所以点 A 可以位于数轴上的任意位置。则,如何求出 A 与 B 两点间的距离呢.结合数轴,我们发现应分以下三种情况进展讨论。当*-1 时,距离为-*-1,当-1*0,距离为*+1 综上,我们得到 A 与 B 两点间的距离可以表示为1x 3结合数轴求得23xx的最小值为 5 ,取得最小值时*的取值围为 -3*_2_.分析:2x即*与 2 的差的绝对值,它可以表示数轴上*与 2 之间的距离。)3
7、(3xx即*与-3 的差的绝对值,它也可以表示数轴上*与-3 之间的距离。如图,*在数轴上的位置有三种可能:图 1 图 2 图 3 图 2 符合题意 4 满足341xx的x的取值围为 *-1 -.z.分析:同理1x表示数轴上*与-1 之间的距离,4x表示数轴上*与-4 之间的距离。此题即求,当*是什么数时*与-1 之间的距离加上*与-4 之间的距离会大于 3。借助数轴,我们可以得到正确答案:*-1。说明:借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题,反之,有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。这种相互转化在解决*些问题时可以带来方便。事实上,BA 表示的几何意义就是在数轴上表
8、示数 A 与数 B 的点之间的距离。这是一个很有用的结论,我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了3、4这两道难题。四、小结 1理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性 2体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用 第二讲:代数式的化简求值问题 一、知识 1“代数式是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等容,是初中阶段同学们应该重点掌握的容之一。2用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值,叫做这个代数式的值。注:一般来说,代数式的值随着字母的取值的变化而变化 3求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处,为以后学习方程、函数等知
9、识打下根底。二、典型例题 例 1假设多项式xyxxxmx537852222的值与*无关,求mmmm45222的值.分析:多项式的值与*无关,即含*的项系数均为零 因为83825378522222yxmxyxxxmx 所以 m=4 将 m=4 代人,44161644452222mmmmmm 利用“整体思想求代数式的值 例 2*=-2 时,代数式635cxbxax的值为 8,求当*=2 时,代数式635cxbxax的值。分析:因为8635cxbxax 当*=-2 时,8622235cba 得到8622235cba,-.z.2008200712007200720072222323aaaaaaa200
10、82007120072007220072)1(200722007222222223aaaaaaaaaaaaa所以146822235cba 当*=2 时,635cxbxax=206)14(622235cba 例 3当代数式532 xx的值为 7 时,求代数式2932 xx的值.分析:观察两个代数式的系数 由7532 xx 得232 xx,利用方程同解原理,得6932 xx 整体代人,42932 xx 代数式的求值问题是中考中的热点问题,它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握,整体代人的方法就是其中之一。例 4012 aa,求2007223 aa的值.分析:解法一整体代人:由012 aa 得
11、 023aaa 所以:解法二降次:方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型,还具有降次的功能。由012 aa,得aa12,所以:解法三降次、消元:12 aa消元、减项 例 5 实际应用A 和 B 两家公司都准备向社会招聘人才,两家公司招聘条件根本一样,只有工资待遇有如下差异:A 公司,年薪一万元,每年加工龄工资 200 元;B 公司,半年薪五千元,每半年加工龄工资 50 元。从收入的角度考虑,选择哪家公司有利.分析:分别列出第一年、第二年、第 n 年的实际收入元 第一年:A 公司 10000;B 公司 5000+5050=10050 第二年:A 公司 10200;B 公司 5100+5150=1
