全等三角形解答题--答案3967.pdf

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1、2016 暑假作业(七)全等三角形解答题答案 参考答案与试题解析 一解答题（共 28 小题）1（2012 邵阳）如图所示，AC、BD 相交于点 O，且 OA=OC，OB=OD求证：ADBC 【解答】证明：AC、BD 交于点 O，AOD=COB，在AOD 和COB 中，AODCOB（SAS）A=C，ADBC 2（2016 重庆校级模拟）如图，A、C、F、B 在同一直线上，AC=BF，AE=BD，且 AEBD求证：EFCD 【解答】证明：AEBD，A=B，AC=BF，AC+CF=BF+CF，BC=AF，在EAF 和DBC 中，EAFDBC（SAS），EFA=BCD，EFCD 3（2015 于洪区一

2、模）如图 1，在ABC 中，ACB 为锐角，点 D 为射线BC 上一点，连接 AD，以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF（1）如果 AB=AC，BAC=90，当点 D 在线段 BC 上时（与点 B 不重合），如图 2，线段 CF、BD 所在直线的位置关系为 垂直，线段 CF、BD 的数量关系为 相等；当点 D 在线段 BC 的延长线上时，如图 3，中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果 ABAC，BAC 是锐角，点 D 在线段 BC 上，当ACB 满足什么条件时，CFBC（点 C、F 不重合），并说明理由 【解答】证明：（1）正方形 ADEF 中，AD=AF，BAC=DA

3、F=90，BAD=CAF，又AB=AC，DABFAC，CF=BD，B=ACF，ACB+ACF=90，即 CFBD 当点 D 在 BC 的延长线上时的结论仍成立 由正方形 ADEF 得 AD=AF，DAF=90 度 BAC=90，DAF=BAC，DAB=FAC，又AB=AC，DABFAC，CF=BD，ACF=ABD BAC=90，AB=AC，ABC=45，ACF=45，BCF=ACB+ACF=90 度 即 CFBD （2）当ACB=45时，CFBD（如图）理由：过点 A 作 AGAC 交 CB 的延长线于点 G，则GAC=90，ACB=45，AGC=90ACB，AGC=9045=45，ACB=A

4、GC=45，AC=AG，DAG=FAC（同角的余角相等），AD=AF，GADCAF，ACF=AGC=45，BCF=ACB+ACF=45+45=90，即 CFBC 4（2014 南京）【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在ABC 和DEF 中，AC=DF，BC=EF，B=E，然后，对B 进行分类，可分为“B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究 【深入探究】第一种情况：当B 是直角时，A

5、BCDEF（1）如图，在ABC 和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E=90，根据 HL，可以知道 RtABCRtDEF 第二种情况：当B 是钝角时，ABCDEF（2）如图，在ABC 和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E 都是钝角，求证：ABCDEF 第三种情况：当B 是锐角时，ABC 和DEF 不一定全等（3）在ABC 和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E 都是锐角，请你用尺规在图中作出DEF，使DEF 和ABC 不全等（不写作法，保留作图痕迹）（4）B 还要满足什么条件，就可以使ABCDEF 请直接写出结论：在ABC 和DEF 中，AC=DF，BC=EF，B=

6、E，且B、E 都是锐角，若 BA，则ABCDEF【解答】（1）解：HL；（2）证明：如图，过点 C 作 CGAB 交 AB 的延长线于 G，过点 F 作 FHDE交 DE 的延长线于 H，ABC=DEF，且ABC、DEF 都是钝角，180ABC=180DEF，即CBG=FEH，在CBG 和FEH 中，CBGFEH（AAS），CG=FH，在 RtACG 和 RtDFH 中，RtACGRtDFH（HL），A=D，在ABC 和DEF 中，ABCDEF（AAS）；（3）解：如图，DEF 和ABC 不全等；（4）解：若BA，则ABCDEF 故答案为：（1）HL；（4）BA 5（2013 河南）如图 1，

