初等数学研究习题解答10843.pdf

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1、-.z.初等数学研究习题解答 第一章 数系 1.1 集合论初步自然数的基数理论 习题 1.1 1证明集合0|x x 与实数集对等。证明：取对应关系为lnyx，这个函数构成0(,)与(,)的一一对应，所以集合0|x x 与实数集对等。2证明()()()ABCABAC 证明：()xABCxA 或xBC，xA或xB且xC，则有xA或xB同时还有xA或xC，即xAB同时还有xAC，所以()()()()()xABACABCABAC 反过来：()()xABACxAB 且xAC，对于前者有xA或者xB；对于后者有xA或者xC，综合起来考虑，xB与xC前后都有，所以应是“xB且xC即“xBC，再结合xA的地位

2、“或者xA以及前后关系有“xA或xBC即()xABC，所以()()()()xABCABCABAC 所以()()()ABCABAC。3集合A有 10 个元素，,B C都是A的子集，B有 5 个元素，C有 4 个元素，BC有2 个元素，则()BAC有几个元素.解：集合()BAC如图 1 所示：由于 452(),(),()r Cr Br BC，所以32(),()r BCr CB，从而1028()r BAC，即()BAC有 8 个元素 图1CBA-.z.4写出集合,a b c d的全部非空真子集。5证明，按基数理论定义的乘法对加法的分配律成立。证明：设,A B C是三个有限集合，并且BC，记(),()

3、,()ar A br B cr C 首先：由于BC，所以ABA C，所以 其次：对于(,)()(,)|,a xABCa xaA xBC，由于xBC，则假设xB，于是(,)a xAB；假设xC，于是(,)a xA C，所以总有(,)(,)|,(,)|,a xa xaA xBa xaA xCABA C 即()()()ABCABA Cr ABCr ABA C 反过来：(,)a xABA C，则(,)a xAB或者(,)a xA C 于是有,aAxB或者xC，即,aAxBC，所以(,)()a xABC 即()()()ABCABA Cr ABCr ABA C 所以()a bcabac 6在基数理论定义的

4、乘法下，证明1 aa。证明：设 B，则1()r B，A是任意有限集，并且()r Aa。作集合：(,)|BAaaA，显然1()r BAa 作对应:(,)faa，而这个对应是从BA到A的一一对应，所以BA与A对等，从而有：()()r BAr A，即1 aa。1.2 自然数的序数理论 习题 1.2 1用定义计算54。解：5 156 525 15 167;();53525278()；54535389()。2用定义计算3 4 解：3 23 13 1 3336 -.z.3在序数理论下，证明自然数的离散性，即不存在自然数b，使b介于a与a之间。证明：假假设不然，由于aa，则必然是1abaa，由于ab，所以存

5、在c使1acba，由于1c，所以aca，即ba，矛盾此前有ba 4用第一归纳法证明4151nn是 9 的倍数。证明：对于1n，有4151182 9，结论成立；设41519kkm 成立，则 所以结论在1nk也成立。5用第二归纳法证明数列11515225nnna的每一项都是自然数。证明：由于1115151512255a，即1a是自然数；设12,ka aa都是自然数，则 从而1ka也是自然数，故“na的每一项都是自然数成立。1.3 复数的三角形式与指数形式 习题 1.3 1利用复数推导三倍角公式 解：设cossinzi，则333cossinzi，另一方面，将33(cossin)zi展开：比拟实部和虚

6、部，即得：2设 M 是单位圆周221xy上的动点，点 N 与定点 A(2,0)和点 M 构成一个等腰直角三角形斜边的端点，并且MNAM成逆时针方向，当 M 点移动时，求点 N 的轨迹。解：如图 1-1，设11(,),(,)N x yM xy对应的复数记为11,ONxyi OMxy i 由于MNAM成逆时针方向，将向量AN绕A点逆时针旋转300后必与向量AM重合，所以有 即 132()iONOAOMOA 图1-1NAM-.z.亦即：1113222()ixyixy i 所以113232 3122,xyxyxy，但22111xy 所以：223313122xyxy 整理即得：2222 330 xyxy