12、0250 第 n 年:A 公司 10000+200(n-1;B 公司:5000+100(n-1)+5000+100(n-1)+50=10050+200(n-1)由上可以看出 B 公司的年收入永远比 A 公司多 50 元,如不细心考察很可能选错。例 6三个数 a、b、c 的积为负数,和为正数,且bcbcacacababccbbaax,则 123cxbxax的值是_。解:因为 abc0,所以 a、b、c 中只有一个是负数。不妨设 a0,c0 则 ab0,ac0 所以*=-1+1+1-1-1+1=0 将*=0 代入要求的代数式,得到结果为 1。-.z.同理,当 b0,c0 时,即*52,5*-2=3
13、,5*=5,*=1 因为*=1 符合大前提*52,所以此时方程的解是*=1 当 5*-2=0 时,即*=52,得到矛盾等式 0=3,所以此时方程无解 当 5*-20 时,即*52,5*-2=-3,*=51 因为*=51符合大前提*0 时,即*1,*-1=-2*+1,3*=2,*=32 因为*=32不符合大前提*1,所以此时方程无解 当*-1=0 时,即*=1,0=-2+1,0=-1,此时方程无解 当*-10 时,即*1,1-*=-2*+1,*=0 因为*=0 符合大前提*AD B.ACBD D.CD3 10.如下图,L1,L2,L3交于点 O,1=2,3:1=8:1,求4 的度数.(方程思想)
14、答案:36 11 如下图,ABCD,分别探索以下四个图形中P 与A,C 的关系,请你从所得的四个关系中任选一个加以说明.(1)(2)(3)(4)1分析:过点 P 作 PE/AB APE+A+C=360 2P=A+C 3P=C-A,4P=A-C 12如图,假设 AB/EF,C=90,求*+y-z 度数。分析:如图,添加辅助线 证出:*+y-z=90 13:如图,BAPAPD18012,求证:EF 分析:法一 法二:由 AB/CD 证明PAB=APC,所以EAP=APF 所以 AE/FP 所以 EF 1 2 3-.z.第七讲:平面直角坐标系 一、知识要点:1、特殊位置的点的特征 1各个象限的点的横
15、、纵坐标符号 2坐标轴上的点的坐标:x 轴上的点的坐标为)0,(x,即纵坐标为 0;y轴上的点的坐标为),0(y,即横坐标为 0;2、具有特殊位置的点的坐标特征 设),(111yxP、),(222yxP 1P、2P两点关于x轴对称21xx,且21yy;1P、2P两点关于y轴对称21xx,且21yy;1P、2P两点关于原点轴对称21xx,且21yy。3、距离 1点 A),(yx到轴的距离:点 A 到x轴的距离为|y|;点 A 到y轴的距离为|x|;2同一坐标轴上两点之间的距离:A)0,(Ax、B)0,(Bx,则|BAxxAB;A),0(Ay、B),0(By,则|BAyyAB;二、典型例题 1、点
16、 M 的坐标为*,y,如果*yc,b+ca,c+ab两点之间线段最短 由上式可变形得到:acb,bac,cba 即有:三角形的两边之差小于第三边 2 高 由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。3 中线:连接三角形的顶点和它对边的中点的线段,称为三角形的中线 4 角平分线 三角形一个角的角平分线与这个角对边的交点和这个角的顶点之间线段称为三角形的角平分线 二、典型例题 一三边关系 1三角形三边分别为 2,a-1,4,则 a 的取值围是()A.1a5 B.2a6 C.3a7 D.4a6 2小颖要制作一个三角形木架,现有两根长度为 8m 和 5m 的木棒。
17、如果要求第三根木棒的长度是整数小颖有几种选法.可以是多少.分析:设第三根木棒的长度为*,则 3*12AB+AC 分析:因为 BD+ADAB、CD+ADAC 所以 BD+AD+CD+AD AB+AC 因为 AD 是 BC 边上的中线,BD=CD 所以 AD+BD12AB+AC 二三角形的高、中线与角平分线 问题:1观察图形,指出图中出现了哪些高线.2图中存在哪些相等角.注意根本图形:双垂直图形 4如图,在直角三角形 ABC 中,ACAB,AD 是斜边上的高,DEAC,DFAB,垂足分别为 E、F,则图中与CC 除外相等的角的个数是 A5 B4 C3 D2 分析:5如图,ABC 中,A=40,B=
18、72,CE 平分ACB,CDAB 于 D,DFCE,求CDF 的度数。-.z.21ABCDFEDCBAFEDCBA分析:CED=40+34=74 所以CDF=74 6一块三角形优良品种试验田,现引进四种不同的种子进展比照试验,需要将这块地分成面积相等的四块,请你设计出四种划分方案供选择,画图说明。分析:7ABC 中,ABC、ACB 的平分线相交于点 O。1假设ABC=40,ACB=50,则BOC=。2假设ABC+ACB=116,则BOC=。3假设A=76,则BOC=。4假设BOC=120,则A=。5你能找出A 与BOC 之间的数量关系吗.8:BE,CE 分别为ABC 的外角 MBC,NCB 的
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