7、将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置，其中C=90，B=E=30（1）操作发现 如图 2，固定ABC，使DEC 绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空：线段 DE 与 AC 的位置关系是 DEAC；设BDC 的面积为 S1，AEC 的面积为 S2，则 S1与 S2的数量关系是 S1=S2 （2）猜想论证 当DEC 绕点 C 旋转到如图 3 所示的位置时，小明猜想（1）中 S1与 S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC 和AEC 中 BC、CE 边上的高，请你证明小明的猜想（3）拓展探究 已知ABC=60，点 D 是角平分线上一点，BD=CD=4，DE

8、AB 交 BC 于点 E（如图 4）若在射线 BA 上存在点 F，使 SDCF=SBDE，请直接写出相应的 BF的长 【解答】解：（1）DEC 绕点 C 旋转点 D 恰好落在 AB 边上，AC=CD，BAC=90B=9030=60，ACD 是等边三角形，ACD=60，又CDE=BAC=60，ACD=CDE，DEAC；B=30，C=90，CD=AC=AB，BD=AD=AC，根据等边三角形的性质，ACD 的边 AC、AD 上的高相等，BDC 的面积和AEC 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即 S1=S2；故答案为：DEAC；S1=S2；（2）如图，DEC 是由ABC 绕点 C 旋转得到，

9、BC=CE，AC=CD，ACN+BCN=90，DCM+BCN=18090=90，ACN=DCM，在ACN 和DCM 中，ACNDCM（AAS），AN=DM，BDC 的面积和AEC 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即 S1=S2；（3）如图，过点 D 作 DF1BE，易求四边形 BEDF1是菱形，所以 BE=DF1，且 BE、DF1上的高相等，此时 SDCF1=SBDE；过点 D 作 DF2BD，ABC=60，F1DBE，F2F1D=ABC=60，BF1=DF1，F1BD=ABC=30，F2DB=90，F1DF2=ABC=60，DF1F2是等边三角形，DF1=DF2，BD=CD，ABC

10、=60，点 D 是角平分线上一点，DBC=DCB=60=30，CDF1=180BCD=18030=150，CDF2=36015060=150，CDF1=CDF2，在CDF1和CDF2中，CDF1CDF2（SAS），点 F2也是所求的点，ABC=60，点 D 是角平分线上一点，DEAB，DBC=BDE=ABD=60=30，又BD=4，BE=4cos30=2=，BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=，故 BF 的长为或 6（2013 烟台）已知，点 P 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点（不与 A，B 重合），分别过 A，B 向直线 CP 作垂线，垂足分别为 E，F，Q 为斜边 AB的中

11、点（1）如图 1，当点 P 与点 Q 重合时，AE 与 BF 的位置关系是 AEBF，QE 与 QF 的数量关系式 QE=QF；（2）如图 2，当点 P 在线段 AB 上不与点 Q 重合时，试判断 QE 与 QF 的数量关系，并给予证明；（3）如图 3，当点 P 在线段 BA（或 AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立请画出图形并给予证明 【解答】解：（1）AEBF，QE=QF，理由是：如图 1，Q 为 AB 中点，AQ=BQ，BFCP，AECP，BFAE，BFQ=AEQ=90，在BFQ 和AEQ 中 BFQAEQ（AAS），QE=QF，故答案为：AEBF；QE=QF （2）QE=QF

12、，证明：如图 2，延长 FQ 交 AE 于 D，Q 为 AB 中点，AQ=BQ，BFCP，AECP，BFAE，QAD=FBQ，在FBQ 和DAQ 中 FBQDAQ（ASA），QF=QD，AECP，EQ 是直角三角形 DEF 斜边上的中线，QE=QF=QD，即 QE=QF （3）（2）中的结论仍然成立，证明：如图 3，延长 EQ、FB 交于 D，Q 为 AB 中点，AQ=BQ，BFCP，AECP，BFAE，1=D，在AQE 和BQD 中，AQEBQD（AAS），QE=QD，BFCP，FQ 是斜边 DE 上的中线，QE=QF 7（2013 涪陵区校级模拟）如图，ADE 的顶点 D 在ABC 的 B