7、 3设圆的方程为224xy，点1 0(,)A，B在给定的圆周上，以AB为底边作等腰直角ABC，并且ABCA成逆时针方向。当B移动时，求C点的轨迹。解：设(,)C x y、11(,)B xy对应的复数分别为：xyi、11xy i 不失一般性，不妨设ABCDA成逆时针方向。于是有 BCAC i 这时：11111()(),()BCxxyy i ACxy i 所以有：11111()()()xxyy ixy i i 亦即 111110()()xxyyxyi 故 1111010,xxyyxy，从中解出11,xy得：11122,xyxyxy 所以有：2211422xyxy，即2270 xyx 4设123,z

8、 zz是复平面上三个点 A、B、C 对应的复数，证明三角形 ABC 是等边三角形的充分必要条件是22212312233 1zzzz zz zz z 证明：不失一般性，不妨设123zzz成逆时针方向，如图 1-2，于是按照复数乘法的几何意义有12326060()(cossin)zzzzi，即3333123212320()()()()zzzzzzzz 但123,z zz不共线。所以13220zzz 图1-2z3Oz2z1-.z.于是22121232320()()()()zzzzzzzz 展开整理即得22212312233 10zzzz zz zz z 即22212312233 1zzzz zz z

9、z z。5试写出1的四个四次方根。解：1的幅角为180，模为 1，而180的四分之一为45，所以1的四个四次方根的幅角依次为45、135、225、225，模都为1，从而这四个虚根依次为212()i、212()i、212()i、212()i 6用复数的乘法证明：1111135784arctanarctanarctanarctan 24516513652arcsinarcsinarcsin 证明：1设四个复数12343578,zi zi zi zi 则：1 2343578()()()()z z z ziiii 所以1 2344arg()z z z z，即12344arg()arg()arg()ar

10、g()zzzz 而123411113578arg()arctan,arg()arctan,arg()arctan,arg()arctanzzzz 即 111135784arctanarctanarctanarctan 2设三个复数123341256316,zi zi zi 则：1 23341256316()()()z z ziii 所以1 232arg()z z z，即1232arg()arg()arg()zzz 而 123451651365arg()arcsin,arg()arcsin,arg()arctanzzz-.z.所以 4516513652arcsinarcsinarcsin 1.4

11、 近似数的概念与计算 习题 1.4 1近似数 2315.4 的相对误差界是 0.02%，试确定它的绝对误差界,并指出它的有效数字的个数.解：2315 4 0 020 46.%.所以，绝对误差界=0.46，有效数字的个数为 5。2把数 1460000.2471 准确到十位、百位、千位、万位时，结果分别表示为什么 解：分别是：1.46000106、1.4600106、1.460106、1.46106。3把数 5.2435、6.5275000、3.5465、7.278500 准确到千分位时的结果分别是多少 解：分别是 5.244、6.528、3.546、7.278 4测量一个螺栓的外径和一个螺帽的径

12、分别应该用哪种近似数的截取方式.请简要说明理由。解：螺栓外径用进一法，螺帽径用截尾法。因为螺栓外径的测量值必须不小于真值，而螺帽径的测量值必须不大于真值，否则螺帽将套不住与之配套的螺栓。5近似计算：11.21041.531035003.6 243.260.3824 332.2642.13 4(2.63103)2.43564 解：11.9104；242.88；368.7；41.08103 6一块圆柱形金属部件的底面半径长的标准尺寸为 75mm，高为 20mm。加工时一般会有误差。但要求成品的体积的绝对误差不超过 5mm3，问测量时底面半径和高各自应到达怎样的准确度.解：部件的体积2233 147

13、520353429 2.r hmm 因为误差不能超过 5mm3，它是 10mm3的半个单位，所以体积的准确度应该是十位单位mm3，即 V 应该有 5 个有效数字，从而测量时，底面半径、高都要有 6 个有效数字 而底面半径、高本身的整数局部是两位整数，所以要到达 6 个有效数字，测量准确度必须到达0 00005.mm0 0001.mm的半个单位，常数应取近似值为 3.14159。7一个圆锥形部件底面半径的标准尺寸为 10cm，高为 20cm。要使加工好的成品体积的相对误差不超过 1%，底面半径和高应该用怎样的准确度的量具来量.解：部件的体积223113 14 10202094 433.r hcm

