高中数学解析几何专题精编版11684.pdf

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1、-高中解析几何专题精编版 1.*文设椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为 F1，F2。点(,)P a b满足212|.PFF F 求椭圆的离心率e；设 直 线 PF2与 椭 圆 相 交 于 A，B 两 点，假 设 直 线 PF2与 圆22(1)(3)16xy相交于M，N 两点，且5|8MNAB，求椭圆的方程。【解析】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等根底知识，考察用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考察解决问题能力与运算能力，总分值 13 分。解：设12(,0),(,0)(0)FcF cc，

2、因为212|PFF F，所以22()2acbc，整理得2210,1cccaaa 得舍 或11,.22cea所以 解：由知2,3ac bc，可得椭圆方程为2223412xyc，直线FF2的方程为3().yxc A，B 两 点 的 坐 标 满足 方 程 组2223412,3().xycyxc消去y并整 理，得2580 xcx。解得1280,5xxc，得方程组的解21128,0,53,3 3.5xcxycyc 不妨设83 3,55Acc，(0,3)Bc，所以2283 316|3.555ABcccc 于是5|2.8MNABc 圆心1,3到直线 PF2的距离|333|3|2|.22ccd 因为222|4

3、2MNd，所以223(2)16.4cc 整理得2712520cc，得267c 舍，或2.c -所以椭圆方程为221.1612xy 2.椭圆2222:1(0)xyGabab的离心率为63，右焦点为2 2,0，斜率为 I的直线l与椭圆 G 交与 A、B 两点，以 AB 为底边作等腰三角形，顶点为 P-3,2.I求椭圆G的方程；II求PAB的面积.【解析】解：由得62 2,.3cca 解得2 3.a 又2224.bac 所以椭圆 G 的方程为221.124xy 设直线l的方程为.mxy 由141222yxmxy得 设 A、B 的坐标分别为),)(,(),(212211xxyxyxAB 中点为 E),

4、(00yx，则,432210mxxx 因为 AB 是等腰PAB 的底边，所以 PEAB.所以 PE 的斜率.143342mmk 解得 m=2。此时方程为.01242xx 解得.0,321xx 所以.2,121yy 所以|AB|=23.此时，点 P 3，2 到直线 AB：02 yx的距离,2232|223|d 所以PAB 的面积 S=.29|21dAB 3.(全国大纲文)O 为坐标原点，F 为椭圆22:12yC x 在y 轴正半轴上的焦点，过 F 且斜率为-2的直线l与-C 交与 A、B 两点，点 P 满足0.OAOBOP 证明：点 P 在 C 上；II设点 P 关于 O 的对称点为 Q，证明：

5、A、P、B、Q 四点在同一圆上。【解析】22解：IF0，1，l的方程为21yx，代入2212yx 并化简得 242 210.xx 2 分 设112233(,),(,),(,),A x yB xyP xy 则122626,44xx 由题意得3123122(),()1.2xxxyyy 所以点 P 的坐标为2(,1).2 经历证，点 P 的坐标为2(,1)2满足方程 221,2yx 故点 P 在椭圆 C 上。II由2(,1)2P 和题设知，2(,1)2Q PQ 的垂直一局部线1l的方程为 2.2yx 设 AB 的中点为 M，则2 1(,)42M，AB 的垂直平分线为2l的方程为 21.24yx 由、

6、得12,l l的交点为2 1(,)88N 故|NP|=|NA|。又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|，所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，由此知 A、P、B、Q 四点在以 N 为圆心，NA 为半径的圆上。4.全国新文在平面直角坐标系*Oy 中，曲线261yxx与坐标轴的交点都在圆 C 上 I求圆 C 的方程；II假设圆 C 与直线0 xya交于 A，B 两点，且,OAOB求 a 的值【解析】解：曲线162xxy与 y 轴的交点为0，1，与*轴的交点为).0,223(),0,223-故可设 C 的圆心为3，t，则有,)22()1(32222tt解得 t=1.则圆 C 的半径为.3)1

7、(322 t 所以圆 C 的方程为.9)1()3(22yx 设 A11,yx，B22,yx，其坐标满足方程组：消去 y，得到方程 由可得，判别式.0416562aa 因此，,441656)28(22,1aaax从而 2120,422121aaxxaxx 由于 OAOB，可得,02121yyxx 又,2211axyaxy所以.0)(222121axxaxx 由，得1a，满足,0故.1a 5.文如图，椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在*轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线lMN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D I设1