13、C 边上，且ABD=ADB，BAD=CAE，AC=AE 求证：BC=DE 【解答】证明：ABD=ADB，AB=AD，BAD=CAE，BAD+DAC=CAE+DAC，即BAC=DAE，在ABC 和ADE 中，ABCADE（SAS），BC=DE 8（2013 庐阳区校级模拟）如图，将两个全等的直角三角形ABD、ACE拼在一起（图 1）ABD 不动，（1）若将ACE 绕点 A 逆时针旋转，连接 DE，M 是 DE 的中点，连接 MB、MC（图 2），证明：MB=MC（2）若将图 1 中的 CE 向上平移，CAE 不变，连接 DE，M 是 DE 的中点，连接 MB、MC（图 3），判断并直接写出 MB

14、、MC 的数量关系（3）在（2）中，若CAE 的大小改变（图 4），其他条件不变，则（2）中的 MB、MC 的数量关系还成立吗说明理由【解答】证明：（1）如图 2，连接 AM，由已知得ABDACE，AD=AE，AB=AC，BAD=CAE，MD=ME，MAD=MAE，MADBAD=MAECAE，即BAM=CAM，在ABM 和ACM 中，ABMACM（SAS），MB=MC；（2）MB=MC 理由如下：如图 3，延长 DB、AE 相交于 E，延长 EC 交 AD 于 F，BD=BE，CE=CF，M 是 ED 的中点，B 是 DE的中点，MBAE，MBC=CAE，同理：MCAD，BCM=BAD，BAD

15、=CAE，MBC=BCM，MB=MC；（3）MB=MC 还成立 如图 4，延长 BM 交 CE 于 F，CEBD，MDB=MEF，MBD=MFE，又M 是 DE 的中点，MD=ME，在MDB 和MEF 中，MDBMEF（AAS），MB=MF，ACE=90，BCF=90，MB=MC 9（2012 昌平区模拟）（1）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，B=D=90，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且EAF=BAD 求证：EF=BE+FD；（2）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，B+D=180，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且EAF=BAD，（1）中的结论是否仍然成立 （

16、3）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，B+ADC=180，E、F 分别是边BC、CD 延长线上的点，且EAF=BAD，（1）中的结论是否仍然成立若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明 【解答】证明：（1）延长 EB 到 G，使 BG=DF，连接 AG ABG=ABC=D=90，AB=AD，ABGADF AG=AF，1=2 1+3=2+3=EAF=BAD GAE=EAF 又 AE=AE，AEGAEF EG=EF EG=BE+BG EF=BE+FD （2）（1）中的结论 EF=BE+FD 仍然成立 （3）结论 EF=BE+FD 不成立，应当是 EF=BEFD 证明：在

17、BE 上截取 BG，使 BG=DF，连接 AG B+ADC=180，ADF+ADC=180，B=ADF AB=AD，ABGADF BAG=DAF，AG=AF BAG+EAD=DAF+EAD=EAF=BAD GAE=EAF AE=AE，AEGAEF EG=EF EG=BEBG EF=BEFD 10（2009 沈阳）将两个全等的直角三角形 ABC 和 DBE 按图方式摆放，其中ACB=DEB=90，A=D=30，点 E 落在 AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点 F（1）求证：AF+EF=DE；（2）若将图中的DBE绕点B按顺时针方向旋转角，且060，其它条件不变，请在图中画出变换后的图形

18、，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图中的DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角，且 60180，其它条件不变，如图你认为（1）中猜想的结论还成立吗若成立，写出证明过程；若不成立，请写出 AF、EF 与 DE 之间的关系，并说明理由 【解答】（1）证明：连接 BF（如图），ABCDBE（已知），BC=BE，AC=DE ACB=DEB=90，BCF=BEF=90 BF=BF，RtBFCRtBFE CF=EF 又AF+CF=AC，AF+EF=DE （2）解：画出正确图形如图（1）中的结论 AF+EF=DE 仍然成立；（3）不成立 证明：连接 BF，ABCDBE，BC=BE，AC