14、，绝对误差为3332094 4120 9421.%.cmcmcm，它缺乏3100cm的半个单位，这样V 的百位和千位数字是可靠数字，即 V 有两个可靠数字，所以，底面半径和高都必须有 3 个有效数字，从而测量准确度应该到达 0.1cm 的半个单位，即要用测量精度到达 0.05cm 的量具来量。常数应取近似值 3.14。-.z.第二章 解析式 2.1 解析式的概念与运算 习题 2.1 1将以下分式展开成局部分式 14352262()xxxx 222541631()()xxxxx 3232232xxxx 4()()()()()()ab bc caxaxbxc 5322657321xxxx62211

15、4321()()xxx 解：1用综合除法将43226xxx展成2x 的多项式 所以434322262215242254222()()()()xxxxxxx 从而4352345226215425422222222()()()()()xxxxxxxxx 2设22254163131()()xxABxCxxxxxx 则221333()()()()()A xxxBxCAB xCAB xAC 所以 534316,ABABCAC 解之得：723,ABC ，所以22254167233131()()xxxxxxxxx 3因为323212()()xxxx xx，所以可设：这时 1221()()()()A xxBx

16、 xCx x 即 1 320 22,ABCABCA 解之得：157,ABC ，所以 23221573212xxxxxxx -.z.4设()()()()g xxaxbxc 则：232()()g xxabc xabbcca 所以()()()()()()ab bc caxaxbxc 53226578423321311()()xxxxxxxx 而232162()()g xxxx，14143(),()gg 所以32220657451323233214 31413 311()()()xxxxxxxxxx 6由于设2114737 21()()xxx 所以222211477212373213 2133 213

17、()()()()()()()()()()xxxxxxxxxxx 200,abcdef，求证：证明：由于3332223()()abcabcabc abcabbcca 并且 00,abcdef 所以3333,abcabc3333defdef 从而原等式成立。31abcd，求证：证明：记 1111abcdSabcababcdbcbcdacdcdabdad 将每个分母的 1 用abcd代替，同时每个分式约分得：11111111Sabcababcdbcbcdacdcdabdad 将的第一个、第二个、第三个、第四个分式的分子和分母分别同乘以d、a、b、c，并利用1abcd，得：即：1111abbccdda

18、Sabcababcdbcbcdacdcdabdad再-.z.将的第一个、第二个、第三个、第四个分式的分子和分母分别同乘以d、a、b、c，并利用1abcd，又得：即1111abcbcdcdadabSabcababcdbcbcdacdcdabdad+得：所以 1S 2.2 根式的化简 习题 2.2 1化简以下各式：1982 222242(|)aa aa 3235323 22 32 32 解：1由于2949824是完全平方数，所以原式可以化简。222222422424242422aaaa aaaa 3235323 22 32 32 2化简以下各式：1532912 5 2134112 3072 108

19、4 3 342 32 5 12 32 2 482 102 582 102 5 解1291129112912 52 5322；32912 532 5362 551()；-.z.211 111 11112 30652265；所以：134655262112 3072 1084 3()()3242 32 512 32 242 32 51221()4令82 102 582 102 5,xy 则2216248 52 62 52 52,xyxy 所以82 102 582 102 5102 3设10 x，化简：解：2222111111111122111111()()xxxxxxxxxx 4设32323232,

20、xy，求22353(,)f x yxxyy的值 解：232323252 652 63232(),xy 所以101,xyxy，于是 5求以下各式的平方根 1162 202 282 35 2244 154 212 35 解：1设162 202 282 35xyz 两边平方：162 202 282 35444xyzxyxzyz 于是：16352028;xyzxyxzyz即 所以574,xyz。从而162 202 282 35572 2设244 154 212 35xyz 两边平方：244 154 212 35444xyzxyxzyz-.z.于是：24608435;xyzxyxzyz即 所以1257,

21、xyz。从而162 202 282 352 357 6求以下各式的立方根：1106 3；254 341 5 3135 387 6；4222229243()abbaba 解1设3106 3xy，则 所以3310 xxy，而3106 3xy，故3106 3xy 从而23106 3 106 3()()xy，即22xy 解方程组：3310 xxy，22xy 得13,xy，所以3106 313 2设354 341 535xy，则 所以322331554 9541,xxyx yy，解这个方程组，得21,xy，所以3106 32 35 3135 387 63 3 4529 2()，对于4529 2，设345

