概率论与数理统计作业及解答26862.pdf

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1、概率论与数理统计作业及解答 第一次作业 1.甲 乙 丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹 设事件A B C分别表示甲 乙 丙击中目标 则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示.事件E事件,A B C最多有一个发生,则E的表示为;EABCABCABCABC或;ABACBC或;ABACBC 或;ABACBC或().ABCABCABCABC(和AB即并AB,当,A B互斥即AB时AB常记为AB)2.设M件产品中含m件次品 计算从中任取两件至少有一件次品的概率.221MmMCC或1122(21)(1)mM mmMC CCmMmM MC 3.从 8 双不同尺码鞋子中随机取 6 只 计算以下事件的概率.A8 只鞋

2、子均不成双,B恰有 2 只鞋子成双,C恰有 4 只鞋子成双.4.设某批产品共 50 件 其中有 5 件次品 现从中任取 3 件 求 (1)其中无次品的概率(2)其中恰有一件次品的概率 (1)34535014190.724.1960CC(2)21455350990.2526.392C CC 5.从 19 九个数字中 任取 3 个排成一个三位数 求 (1)所得三位数为偶数的概率 (2)所得三位数为奇数的概率 (1)P三位数为偶数P尾数为偶数4,9(2)P三位数为奇数P尾数为奇数5,9 或P三位数为奇数1P 三位数为偶数451.99 6.某办公室10名员工编号从1到10任选3人记录其号码求(1)最小

3、号码为5的概率(2)最大号码为5的概率 记事件A最小号码为5,B最大号码为5.(1)253101();12CP AC(2)243101().20CP BC 7.袋中有红、黄、白色球各一个每次从袋中任取一球记下颜色后放回共取球三次 求下列事件的概率:A=全红B=颜色全同C=颜色全不同D=颜色不全同E=无黄色球F=无红色且无黄色球 G=全红或全黄.某班n个男生m个女生(mn1)随机排成一列 计算任意两女生均不相邻的概率.在0 1线段上任取两点将线段截成三段 计算三段可组成三角形的概率.第二次作业 1.设A B为随机事件 P(A)P(B)(|)0.85P B A 求(1)(|)P A B(2)()P

4、 A B (1)()()0.85(|),()0.85 0.080.068,()1 0.92P ABP ABP B AP ABP A(2)()()()()P ABP AP BP AB0.920.930.8620.988.2.投两颗骰子已知两颗骰子点数之和为 7 求其中有一颗为 1 点的概率.记事件A(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),B(1,6),(6,1).在 12000 中任取一整数 求取到的整数既不能被 5 除尽又不能被 7 除尽的概率 记事件A能被 5 除尽,B能被 7 除尽.4001(),20005P A 取整2000285,728557(),200

5、0400P B 200057,5 757(),2000P AB 3.由长期统计资料得知 某一地区在 4 月份下雨(记作事件A)的概率为 4/15 刮风(用B表示)的概率为 7/15 既刮风又下雨的概率为 1/10 求P(A|B)、P(B|A)、P(AB)4 设某光学仪器厂制造的透镜第一次落下时摔破的概率是1/2 若第一次落下未摔破第二次落下时摔破的概率是 7/10 若前二次落下未摔破第三次落下时摔破的概率是 9/10 试求落下三次而未摔破的概率 记事件iA=第i次落下时摔破1,2,3.i 5 设在n张彩票中有一张奖券有3 个人参加抽奖分别求出第一、二、三个人摸到奖券概率 记事件iA=第i个人摸

6、到奖券1,2,3.i 由古典概率直接得1231()()().P AP AP An 或2121211 11()()()(|),1nP AP A AP A P AAnnn 或 第一个人中奖概率为11(),P An 前两人中奖概率为12122()()(),P AAP AP An解得21(),P An 前三人中奖概率为1231233()()()(),P AAAP AP AP An解得31().P An 6 甲、乙两人射击 甲击中的概率为 08 乙击中的概率为 07 两人同时射击 假定中靶与否是独立的求(1)两人都中靶的概率(2)甲中乙不中的概率(3)甲不中乙中的概率 记事件A=甲中靶B=乙中靶.(1)