19、B=DEB=90，BCF 和BEF 是直角三角形，在 RtBCF 和 RtBEF 中，BCFBEF（HL），CF=EF；ABCDBE，AC=DE，AF=AC+FC=DE+EF 11（2015 菏泽）如图，已知ABC=90，D 是直线 AB 上的点，AD=BC（1）如图 1，过点 A 作 AFAB，并截取 AF=BD，连接 DC、DF、CF，判断CDF的形状并证明；（2）如图 2，E 是直线 BC 上一点，且 CE=BD，直线 AE、CD 相交于点 P，APD 的度数是一个固定的值吗若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由 【解答】解：（1）CDF 是等腰直角三角形，理由如下：AFAD，ABC=

20、90，FAD=DBC，在FAD 与DBC 中，FADDBC（SAS），FD=DC，CDF 是等腰三角形，FADDBC，FDA=DCB，BDC+DCB=90，BDC+FDA=90，CDF 是等腰直角三角形；（2）作 AFAB 于 A，使 AF=BD，连结 DF，CF，如图，AFAD，ABC=90，FAD=DBC，在FAD 与DBC 中，FADDBC（SAS），FD=DC，CDF 是等腰三角形，FADDBC，FDA=DCB，BDC+DCB=90，BDC+FDA=90，CDF 是等腰直角三角形，FCD=45，AFCE，且 AF=CE，四边形 AFCE 是平行四边形，AECF，APD=FCD=45 1

21、2（2016 常德）已知四边形 ABCD 中，AB=AD，ABAD，连接 AC，过点 A作 AEAC，且使 AE=AC，连接 BE，过 A 作 AHCD 于 H 交 BE 于 F（1）如图 1，当 E 在 CD 的延长线上时，求证：ABCADE；BF=EF；（2）如图 2，当 E 不在 CD 的延长线上时，BF=EF 还成立吗请证明你的结论 【解答】证明：（1）如图 1，ABAD，AEAC，BAD=90，CAE=90，1=2，在ABC 和ADE 中，ABCADE（SAS）；如图 1，ABCADE，AEC=3，在 RtACE 中，ACE+AEC=90，BCE=90，AHCD，AE=AC，CH=H

22、E，AHE=BCE=90，BCFH，=1，BF=EF；（2）结论仍然成立，理由是：如图 2 所示，过 E 作 MNAH，交 BA、CD 延长线于 M、N，CAE=90，BAD=90，1+2=90，1+CAD=90，2=CAD，MNAH，3=HAE，ACH+CAH=90，CAH+HAE=90，ACH=HAE，3=ACH，在MAE 和DAC 中，MAEDAC（ASA），AM=AD，AB=AD，AB=AM，AFME，=1，BF=EF 13（2015 春 鄄城县期末）如图 1，ABC 中，BAC=90，AB=AC，AE是过点 A 的一条直线，且点 B，C 在 AE 的异侧，BDAE 于点 D，CEAE

23、 于点 E（1）BD=DE+CE 成立吗为什么（2）若直线 AE 绕点 A 旋转到如图 2 位置时，其他条件不变，BD 与 DE，CE关系如何请说明理由 【解答】解：（1）BD=DE+CE 成立，BAC=90，BDAE，CEAE，BDA=AEC=90，ABD+BAE=90，CAE+BAE=90 ABD=CAE，AB=AC，在ABD 和CAE 中，ABDCAE（AAS），BD=AE，AD=CE，AE=AD+DE，BD=DE+CE；（2）BD=DECE；BAC=90，BDAE，CEAE，BDA=AEC=90，ABD+DAB=DEB+CAE，ABD=CAE，AB=AC，在ABD 和CAE 中，ABD