22、29 2xy，则 所以3345xxy，而34529 2xy，故34529 2xy 从而234529 2 4529 2()()xy，即27xy 解方程组：3345xxy，27xy得32,xy，所以34529 232 从而135 387 6的立方根是3 323 36()。4设2222239243()abbabaxy 则2222232924333()()abbabaxxyxyy 所以3239xxyab；而2222239243()abbabaxy，-.z.故2222239243()abbabaxy 从而22222222222392439243()()abbabaabbabaxy，即3264224617

23、2843236xyaa ba bb 而6422463642246172843236123 1443 12aa ba bbaa ba bb 所以22212xyab 解方程组：3239xxyab，22212xyab 得2233,xa yba，所以22222223924333()abbabaaba 第三章 高次方程与不等式 3.1 一元高次方程 习题 3.1 解以下方程：1432613121360 xxxx 2432301722817300 xxxx 354321534151534150 xxxxx 44337730 xxx 54329920 xxx 67654322513135210 xxxxxx

24、x 764325510 xxxx 8654323262310 xxxxxx 9433310 xxx 10.432524422450 xxxx 解：1.用2x除方程两边得：221613120()()xxxx 配方得：1216130()()xxxx-.z.所以 10 xx或1136xx 210 x 或261360 xx 所以xi 或3223,xx 2.用2x除方程两边得：22130172280()()xxxx 配方得：12130171680()()xxxx 分解因式：118210310()()xxxx 所以 183xx或12110 xx 23830 xx或21021100 xx 所以133,xx或

25、5225,xx 3.由于1x 是原方程的根，所以原方程可以分解为 对于43215496449150 xxxx 用2x除方程两边得：2211549640()()xxxx 配方得：1211549340()()xxxx 分解因式：11341015()()xxxx 所以 13415xx 或11xx 21534150 xx或210 xx 所以原方程的根为1x，3553,xx ，132ix 4.用2x除方程两边得：221370()()xxxx 配方得：1213760()()xxxx-.z.所以 13xx 或123xx 2310 xx 或23230 xx 所以352x 或12 23ix 5.用2x除方程两边

26、得：221290()()xxxx 配方得：1212940()()xxxx 所以 14xx或112xx 2410 xx 或2220 xx 所以25x 或1174x 6.由于1x 是原方程的根，所以原方程可以分解为 对于6543267610 xxxxxx 用3x除方程两边得：33221670()()()xxxxxx 令1yxx，则2222xxy，3323()xxy y 于是得：32990yyy 分解因式得：3130()()()yyy 所以有111133,xxxxxx 即22210310310,xxxxxx 所以原方程的根为1x ，133535222,ixxx ，7.用3x除方程两边得：331510

27、()()xxxx 令1yxx，则2222xxy，3323()xxy y 于是得：3210yy，显然1y 是一个根，所以可以分解为-.z.即111512,xxxx 所以原方程的根为：8由于1x 是原方程的根，所以原方程可以分解为 对于4323310 xxxx 用2x除方程两边得：221310()()xxxx 配方得：121310()()xxxx 所以 1352xx，即223520()xx，所以原方程的根为：1x ，35246 535246 522()(),xxaa 9用2x除方程两边得：22130()()xxxx 配方得：121320()()xxxx 所以11xx，或12xx，即210 xx，或

28、2210 xx，所以原方程的根为152x和12x 10.用2x除方程两边得：221524420()()xxxx 配方得：121524320()()xxxx 所以11245ixx，即2512450()xi x 由于22222124425289682 8 6686()()iiiii 所以方程可以分解为：2520()()xixi 所以原方程的根为：225,ixi x。3.2 不等式及其证明-.z.习题 3.2 1设,a bR，试比拟44ab与33a bab的大小。解：44333333()()()()aba baba abb baab ab 所以 4433aba bab 2求证2111 22 3122

29、()()()n nnn n 证明：用数学归纳法：由于122，即不等式在1n 时成立，设在nk时，不等式成立，即：各局部同时加上12()()kk，并记1 22 31()nSn n，则，有：这时11121121212222()()()()()()()()k kk kk kkkkkkk 所以 2112222()()()kkkkS成立。故原不等式成立。3设nN求证1352112222()()()()!nnnnnn 证明：用数学归纳法：记135212222()()()()nnInnnn 由于111!，即不等式在1n 时成立。设在nk时，不等式成立，即：则 由于 21221 21(,)iiikkk 所以1