7、()()()0.70.70.56,P ABP A P B(2)()()()0.80.560.24,P ABP AP AB(3)()()()0.70.560.14.P ABP BP AB 7 袋中有a个红球 b个黑球 有放回从袋中摸球 计算以下事件的概率 (1)A在n次摸球中有k次摸到红球 (2)B第k次首次摸到红球 (3)C第r次摸到红球时恰好摸了k次球 (1)();()kn kkn kkknnnaba bP ACCababab (2)11();()kkkbaabP Bababab(3)1111().()rk rrk rrrkkkaba bP CCCababab 8 一射手对一目标独立地射击

8、4 次 已知他至少命中一次的概率为80.81求该射手射击一次命中目标的概率 设射击一次命中目标的概率为,1.p qp 4801121,1.818133qqpq 9 设某种高射炮命中目标的概率为 问至少需要多少门此种高射炮进行射击才能以的概率命中目标 (10.6)1 0.99,n 0.40.01,n由50.40.01024,60.40.01,得6.n .证明一般加法(容斥)公式 证明 只需证分块111,kknkiiiiiiAA AAAA只计算 1次概率(1,nii是1,n的一个排列1,2,.kn)分块概率重数为 1,kiiAA中任取 1 个任取 2 个1(1)k 任取k个即 将,互换可得对偶加法

9、(容斥)公式.证明 若A B独立 A C独立 则A BC独立的充要条件是A BC独立.证明 充分性:()()()()()(),P A BCP A P BP A P CP ABC代入()()()P ABCP A P BC()()()()P A P BP CP BC()(),P A P BC 即,A BC独立.必要性:()()(),P ABCP A P BC即,A BC独立.证明：若三个事件A、B、C独立，则AB、AB及AB都与C独立 证明 因为 所以AB、AB及AB都与C独立.第三次作业 1 在做一道有 4 个答案的选择题时 如果学生不知道问题的正确答案时就作随机猜测 设他知道问题的正确答案的概

10、率为p 分别就p和p两种情形求下列事件概率 (1)学生答对该选择题(2)已知学生答对了选择题求学生确实知道正确答案的概率 记事件A=知道问题正确答案 B=答对选择题.(1)由全概率公式得()()(|)()(|)P BP A P B AP A P B A113,444ppp 当0.6p 时1313 0.67()0.7,444410pP B 当0.3p 时1313 0.319()0.475.444440pP B(2)由贝叶斯公式得()4(|),13()1 344P ABppP A BpP Bp 当0.6p 时44 0.66(|),1 31 3 0.67pP A Bp 当0.3p 时44 0.312

11、(|).1 31 3 0.319pP A Bp 2 某单位同时装有两种报警系统A与B 当报警系统A单独使用时 其有效的概率为 当报警系统B单独使用时 其有效的概率为.在报警系统A有效的条件下 报警系统B有效的概率为.计算以下概率(1)两种报警系统都有效的概率(2)在报警系统B有效的条件下 报警系统A有效的概率(3)两种报警系统都失灵的概率.(1)()()(|)0.70.840.588,P ABP A P B A (2)()0.588(|)0.735,()0.8P ABP A BP B(3)()()1()1()()()P ABP ABP ABP AP BP AB .为防止意外 在矿内同时设有两种

12、报警系统A与B 每种系统单独使用时 其有效的概率系统A为 0 92 系统B为 在A失灵的条件下 B有效的概率为 求:(1)发生意外时 两个报警系统至少有一个有效的概率(2)B失灵的条件下 A有效的概率 3 设有甲、乙两袋 甲袋中有n只白球 m只红球 乙袋中有N只白球 M只红球 从甲袋中任取一球放入乙袋 在从乙袋中任取一球 问取到白球的概率是多少 记事件A=从甲袋中取到白球B=从乙袋中取到白球.由全概率公式得.设有五个袋子 其中两个袋子 每袋有2个白球 3个黑球 另外两个袋子 每袋有 1 个白球 4 个黑球 还有一个袋子有 4 个白球 1 个黑球(1)从五个袋子中任挑一袋 并从这袋中任取一球 求

13、此球为白球的概率(2)从不同的三个袋中任挑一袋 并由其中任取一球 结果是白球 问这球分别由三个不同的袋子中取出的概率各是多少 4 发报台分别以概率 06 和 04 发出信号“”及“”由于通信系统受到于扰 当发出信号“”时 收报台分别以概率 08 及 02 收到信息“”及“”又当发出信号“”时 收报台分别以概率 09 及 0?l 收到信号“”及“”求:(1)收报台收到“”的概率(2)收报台收到“”的概率(3)当收报台收到“”时 发报台确系发出信号“”的概率(4)收到“”时 确系发出“”的概率 记事件B=收到信号“”1A=发出信号“”2A=发出信号“”.(1)|()()|()()(2211ABPA