8、2e，求BC与AD的比值；II当e变化时，是否存在直线l，使得BOAN，并说明理由 【解析】解：I因为 C1，C2的离心率一样，故依题意可设 设直线:(|)l xtta，分别与 C1，C2的方程联立，求得 2222(,),(,).abA tatB tatba 4 分 当13,22ABebayy时分别用表示 A，B 的纵坐标，可知 222|3|:|.2|4BAybBCADya 6 分 IIt=0 时的l不符合题意.0t 时，BO/AN 当且仅当 BO 的斜率kBO与 AN的斜率kAN相等，即-解得222221.abetaabe 因为2212|,01,1,1.2etaeee又所以解得 所以当202

9、e时，不存在直线l，使得 BO/AN；当212e时，存在直线l使得 BO/AN.12分 6.文过抛物线()ypx p 的焦点，斜率为 的直线交抛物线于(,)A x y和(,)()B xyxx两点，且AB,1求该抛物线的方程；2O为坐标原点，C为抛物线上一点，假设OBOAOC，求的值【解析】19 本小题总分值 12 分 1直线 AB 的方程是2 2()2pyx，与22ypx联立，从而有22450,xpxp 所以：1254pxx 由抛物线定义得：12|9,ABxxp 所以 p=4，从而抛物线方程是28.yx 2由224,450pxpxp可简化为 从而(1,2 2),(4,4 2)AB 设33(,)

10、(1 2 2)(4,4 2)(41,4 22 2)OCx y 又22338,2 2(21)8(41),yx即 即2(21)41 解得0,2.或 7.文22 本小题总分值 14 分 在平面直角坐标系xOy中，椭圆22:13xCy如下图，斜率为(0)k k且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线3x 于点(3,)Dm 求22mk的最小值；假设2OGODOE，i求证：直线l过定点；ii试问点B，G能否关于x轴对称？假设能，求出此时ABG的外接圆方程；假设不能，请说明理由 【解 析】22 I 解：设 直 线(0)lykxt k的方程为，-由题意，0.t

11、 由方程组22,1,3ykxtxy得 222(31)6330kxktxt，由题意0，所以2231.kt 设1122(,),(,)A x yB xy，由韦达定理得1226,31ktxxk 所以1222.31tyyk 由于 E 为线段 AB 的中点，因此223,3131EEkttxykk 此时1.3EOEEykxk 所以 OE 所在直线方程为1,3yxk 又由题设知 D-3，m，令*=-3，得1mk，即 mk=1，所以2222,mkmk当且仅当 m=k=1 时上式等号成立，此时由0 得02,t 因此当102mkt 且时，22mk取最小值 2。II i由I知 OD 所在直线的方程为1,3yxk 将其

12、代入椭圆 C 的方程，并由0,k 解得2231(,)3131kGkk，又2231(,),(3,)31 31ktEDkkk，由距离公式及0t 得 由2|,OGODOEtk得 因此，直线l的方程为(1).yk x 所以，直线(1,0).l恒过定点 ii由i得2231(,)3131kGkk 假设 B，G 关于*轴对称，则2231(,).3131kBkk 代入22(1)3131,yk xkkk 整理得 即426710kk，解得216k 舍去或21,k 所以 k=1，此时313 1(,),(,)222 2BG关于*轴对称。-又由I得110,1,xy所以 A0，1。由于ABG的外接圆的圆心在*轴上，可设A

13、BG的外接圆的圆心为d，0，因此223111(),242ddd 解得 故ABG的外接圆的半径为2512rd，所以ABG的外接圆方程为2215().24xy 8.文17 本小题总分值 12 分 设椭圆 C:222210 xyabab过点0，4，离心率为35 求 C 的方程；求过点 3，0且斜率为45的直线被 C 所截线段的中点坐标。【解析】17解将 0，4代入 C 的方程得2161bb=4 又35cea得222925aba 即2169125a，a=5 C 的方程为2212516xy 过点3,0且斜率为45的直线方程为435yx，设直线与的交点为11,x y，22,xy，将直线方程435yx代入的

14、方程，得 22312525xx，即2380 xx，解得 13412x，23412x，AB 的中点坐标12322xxx，1212266255yyyxx，即中点为36,25。注：用韦达定理正确求得结果，同样给分。9.文22 16 分椭圆222:1xCym常数1m ，点P是C上的动点，M是右顶点，定点A的坐标为(2,0)。-1假设M与A重合，求C的焦点坐标；2假设3m，求|PA的最大值与最小值；3假设|PA的最小值为|MA，求m的取值围。【解析】22解：2m，椭圆方程为2214xy，4 13c 左右焦点坐标为(3,0),(3,0)。3m，椭圆方程为2219xy，设(,)P x y，则 94x 时mi