30、13521212222211111()()()()()kkkIkkkkk 即111()!kIk成立。故原不等式成立。4求证22133sectansectanxxxx-.z.证明：记222211sectantantansectantantanxxxxyxxxx ，再令tantx，则t 则2211tttty ，于是21110()()ytyty 由于函数2211tt()ttf ty 的值域不是空集，而t是任意实数，所以关于t的方程21110()()ytyty 有实数解。当1y 时，对应的二次方程的判别式：当1y 时，方程变成20t，这个方程有解，即1y 是2211tt()ttf ty 在0t 的函数

31、值，所以，函数2211tt()ttf ty 的值域为133y，即22133sectansectanxxxx 5证明2210(,)xyxyxyx yR 证明：由于2220222()()()abbcca；所以222abcabbcca，即2220abcabbcca 令1,ax by c即得：2210 xyxyxy 6证明111111nnnn其中 n 是自然数。证明：由二项式定理：此时，由于123123111111111nnnnnnnnCCCCnnnnnn 所以211111111111()()()()nnnnnnnnnnn 故11111111111()()nnnnnnnnnn，即111111nnnn

32、3.3 几个重要不等式及其应用 习题 3.3-.z.1设,x y z都是正数，并且1xyz，求证 证明：14949xyzxyzxyzxyzxyz 2设,a b c是实数，,x y z是正数，求证：由于,x y z是正数，由柯西不等式有：所以2222()abcabcxyzxyz成立。3设正数,;,a b c x y z满足1abcxyz 求证：22212abcaxbycz 证明：利用柯西不等式 所以22212abcaxbycz 4设,a b c是正数，求证 证明：2229abbccaabc可以变形成 进一步变形成32cababbcca，这就是本节的例 5.5设,a b c是正数，求证 证明222

33、222abbcca 6设12,na aa是 n 个互不一样的正整数。求证：证明：不失一般性，不妨设12naaa，同时由于12,na aa是互不一样的正整数，所以必有：1212,naana 因此 1112n1211 21111112 2122naaann nn n 7在ABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，证明 证明：不失一般性，不妨设abc，于是有ABC，由排序不等式有：-.z.所以：6aAbBcCaAbBcCaAbCcBaBbAcCabcabcabcabc 所以：3aAbBcCabc 第四章 初等函数的假设干问题 4.1 函数的概念及其性态 习题 4.1 1求证函数21()ln()f x

34、xx是奇函数。证明：显然函数的定义域是(,)，其次：2211()()ln()ln()f xfxxxxx 所以 ()()fxf x 即21()ln()f xxx是奇函数。2求以下函数的定义域：108451()|yxx 27293|lg()xxy 解：1欲使函数有意义，则有：即函数的定义域为558 00844,)(,)(,。2欲使函数有意义，则有：293072770|xxxxx ，即函数的定义域为7 2,)。3如果函数()yf x在区间0(,)上是减函数，并且()f x是偶函数，证明()f x在区间0(,)是增函数。证明：12120,(,),x xxx，则120 xx ；由于()yf x在区间0(

35、,)上是减函数，所以12()()fxfx，但()f x是偶函数，所以有 从而()f x在区间0(,)是增函数。4如果函数()yf x在区间0(,)上是增函数，并且()f x是奇函数，证明()f x在-.z.区间0(,)是增函数。证明：12120,(,),x xxx，则120 xx；由于()yf x在区间0(,)上是增函数，所以12()()fxfx，但()f x是奇函数，所以有 即 12()()f xf x 从而()f x在区间0(,)是增函数。5讨论函数20 543.log()yxx的单调性。解：函数的定义域满足：2430 xx，解之得1x 或3x，由于二次函数243yxx在1x 递减，在3x

36、 递增，而0 51.，所以20 543.log()yxx在1x 递增，在3x 递减。4.2 函数的初等变换 习题 4.2 1函数56cos()yxx，求它的反函数的解析式。解：因为56x，所以05x，令5tx，则5xt 此时由cosarccosytty，即5arccosxy，所以5arccosxy 所以数56cos()yxx的反函数的解析式为5arccosyx。2设*是任意实数，求证2arctancotxarcx。证明：令arctan,cotxarcx，则tancotx，并且022,。故322 而2cottan()，222，此时在同一个单调区间22(,)有 2tantan()，则22。3讨论函