14、PABPAPBP;52.01.04.0)2.01(6.0 (2)()1()10.520.48;P BP B (3)1111()()(|)(|)()()P ABP A P B AP ABP BP B0.6 0.8120.923;0.5213(4)2222()()(|)(|)()()P A BP A P B AP ABP BP B0.4 0.930.75.0.484 5 对以往数据分析结果表明 当机器调整良好时 产品合格率为 90%而机器发生某一故障时 产品合格率为 30%每天早上机器开动时 机器调整良好的概率为75%(1)求机器产品合格率 (2)已知某日早上第一件产品是合格品 求机器调整良好的概

15、率 记事件B=产品合格A=机器调整良好.(1)由全概率公式得(2)由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()P ABP A P B AP A BP BP B0.75 0.90.9.0.75.系统(A)(B)(C)图如下 系统(A)(B)由 4 个元件组成 系统(C)由 5 个元件组成 每个元件的可靠性为p 即元件正常工作的概率为p 试求整个系统的可靠性.(A)(B)(C)记事件A=元件 5 正常B=系统正常.(A)222(|)(1(1)(1)(44),P B Appppp(B)2222(|)1(1)(1)(2),P B Apppp (C)由全概率公式得 第四次作业 1 在15个同型零件中有2个

16、次品 从中任取3个 以X表示取出的次品的个数 求X的分布律.0 1 2 22/35 12/35 1/35.经销一批水果 第一天售出的概率是 每公斤获利 8 元 第二天售出的概率是 每公斤获利 5 元 第三天售出的概率是 每公斤亏损 3 元 求经销这批水果每公斤赢利X的概率分布律和分布函数 5 8 2 抛掷一枚不均匀的硬币 每次出现正面的概率为 2/3 连续抛掷 8 次 以X表示出现正面的次数 求X的分布律.3 一射击运动员的击中靶心的命中率为 以X表示他首次击中靶心时累计已射击的次数 写出X的分布律 并计算X取偶数的概率 解得0.6513()=0.394.110.6533qP Xq偶 4 一商

17、业大厅里装有 4 个同类型的银行刷卡机 调查表明在任一时刻每个刷卡机使用的概率为求在同一时刻(1)恰有 2 个刷卡机被使用的概率(2)至少有 3 个刷卡机被使用的概率(3)至多有 3 个刷卡机被使用的概率(4)至少有一个刷卡机被使用的概率 在同一时刻刷卡机被使用的个数(4,0.1).XB np(1)2224(2)0.10.90.00486,P XC(2)3344(3)(3)(4)0.10.90.10.0037,P XP XP XC(3)4(3)1(4)1 0.10.9999,P XP X (4)4(1)1(0)10.910.65610.3439.P XP X 5 某汽车从起点驶出时有 40 名

18、乘客 设沿途共有 4 个停靠站 且该车只下不上 每个乘客在每个站下车的概率相等 并且相互独立 试求(1)全在终点站下车的概率(2)至少有 2 个乘客在终点站下车的概率(3)该车驶过 2 个停靠站后乘客人数降为 20 的概率 记 事 件A=任 一 乘 客 在 终 点 站 下 车 乘 客 在 终 点 站 下 车 人 数(40,1/4).XB np(1)40231(40)8.2718 10,4P X(2)403940140313433(2)1(0)(1)1144434P XP XP XC (3)记 事 件B=任 一 乘 客 在 后 两 站 下 车 乘 客 在 后 两 站 下 车 人 数(40,1/2

19、).YB np 2020202040404011(20)0.1268.222CP YC(精确值)应用斯特林公式!2,nnnne 其中3.1415926536,1.7724538509.参贝努利分布的正态近似 6 已知瓷器在运输过程中受损的概率是 有 2000 件瓷器运到 求(1)恰有 2 个受损的概率(2)小于 2 个受损的概率(3)多于 2 个受损的概率(4)至少有 1 个受损的概率 受损瓷器件数(2000,0.002),XB np近似为泊松分布(4).Pnp(1)2441480.146525,2!Pee(2)4424150.0915782,1!Pee(3)431211 130.761897