24、CAE（AAS），BD=AE，AD=CE，AD+AE=BD+CE，DE=BD+CE，BD=DECE 14（2015 秋 微山县期末）已知：在ABC 中，ACB=90，AC=BC，点D 是 AB 的中点，点 E 是 AB 边上一点（1）直线 BF 垂直于 CE 于点 F，交 CD 于点 G（如图 1）求证：AE=CG；（2）直线 AH 垂直于 CE，垂足为 H，交 CD 的延长线于点 M（如图 2）那么图中是否存在与 AM 相等的线段若存在，请写出来并证明；若不存在，请说明理由 【解答】解：（1）点 D 是 AB 的中点，AC=BC，ACB=90，CDAB，ACD=BCD=45，CAD=CBD=

25、45 CAE=BCG BFCE，CBG+BCF=90 ACE+BCF=90，ACE=CBG 在AEC 和CGB 中，AECCGB（ASA）AE=CG（2）图中存在与 AM 相等的线段，AM=CE 证明：CHHM，CDED，CMA+MCH=90，BEC+MCH=90 CMA=BEC AC=BC，ACM=CBE=45，在CAM 和BCE 中，CAMBCE（AAS）AM=CE 15（2015 秋 丰润区期末）如图，在ABC 中，ACB=90，AC=BC，E为 AC 边的中点，过点 A 作 ADAB 交 BE 的延长线于点 D，CG 平分ACB 交BD 于点 G，F 为 AB 边上一点，连接 CF，且

26、ACF=CBG求证：（1）AF=CG；（2）DG=CF；（3）直接写出 CF 与 DE 的数量关系 【解答】证明：（1）ACB=90，AC=BC，CG 平分ACB，CAF=CBA=45，BCG=ACG=45，BCG=CAF=45 CBG=ACF，AC=BC BCGCAF，BG=CF；（2）连接 AG，如图 1 所示：在ACG 与BCG 中，ACGBCG，AG=BG，GBA=GAB，ADAB D=90GBA=90GAB=GAD，AG=DG 由（1）BG=CF，DG=CF；（3）如图 2，延长 CG 交 AB 于 H，CG 平分ACB，AC=BC，CHAB，CH 平分 AB，ADAB，ADCG，D

27、=EGC，在ADE 与CGE 中，ADECGE（AAS），DE=GE，即 DG=2DE，ADCG，CH 平分 AB，DG=BG，AFCCBG，CF=BG，CF=2DE 16（2015 秋 宜宾期末）如图，在ABC 中，AB=AC，D、A、E 在直线 m上，ADB=AEC=BAC（1）求证：DE=DB+EC；（2）若BAC=120，AF 平分BAC，且 AF=AB，连接 FD、FE，请判断DEF的形状，并写出证明过程 【解答】（1）证明：ADB=AEC=BAC，ADB+ABD+BAD=BAD+BAC+EAC=180，ABD=EAC，在ABD 与ACE 中，ABDAEC，BD=AE，DE=AD+A

28、E，DE=DB+EC；（2）DEF 为等边三角形 理由：ABF 和ACF 均为等边三角形 BF=AF=AB=AC=CF，BAF=CAF=ABF=60，BDA=AEC=BAC=120，DBA+DAB=CAE+DAB=60，DBA=CAE 在BAD 和ACE 中，ADBCEA（AAS），BD=AE，DBA=CAE ABF=CAF=60，DBA+ABF=CAE+CAF，DBF=FAE 在BDF 和AEF 中，DBFEAF（SAS），DF=EF，BFD=AFE，DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=60，DEF 为等边三角形 17（2015 秋 南陵县期末）如图，已知点 O 到ABC 的两边 AB、

29、AC 的距离分别是 OD、OE，且 OD=OE，OB=OC（1）如图 1，若点 O 在 BC 边上，补全图形并求证：AB=AC；（2）如图 2，若点 O 在ABC 的内部，补全图形并求证：AB=AC 【解答】（1）证明：如图 1 所示：ODAB，OEAC，E，F 分别是垂足，ODB=OEC=90，在 RtOBD 和 RtOCE 中，RtOBDRtOCE（HL），B=C（全等三角形的对应角相等），AB=AC（等角对等边）；（2）证明：如图 2 所示：ODAB，OEAC，E，F 分别是垂足，ODB=OEC=90，在 RtOBD 和 RtOCE 中，RtOBDRtOCE（HL），OBD=OCE（全等