37、数372xyx 的性态。-.z.解：3732113222()xxyxxx ，这个函数可以通过对1yx作刚性变换得到：将1yx左移 2 个单位，再沿x反演得到12yx，最后下移3个单位即得372xyx，所以372xyx 在2(,)和2(,)都是增函数，2x 是函数的垂直渐近线，3y 是函数的水平渐近线，23(,)是函数的对称中心；33(,),(,)是函数的值域。4函数1yxx，先将此函数分别沿*轴向左右两边拉伸为原来的两倍，再分别向左、向上平移 3 个单位，求所得函数的解析式。解：函数的变化过程如下：4.3 初等周期函数的周期 习题 4.3 1求以下各组实数的最小公倍数：12532,23 21

38、54 3.,解：1245153626,，604 15604 15,(,)，所以2532,的最小公倍数为60106。2318 39281 5212 412 312.,，而18 9 872,，所以3 21 54 3.,的最小公倍数为72612 2讨论函数232223()sincotxf xx的周期性。解：23122213222323()sincotcoscotxf xxxx-.z.其中233cosx的最小正周期为23，2cotx的最小正周期为2，而 24312232666,，所以232223()sincotxf xx是以2为最小正周期的周期函数。3证明函数22()coscosf xxx不是周期函数

39、。证明：由于cos x的最小正周期为2，2cosx的最小正周期为2，但22,不可公度，所以22()coscosf xxx不是周期函数。4直接证明函数32()cossinf xxx不是周期函数。证明：假假设不然，存在非零实数T使()()f xTf x，即 于是33220cos()cossinsin()xTxxxT 即333322222222()()()()sinsincossinxTxxTxxxTxxT33223202222sin()sincos()sinTTTTxx 由于x是任意实数，所以只能是32022sinsinTT，则3222,(,TTnmm n是整数，于是2 323nTm。即22 33

40、 2233mnmnmn，这与,m n都是整数相矛盾。所以这样的实数T不存在，即函数32()cossinf xxx不是周期函数。5求函数810sincosyxx的最小正周期。解：8sin x的最小正周期为4，10cosx的最小正周期为5，而544 520 20,，所以函数810sincosyxx的最小正周期为。-.z.4.4 取整函数*及其应用 习题 4.4 1求适合220 xx的一切实数x。解：由于 xxxx ，所以 这样就有 120()()xx 即 12x 2设,x yR，求证 xyxy或1xy。证明：由于11 ,xxxyyy 所以11 xyxyxy 而112 xyxy 所以 如果xy是整数

41、，则有1 xyxyxyxyxy；如果xy不是整数，则有11 xyxyxyxy 3求整数n，使10n整除1000!且110n不能整除1000!。解：4求30!的标准分解式。解：由于 30 以的质数为 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29.则 2345303030303015731022222,;所以：15 7 3 110 3 13 142230235711 1317 19 23 29!5证明22 abaabb。证明：设0101,anbm，,m n是正整数。则222222 ,abnmabmn 如果121 21,，则2222,abmn abmn 于是22220()()()abaabbn

42、mnmnm，此时-.z.22 abaabb成立；如果1，则0 50 5.,.至少有一个成立，这时 所以22 abaabb成立。第五章 数列 5.1 循环数列 习题 5.1 1判断以下递推公式是否为循环公式.123212nnnnanaan a 221nnnaaa 321cossinnnnaaa 42121nnnaaa 解1因为2212nnnnaan a不是21,nnnaaa的齐次线性关系式，所以这个递推公式不是循环公式；2不是，理由同1；3是。因为1cossinnnaa是1,nnaa的齐次线性关系式。4不是，因为一次式121nnaa不是齐次式但可以化成齐次式，得到的递推公式是 3 阶的 2求以下

43、循环数列的通项公式。121121nnnaaaaa 2211269112,nnnaaaaa 3212122 3432,nnaaaaa 4112nnaana 解：1特征方程为21，所以特征根为152 设11151522nnnaxy 则有：11151551122()xyxyxyxy-.z.所以1151152255nnna 2特征方程为269，所以特征根为3 3,设13()nnaxny 则有：113 21224()xyxyxyxy32,xy 所以1323()nnan 3 特征方程为22 34，所以特征根为3266(cossin)ii 设111266(cossin)nnnnaxy 则有：33393131