20、,PPPe (4)4410.981684.Pe 7 某产品表面上疵点的个数X服从参数为的泊松分布 规定表面上疵点的个数不超过 2 个为合格品 求产品的合格品率 产品合格品率21.21.21.21.212.920.879487.1!2!Pee 8 设随机变量X的分布律是 5 8 求X的分布函数 以及概率(36),(1),(5),(|5).PXP XP XPX 随机变量X的分布函数为 第五次作业 1 学生完成一道作业的时间X是一个随机变量(单位 小时)其密度函数是 试求(1)系数k(2)X的分布函数(3)在 15 分钟内完成一道作业的概率(4)在10 到 20 分钟之间完成一道作业的概率 (1)0

21、.50.523200111(0.5),21,32248kkFkxxdxxxk(2)23200,01()()217,00.5,2(0.5)1,0.5.xxF xP XxxxdxxxxFx(3)3220111 19()2170.140625,442 464xFP Xxxxdx(4)3212316111111 129217.633642 4108PXFFxxdx 2 设连续型随机变量X服从区间a a(a0)上的均匀分布 且已知概率1(1)3P X 求(1)常数a(2)概率1()3P X (1)1111(1),3,223aaP Xdxaaa(2)13311115()3.36639P Xdx 3 设某元

22、件的寿命X服从参数为 的指数分布 且已知概率P(X50)e4 试求(1)参数 的值(2)概率P(25X100)补分布()()|,0.xxxxxS xP Xxedxeex (1)504502(50)(50),0.08,25xSP Xedxee(2)由()(),0,rxrS rxeSx r x取50,x 依次令1,2,2r 得 其中2.7182818284.e 4 某种型号灯泡的使用寿命X(小时)服从参数为1800的指数分布 求(1)任取 1只灯泡使用时间超过1200小时的概率(2)任取3只灯泡各使用时间都超过1200小时的概率 (1)1312008002(1200)0.2231301602,P

23、Xee 此处1.6487212707001.e (2)932(1200)0.0111089965.PXe 5 设XN(0 1)求 P(X061)P(262X125)P(X134)P(|X|213)(1)(0.61)(0.61)0.72907,P X (2)(2.621.25)(1.25)(2.62)(1.25)(2.62)1PX (3)(1.34)1(1.34)1 0.909880.09012,P X (4)(|2.13)22(2.13)22 0.983410.03318.PX 6 飞机从甲地飞到乙地的飞行时间XN(4 19)设飞机上午 10 10 从甲地起飞 求(1)飞机下午 2 30 以后

24、到达乙地的概率(2)飞机下午 2 10 以前到达乙地的概率(3)飞机在下午 1 40 至 2 20 之间到达乙地的概率 (1)131331/34111(1)1 0.841340.15866,331/3P XP X (2)(4)(0)0.5,P X (3)72525/647/24261/31/3PX 7 设某校高三女学生的身高XN(162 25)求(1)从中任取 1 个女学生 求其身高超过 165 的概率(2)从中任取 1 个女学生 求其身高与 162 的差的绝对值小于5 的概率(3)从中任取 6 个女学生 求其中至少有 2 个身高超过 165 的概率 (1)162165 162(165)0.6

25、1(0.6)1 0.72580.2742,55XP XP (2)162(|162|5)12(1)12 0.8413410.6827,5XPXP (3)记事件A=任一女生身高超过 165()(165)0.2742,pP AP X 随机变量Y贝努利分布(6,0.2742),B np 第六次作业 1.设随机变量X的分布律为(1)求Y|X|的分布律(2)求YX2X的分布律 (1)0 1 2 X 2 1 0 1 pk 1/6 1/3 1/2(2)0 2 2/12 7/12.定理（连续型随机变量函数的密度公式）设连续型变量X密度为()Xfx,()yg x严格单调,反函数()xx y导数连续,则()Yg X

26、是连续型变量,密度为 证明 1)若()0,xx y()(),Yyg Xg xXx 两边对y求导,2)若()0,xx y()(),Yyg Xg xXx 两边对y求导,因此总有()()|()|,.YXfyfx yx yy 或证明 两边对y求导,或两边微分 2 设随机变量X的密度函数是fX(x)求下列随机变量函数的密度函数 (1)Ytan X (2)1YX (3)Y|X|(1)反函数()arctan,x yy21(),1x yy由连续型随机变量函数的密度公式得 或 反函数支()arctan,ix yiy i为整数，21(),1ix yy(2)1,XY反函数1,yxy211()()().YXyyXfy