30、三角形的对应角相等），又OB=OC，OBC=OCB，EBO+OBC=OCF+OCB，即ABC=ACB，AB=AC 18（2015 春 金堂县期末）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形如图（1），已知：在ABC 中，BAC=90，AB=AC，直线 l 经过点 A，BD直线 l，CE直线 l，垂足分别为点 D、E证明：DE=BD+CE（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢如图（2），将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB=AC，D、A、E 三点都在直线 m 上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中 为任意锐角或钝角请问结论DE=BD+CE 是否成立如

31、成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图（3），过ABC 的边 AB、AC 向外作正方形 ABDE 和正方形 ACFG，AH 是 BC 边上的高，延长 HA 交 EG 于点 I，求证：I 是 EG 的中点 【解答】解：（1）如图 1，BD直线 l，CE直线 l，BDA=CEA=90，BAC=90，BAD+CAE=90 BAD+ABD=90，CAE=ABD 在ADB 和CEA 中，ADBCEA（AAS），AE=BD，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE；（2）DE=BD+CE 如图 2，证明如下：BDA=BAC=，DB

32、A+BAD=BAD+CAE=180，DBA=CAE，在ADB 和CEA 中 ADBCEA（AAS），AE=BD，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE （3）如图 3，过 E 作 EMHI 于 M，GNHI 的延长线于 N EMI=GNI=90 由（1）和（2）的结论可知 EM=AH=GN EM=GN 在EMI 和GNI 中，EMIGNI（AAS），EI=GI I 是 EG 的中点 19（2015 秋 文安县期末）已知ABC 为等边三角形，点 D 为直线 BC 上一动点（点 D 不与点 B，点 C 重合）以 AD 为边作等边三角形 ADE，连接CE（1）如图 1，当点 D 在边 BC 上时

33、求证：ABDACE；直接判断结论 BC=DC+CE 是否成立（不需证明）；（2）如图 2，当点 D 在边 BC 的延长线上时，其他条件不变，请写出 BC，DC，CE 之间存在的数量关系，并写出证明过程 【解答】解：（1）ABC 和ADE 是等边三角形，BAC=DAE=60，AB=BC=AC，AD=DE=AE BACDAC=DAEDAC，BAD=EAC 在ABD 和ACE 中，ABDACE（SAS）ABDACE，BD=CE BC=BD+CD，BC=CE+CD （2）BC+CD=CE ABC 和ADE 是等边三角形，BAC=DAE=60，AB=BC=AC，AD=DE=AE BAC+DAC=DAE+

34、DAC，BAD=EAC 在ABD 和ACE 中，ABDACE（SAS）BD=CE BD=BC+CD，CE=BC+CD；20（2015 春 山亭区期末）如图 1，将一块等腰直角三角板 ABC 的直角顶点 C 置于直线 l 上，图 2 是由图 1 抽象出的几何图形，过 A、B 两点分别作直线 l 的垂线，垂足分别为 D、E（1）ACD 与CBE 全等吗说明你的理由（2）猜想线段 AD、BE、DE 之间的关系（直接写出答案）【解答】证明：（1）ADCE，BECE，ADC=CEB=90，又ACB=90，ACD=CBE=90ECB 在ACD 与CBE 中，ACDCBE（AAS）；（2）AD=BEDE，理