15、n2|2PA；3x 时max|5PA。设动点(,)P x y，则 当xm时，|PA取最小值，且2210mm，2221mmm且1m 解得112m。10.文21 本小题共 l2 分 过点C(0，1)的椭圆22221(0)xyabab的离心率为32，椭圆与*轴交于两点(,0)A a、(,0)Aa，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与*轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q I当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；当点P异于点B时，求证：OP OQ为定值 本小题主要考察直线、椭圆的标准方程及根本性质等根本知识，考察平面解析几何的思想方法及推理运算能力 解：由得31,2cba，解得2a，所以椭圆方程

16、为2214xy 椭圆的右焦点为(3,0)，此时直线l的方程为313yx，代入椭圆方程得 278 30 xx，解得128 30,7xx，代入直线l的方程得1211,7yy，所以8 31(,)77D，故228 3116|(0)(1)777CD 当直线l与x轴垂直时与题意不符 设直线l的方程为11(0)2ykxkk且代入椭圆方程得22(41)80kxkx 解得12280,41kxxk，代入直线l的方程得2122141,41kyyk，所以D点的坐标为222814(,)41 41kkkk 又直线AC的方程为12xy，又直线BD的方程为12(2)24kyxk，联立得-4,21.xkyk 因此(4,21)Q

17、kk，又1(,0)Pk 所以1(,0)(4,21)4OP OQkkk 故OP OQ为定值 11.文 22 本小题总分值 15 分如图，设 P 是抛物线1C：2xy上的动点。过点P做圆2C1)3(:22 yx的两条切线，交直线l：3y 于,A B两点。求2C的圆心M到抛物线 1C准线的距离。是否存在点P，使线段AB被抛物线1C在点P处得切线平分，假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由。【解析】22此题主要考察抛物线几何性质，直线与抛物线、直线与圆的位置关系，同时考察解析几何的根本思想方法和运算求解能力。总分值 15 分。解：因为抛物线 C1的准线方程为：14y 所以圆心 M 到抛物线

18、C1准线的距离为：111|(3)|.44 解：设点 P 的坐标为200(,)xx，抛物线 C1在点 P 处的切线交直线l于点D。再设 A，B，D 的横坐标分别为,ABCxxx 过点200(,)P xx的抛物线 C1的切线方程为：20002()yxxxx 1 当01x 时，过点 P1，1与圆 C2的切线 PA 为：151(1)8yx 可得17,1,1,215ABDABDxxxxxx 当10 x时，过点 P1，1与圆 C2的切线 PA 为：151(1)8yx 可得DBADBAxxxxxx2,1,1517,1 所以2010 x 设切线 PA，PB 的斜率为12,k k，则 2010:()PA yxk

19、 xx 2 2020:()PByxkxx 3 将3y 分别代入1，2，3得 从而20012112(3)().ABxxxxkk-又201021|3|11x kxk 即22222010010(1)2(3)(3)10 xkxx kx 同理，22222020020(1)2(3)(3)10 xkxx kx 所以12,k k是方程222220000(1)2(3)(3)10 xkxx kx的两个不相等的根，从而222000121222002(3)(3)1,.11xxxkkkkxx 因为02xxxBA 所以220001201203111112(3)(),.xxxkkxkkx即 从而20022002(3)1(3

20、)1xxxx 进而得44008,8xx 综上所述，存在点 P 满足题意，点 P 的坐标为4(8,2 2).12.文21 本小题总分值12 分。小问4 分，小问8 分 如题21图，椭圆的中心为原点 0，离心率 e=22，一条准线的方程是2 2x 求该椭圆的标准方程；设动点 P 满足：2OPOMON，其中 M、N 是椭圆上的点，直线 OM 与 ON 的斜率之积为12，问：是否存在定点 F，使得PF与点 P 到直线l：2 10 x 的距离之比为定值；假设存在，求 F 的坐标，假设不存在，说明理由。【解析】21 此题 12 分 解：I由22,2 2,2caeac 解得2222,2,2acbac，故椭圆

21、的标准方程为 II设1122(,),(,),(,)P x y M x yN xy，则由 2OPOMON得 因为点 M，N 在椭圆2224xy上，所以 2222112224,24xyxy，故222222121212122(44)2(44)xyxxx xyyy y 设,OMONkk分别为直线 OM，ON 的斜率，由题设条件知 12121,2OMONy ykkx x 因此121220,x xy y-所以22220.xy 所以 P 点是椭圆22221(2 5)(10)xy上的点，该椭圆的右焦点为(10,0)F，离心率2,:2 102el x直线是该椭圆的右准线，故根据椭圆的第二定义，存在定点(10,0