27、fx xfyy(3)()()(|)()()()YXXFyP YyPXyPyXyFyFy 两边对y求导得Y的密度函数为()()(),0.YXXfyfyfyy 3 设随机变量XU2 2 求Y4X21 的密度函数 两边对y求导得随机变量Y的密度为 或解 反函数支1211()1,()1,22x yyx yy 4 设随机变量X服从参数为 1 的指数分布 求YX2的密度函数(Weibull分布)当0y 时,2YX的分布()0YFy,当0y 时,两边对y求导得 或 反函数,yxy1()(),0.2yYXyyfyfx xeyy 5 设随机变量XN(0 1)求(1)Ye X的密度函数(2)YX2的密度函数(Ga

28、mma分布)(1)当0y 时,eXY 的分布()0YFy,当0y 时,因而Y的密度为 或 反函数ln,XYln,yxy1()()(ln)Yyyfyx xyy2(ln)1exp,0.22yyy(2)当0y 时,()0YFy;当0Y 时,2()()()()()()YXXFyP YyP XyPyXyFyFy 两边对y求导得Y的密度函数为21,0,()20,0.yYeyfyyy 或 反函数支12(),(),x yy x yy 6 设随机变量X的密度函数是21,1()0,1Xxfxxx 求YlnX的概率密度 反函数,yyxe()()(),0.yyyYXyyXfyfx xfe eey 第七次作业.将 8

29、个球随机地丢入编号为 1 2 3 4 5 的五个盒子中去 设X为落入 1 号盒的球的个数 Y为落入 2 号盒的球的个数 试求X和Y的联合分布律 1 袋中装有标上号码 1 2 2 的 3 个球 从中任取一个并且不再放回 然后再从袋中任取一球 以X Y分别记第一、二次取到球上的号码数 求(1)(X Y)的联合分布律(设袋中各球被取机会相等)(2)X Y的边缘分布律(3)X与Y是否独立(1)(X Y)的联合分布律为(2)X Y的分布律相同12(1),(2).33P XP X(3)X与Y不独立 2 设二维连续型变量(,)X Y的联合分布函数35(1)(1),0,(,)0,.xyeex yF x y其它

30、 求(,)X Y联合密度 3 设二维随机变量(X Y)服从D上的均匀分布 其中D是抛物线yx2和xy2所围成的区域 试求它的联合密度函数和边缘分布密度函数 并判断YX,是否独立 分布区域面积21311232000211,333xxSdydxxx dxxx 联合密度213,1,(,)0,.xyxf x yS其它 边缘X的密度为22()33(),01,xXxfxdyxxx 边缘Y的密度为22()33(),01.yYyfydyyyy(,)()(),XYf x yfxfy因此X与Y不独立.或(,)f x y非零密度分布范围不是定义在矩形区域上,因此X与Y不独立.4.设二维离散型变量),(YX联合分布列

31、是 Y X 3 5 1 问,p q取何值时X与Y相互独立.两行成比例1/151/52,1/53/103qp解得12,.1015pq 5.设(,)X Y的联合密度为2,11,0,(,)0,.yAx exyf x y 其它求(1)常数A(2)概率1(0,1);2PXY(3)边缘概率密度fX(x)fY(y)(4)X与Y是否相互独立 (1)222000()(,),11,yyXfxf x y dyAx e dyAxe dyAxx (2)112201113(0,1)(0)(1).22216yePXYPXP Yx dxe dy(3)23(),11,2Xfxxx (4)由23,11,0()()(,),20,y

32、XYx exyfxfyf x y 其它得X与Y独立.或 因为2(,),11,0,yf x yAx exy 可表示为x的函数与y的函数的积且分 布 在 矩 形 区 域 上,所 以X与Y相 互 独 立.由 此 得(),0;yYfyey2(),11,XfxAxx 6.设X服从均匀分布(0,0.2),UY的密度为55,0,()0,yYeyfy其它.且,X Y独立.求(1)X的密度(2)(,)X Y的联合密度(1)X的密度为()5,00.2,Xfxx(2)(,)X Y的联合密度为525,00.2,0,(,)0,yexyf x y其它.第八次作业 1 设随机变量(X Y)的联合分布律是 X Y 0 1 2