35、由如下：ACDCBE，CD=BE，AD=CE，又CE=CDDE，AD=BEDE 21（2015 秋 迁安市期末）在ABC 中，AB=AC，点 D 是射线 CB 上的一动点（不与点 B、C 重合），以 AD 为一边在 AD 的右侧作ADE，使 AD=AE，DAE=BAC，连接 CE，设BAC=，DCE=（1）如图 1，当点 D 在线段 CB 上，且=60时，那么=120 度；（2）当 60 如图 2，当点 D 在线段 CB 上，求 与 间的数量关系；如图 3，当点 D 在线段 CB 的延长线上，请将如图 3 补充完整，并求出 与 之间的数量关系 【解答】解：（1）DAE=BAC，BAD=CAE，

36、在ABD 与ACE 中，ABDACE，ACE=ABC=60，=120，故答案为：120；（2）+=180，理由：BAC=DAE，BACDAC=DAEDAC，即BAD=CAE，在ABD 与ACE 中，ABDACE，B=ACE，B+ACB=ACE+ACB，B+ACB=DCE=，+B+ACB=180，+=180，图形正确，=，DAE=BAC，DAEBAE=BACBAE，即DAB=EAC，在ABD 与ACE 中，ABDACE，ADB=AEC，设线段 AE 和线段 CB 相交于点 F DFA=EFC，DAF+DFA+ADF=ECF+EFC+AEC=180，DAF=ECF，=22（2015 春 漳州期末）

37、如图，ABC 中，D 为 AB 的中点，AD=5 厘米，B=C，BC=8 厘米（1）若点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度从点 B 向终点 C 运动，同时点Q 在线段 CA 上从点 C 向终点 A 运动，若点 Q 的速度与点 P 的速度相等，经 1 秒钟后，请说明BPDCQP；点 Q 的速度与点 P 的速度不相等，当点 Q 的速度为多少时，能够使BPDCPQ；（2）若点 P 以 3 厘米/秒的速度从点 B 向点 C 运动，同时点 Q 以 5 厘米/秒的速度从点 C 向点 A 运动，它们都依次沿ABC 三边运动，则经过多长时间，点 Q 第一次在ABC 的哪条边上追上点 P 【解答】解：

38、（1）BP=31=3，CQ=31=3，BP=CQ，D 为 AB 的中点，BD=AD=5，CP=BCBP=5，BD=CP，在BPD 与CQP 中，BPDCQP；设点 Q 运动时间为 t 秒，运动速度为 vcm/s，BPDCPQ，BP=CP=4，CQ=5，t=，v=；（2）设经过 x 秒后，点 Q 第一次追上点 P，由题意得 5x3x=210，解得：x=10，点 P 运动的路程为 310=30，30=28+2，此时点 P 在 BC 边上，经过 10 秒，点 Q 第一次在 BC 边上追上点 P 23（2015 秋 奉贤区期中）如图，在ABC 中，D 为 AB 的中点，F 为 BC上一点，DFAC，延

39、长 FD 至 E，且 DE=DF，联结 AE、AF（1）求证：E=C；（2）如果 DF 平分AFB，求证：ACAB 【解答】证明：（1）D 为 AB 的中点，BD=AD，在AED 与BFD 中，AEDBFD（SAS），E=DFB，DFAC，C=DFB，C=E；（2）DF 平分AFB，AFD=DFB，E=DFB，AFD=AED，ED=DF，DAF+AFD=90，EFAC，AFD=FAC，DAF+FAC=90，ACAB 24（2015 秋 点军区期中）在ABC 中，CG 是ACB 的角平分线，点 D 在BC 上，且DAC=B，CG 和 AD 交于点 F（1）求证：AG=AF（如图 1）；（2）如图

40、 2，过点 G 作 GEAD 交 BC 于点 E，连接 EF，求证：EFAB 【解答】证明：（1）4=B+2，5=3+1，且3=B，4=5，AG=AF；（2）GEAD，EGF=4，在GAC 和GEC 中，AGCEGC（ASA），AC=EC，在AFC 和EFC 中，AFCEFC，FEC=3，B=3，FEC=B，EFAB 25（2015 秋 迁安市期中）如图，在ABC 中，AD，CE 是高，AD 与 CE 交于点 F，连接 BF，延长 AD 到点 G，使得 AG=BC，连接 BG，若 CF=AB（1）试判断 BF 与 BG 之间的数量关系，并说明理由；（2）求FBG 的度数 【解答】解：（1）BF