44、221222,()xxxyxyxy 所以11123966(cossin)nnnna 4先将1nnaan 化成循环公式：2111nnnaana 于是特征方程为3221110()()，所以特征根为111,设11()nnaxnyz 此时由112,nnaan a，得数列前三项为：21 3,则有：21172124433,xyzxyzxyzxyz 所以121714()nnna 3写出以下循环数列的循环公式。123nn 2152n -.z.32nn 44cosnn 解1显然数列的特征根为2 3,，即特征方程为223056()()所以循环公式为2156nnnaaa 2显然数列的特征根为1 2,，即特征方程为2

45、12032()()所以循环公式为2132nnnaaa 3显然数列的特征根为2 2,，即特征方程为222044()所以循环公式为2144nnnaaa 4显然数列的特征根为222211112222(),(),(),(),iiii，即特征方程为 即 4322 242 21 所以循环公式为43212 242 2nnnnnaaaaa 5.2 数列求和与高阶等差数列 习题 5.2 1求以下数列的局部和：121()n n 2141 43()()nn 解：1设23212()nan nnnn，记12()kkkknSn，而 112()()nn nS，21 216()()()nn nnS，22314()()nnnS

46、，所以21()n n的局部和为 2111141 434 4143()()()nnnn 所以数列141 43()()nn的局部和为：2求以下数列的局部和：1311()n n 2212nn-.z.解：1因为333111()()n nnn 所以数列311()n n的局部和为 2记212nn的局部和为2021222221122232122()nnnSnn 所以2122232122122232122()nnnSnn 从而：0121223 25 221 22()nnnSnn 再记012123 25 221 2()nnTn 则231223 25 223 221 2()()nnnTnn 所以012122 22

47、 22 22122323()()nnnnTnn 所以2323()nnTn，从而22232322323()()nnnnSnnnn 即22323()nnSnn 3求以下数列的局部和 121121nnnaaaaa 2211269112,nnnaaaaa 解：1由于212111nnnnnnnnnaaaSSSSSS 所以322nnnSSS，其特征方程为3221，所以特征根为1512,故可设11151522nnnSxyz 而123124,SSS，所以 11151552522553122555553535422,xyzxyzxyzxyzxyzxyzxyz 所以2211511512255nnnS 2由于212

48、11166699nnnnnnnnnaaaSSSSSS-.z.所以3217159nnnnSSSS，其特征方程为327159，所以特征根为1 3 3,故可设13()nnSxynz 而12311376,SSS，所以 17921631342427976,xyzxyzxyzxyz 所以767344nnnS 5.3 两类特殊的循环数列 习题 5.3 1写出以下数列的循环公式 12nnan 2213nnan 3233cossinnnna 431()nnna 解：1数列的特征根为2 11,，所以特征方程为2210()()即32452 所以循环公式为321452nnnnaaaa 2数列的特征根为3 3 3,，所

49、以特征方程为330()即32331 所以循环公式为32133nnnnaaaa 3数列的特征根为132i，所以特征方程为1313022()()ii 即21 所以循环公式为21nnnaaa 4数列的特征根为31,，所以特征方程为310()()即223-.z.所以循环公式为2123nnnaaa 2求以下数列的通项公式 11112nnnaaan 211123nnaaa 31112nnaaan 411123nnnaaa 解：1因为：12nnnaan 所以121122112222(),(),nnnnnnaanaanaa 所以12112222()()nnnaann 即1211 1 22 212()nnan

50、记1211 22 212()nnSn，则23121 22 22212()()nnnSnn 两式相减：121222122212222()()()nnnnnnSnnn 所以222()nnSn 所以223()nnan 2设12()nnaxax，复原得12nnaax，所以3x 即11113233322()()nnnnnaaaa 所以123nna 3因为12nnaan，所以设112()()nnax nyaxny 复原得12nnaaxnyx，所以101,xyxxy 即11112211223 2()()nnnnnananana 所以13 21nnan 4因为123nnnaa，所以设11323()nnnnax