22、)F，使得|PF|与 P 点到直线l的距离之比为定值。13.文 17 本小题总分值13分 设直线.02,1:,1:21212211kkkkxkylxkyl满足其中实数 I证明1l与2l相交；II证明1l与2l的交点在椭圆222x+y=1上.【解析】17 本小题总分值 13 分此题考察直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在曲线上的判断与证明，椭圆方程等根本知识，考察推理论证能力和运算求解能力.证明：I 反证法，假设是l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1=k2，代入 k1k2+2=0，得 此与 k1为实数的事实相矛盾.从而2121,llkk与即相交.II 方法一由方程组1121xk

23、yxky 解得交点P的坐标),(yx为.,2121212kkkkykkx 而.144228)()2(22222122212121222121222121221222kkkkkkkkkkkkkkkkkkyx 此即说明交点.12),(22上在椭圆 yxyxP 方法二交点P的坐标),(yx满足 整理后，得,1222 yx 所以交点P在椭圆.1222上 yx 14.文18 本小题总分值 12 分 如图，直线 l：y=*+b 与抛物线 C：*2=4y 相切于点 A。I数 b 的值；11求以点 A 为圆心，且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程。【解析】18本小题主要考察直线、圆、抛物线等根底知识，考察运算

24、求解能力，考察函数与方程思想、数形结合思想，总分值12 分。-解：I由22,4404yxbxxbxy得，*因为直线l与抛物线 C 相切，所以2(4)4(4)0,b 解得 b=-1。II由I可知21,(*)440bxx 故方程即为，解得*=2，代入24,1.xyy得 故点 A2，1，因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切，所以圆 A 的半径 r 等于圆心 A 到抛物线的准线 y=-1 的距离，即|1(1)|2,r 所以圆 A 的方程为22(2)(1)4.xy 15.文21 本小题总分值 14 分 平面与两定点1,0Aa、2,0A a0a 连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上A、A2两点所

25、成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线。求曲线 C 的方程，并讨论 C 的形状与 m 值的关系；当1m 时，对应的曲线为1C；对给定的),0()0,1(m，对应的曲线为2C，设1F、2F是2C的两个焦点。试问：在1C上，是否存在点N，使得1FN2F的面积2|Sm a。假设存在，求tan1FN2F的值；假设不存在，请说明理由。【解析】21本小题主要考察曲线与方程、圆锥曲线等根底知识，同时考察推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。总分值 14 分 解：I设动点为 M，其坐标为(,)x y，当xa 时，由条件可得12222,MAMAyyykkmxa xaxa 即222()mxymaxa，又12

26、(,0),(,0)AaA A的坐标满足222,mxyma 故依题意，曲线 C 的方程为222.mxyma 当1,m 时曲线 C 的方程为22221,xyCama是焦点在 y 轴上的椭圆；当1m 时，曲线 C 的方程为222xya，C 是圆心在原点的圆；当10m 时，曲线 C 的方程为22221xyama，C 是焦点在*轴上的椭圆；当0m 时，曲线 C 的方程为22221,xyamaC 是焦点在*轴上的双曲线。II由I知，当 m=-1 时，C1的方程为222;xya 当(1,0)(0,)m 时，-C2的两个焦点分别为12(1,0),(1,0).FamF am 对于给定的(1,0)(0,)m，C1

27、上存在点000(,)(0)N xyy 使得2|Sm a的充要条件是 22200020,0,121|.2xyayam ym a 由得00|,ya由得0|.1m aym 当|150,0,21m aamm即 或1502m时，存在点 N，使 S=|m|a2；当|15,21m aam即-1m0，求证：PAPB【解析】18本小题主要考察椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等根底知识，考察运算求解能力和推理论证能力，总分值 16 分.解：1由题设知，),2,0(),0,2(,2,2NMba故所以线段 MN 中点的坐标为)22,1(，由于直线 PA 平分线段 MN，故直线 PA

28、过线段MN 的中点，又直线 PA 过坐标原点，所以.22122k 2直线 PA 的方程2221,42xyyx代入椭圆方程得 解得).34,32(),34,32(,32APx因此 于是),0,32(C直线 AC 的斜率为.032,13232340yxAB的方程为故直线 3解法一：将直线PA的方程kxy 代入2222221,421212xyxkk 解得记 则)0,(),(),(CkAkP于是 故直线 AB 的斜率为,20kk 其方程为,0)23(2)2(),(222222kxkxkxky代入椭圆方程得-解得223222(32)(32)(,)222kkkxxBkkk 或因此.于是直线 PB 的斜率.1)2(23)2(2)23(2222322231kkkkkkkkkkkk 因此.,11PBPAkk所以 解法二：设)0,(),(,0,0),(),(11121212211xCyxAxxxxyxByxP则.设直线 PB，AB 的斜率分别为21,kk因为 C 在直线 AB 上，所以.22)()(0111112kxyxxyk 从而 因此.,11PBPAkk所以.z*s*.