41、=BG；AD，CE 是高，BAD+AFE=BCF+CFD=90，AFE=CFD，BAD=BCF，在ABG 与CFB 中，ABGCFB，BF=BG；（2）ABGCFB，G=FBD，FBD+DBG=90，G+DBG=90，FBG 的度数为 90 26（2014 秋 锦江区期末）已知ABC，点 D、F 分别为线段 AC、AB 上两点，连接 BD、CF 交于点 E（1）若 BDAC，CFAB，如图 1 所示，试说明BAC+BEC=180；（2）若 BD 平分ABC，CF 平分ACB，如图 2 所示，试说明此时BAC 与BEC 的数量关系；（3）在（2）的条件下，若BAC=60，试说明：EF=ED 【解

42、答】解：（1）BDAC，CFAB，DCE+DEC=DCE+FAC=90，DEC=BAC，DEC+BEC=180，BAC+BEC=180；（2）BD 平分ABC，CF 平分ACB，EBC=ABC，ECB=ACB，BEC=180（EBC+ECB）=180（ABC+ACB）=180（180BAC）=90BAC；（3）作BEC 的平分线 EM 交 BC 于 M，BAC=60，BEC=90+BAC=120，FEB=DEC=60，EM 平分BEC，BEM=60，在FBE 与EBM 中，FBEEBM，EF=EM，同理 DE=EM，EF=DE 27（2014 秋 成都期中）如图，ABC 中，AB=AC=12c

43、m，BC=8cm，点 D 为AB 的中点如果点 P 在 BC 上以 2cm/s 的速度由 BC 运动，同时，点 Q 在AC 上以相同的速度由 CA 运动，当点 P 到达点 C 或点 Q 到达点 A 时运动停止（1）经过 1s 后，BPD 与以点 C、P、Q 为顶点的三角形是否全等为什么（2）如果点 Q 的速度与点 P（2cm/s）不等，（1）中的两个三角形是否全等若能，求出此时点 Q 的速度和运动时间；若不能，请说明理由 【解答】解：（1）经过 1s 后，BPD 与以点 C、P、Q 为顶点的三角形全等，理由：如图 1，当 t=1 时，BP=2cm，CP=6cm，CQ=2cm，D 是 AB 中点

44、，BD=AD=6cm，在DBP 和PCQ 中，DBPPCQ（SAS），DP=PQ；（2）设点 Q 速度为 x，则 t 秒后 CQ 长度为 xtcm，因为 P 的速度为 2cm/s，所以 t 秒后 BP 长度为 2t cm CP=82t（cm）当 DB=CP，B=C，BP=CQ 时，DBPPCQ（SAS），则，解得：，x=2cm/s，不合题意舍去，当 DB=CQ，B=C，BP=CP 时，DBPQCP（SAS），解得：，综上所述：当点 Q 的速度为 3cm/s，运动时间为 2s 时符合题意 28（2006 郴州）如图，在ABC 中，AB=AC，D 是 BC 上任意一点，过 D分别向 AB，AC 引

45、垂线，垂足分别为 E，F，CG 是 AB 边上的高（1）DE，DF，CG 的长之间存在着怎样的等量关系并加以证明；（2）若 D 在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗若不成立，又存在怎样的关系请说明理由 【解答】解：（1）DE+DF=CG 证明：连接 AD，则 SABC=SABD+SACD，即AB CG=AB DE+AC DF，AB=AC，CG=DE+DF （2）当点 D 在 BC 延长线上时，（1）中的结论不成立，但有 DEDF=CG 理由：连接 AD，则 SABD=SABC+SACD，即AB DE=AB CG+AC DF AB=AC，DE=CG+DF，即 DEDF=CG 同理当 D 点在 CB 的延长线上时，则有 DEDF=CG，说明方法同上