33、 0 1/6 1/3 1/12 1 1/6 1/12 1/6 求函数(1)Z1XY(2)Z2minX Y(3)Z3maxX Y的分布律 (1)11(0)(0),6P ZP XY1111(1)(0,1)(1,0),362P ZP XYP XY(2)2111(1)(1,1)(1,2),1264P ZP XYP XY223(0)1(1).4P ZP Z (3)31(0)(0),6P ZP XY 2 设随机变量(X Y)的联合分布律是 X Y 1 1 1 1 求函数 ZX/Y的分布律 3 设X与Y相互独立 概率密度分别为220()00,xXexfxx0()00,yYeyfyx 试求ZXY的概率密度 4

34、 设XU(0 1)YE(1)且X与Y独立 求函数ZXY的密度函数 当01z时 当1z 时 因此 5 设随机变量(X Y)的概率密度为()101,0(,)10 x yexyf x ye 其它(1)求边缘概率密度fX(x)fY(y)(2)求函数Umax(X,Y)的分布函数(3)求函数Vmin(X,Y)的分布函数 (1)1,01,()10,xXexfxe其它.,0,()0,yYeyfy其它.(2)11000,0,1()(),01,111,1xxxxXXxeeFxfx dxdxxeex.min,110,0,1,01xxexe.(3)111,0,()1(),01,10,1xXXxeeSxFxxex.6

35、设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N(160 202)分布 随机地选取 4 只求其中没有一只寿命小于 180 小时的概率 随机变量2(160,20),XN180 160(180)(1)0.84134,20P X 没有一只寿命小于 180 小时的概率为 第九次作业 1.设离散型随机变量X具有概率分布律 X 2 1 0 1 2 3 P 试求 E(X)E(X25)E(|X|)2.设随机变量X的概率密度为0 0,()01,1.xxf xxxAex 求(1)常数A(2)X的数学期望 (1)1100111(),2xf x dxxdxAe dxAe,2eA (2)12100114()2.2323

36、xeeEXxf x dxx dxxe dxe 3.设球的直径D在a b上均匀分布试求(1)球的表面积的数学期望(表面积2D)(2)球的体积的数学期望(体积316D)(1)22222()();3baxEDEDdxaabbba(2)33322()().6624baxEDEDdxab abba 4.设二维离散型随机变量(X Y)的联合分布律为 X Y 1 2 3 4 2 0 0 2 求E(X)E(Y)E(XY)5.设 随 机 变 量X和Y独 立 且 具 有 概 率 密 度 为2,01,()0,Xxxfx 其它,3(1)3,1,()0,1.yYeyfyy(1)求(25)EXY(2)求2()E X Y

37、(1)112002()2,3XEXxfx dxx dx 或随机变量1ZY指数分布(3),E141,33EZEYEY (2)11223001()2,2XEXx fx dxx dx由X和Y独立得22142().233E X YEX EY 第十次作业 1.设离散型随机变量X的分布列为 X 2 1 0 1 2 3 P 01 试求(1)D(X)(2)D(3X2)(1)2 0.1 1 0.21 0.32 0.13 0.10.4,iiiEXx p (2)2(32)(3)9 2.0418.36.DXDX 2.设随机变量X具有概率密度为22,02,()0,Axxxf x其他，试求(1)常数A(2)E(X)(3)

38、D(X)(4)D(2X3)(1)22081()(2)4,3f x dxAxx dxA解得9.8A (2)22095()(2).86EXxf x dxxxx dx(3)22222094()(2),85EXx f x dxxxx dx2224519.56180DXEXE X(4)21919(23)24.18045DXDX 3.设二维随机变量(,)X Y联合概率密度为2,01,01,(,)0,xyxyf x y其他，试求(1),X Y的协方差和相关系数A(2)(21).DXY(1)103()(,)(2),01,2Xfxf x y dyxy dyxx 由,x y的对称性3(),01.2Yfyyy 因此

39、(2)由随机变量和的方差公式()2(,)D XYDXDXCov X Y得 4.设二维随机变量(,)X Y具有联合分布律 Y X 2 1 0 1 2 1 0 0 0 0 1 试求,EX DX EY DY以及X和Y的相关系数 (1)X的分布列为 1 0 1 由变量X分布对称得0,EX 或1 0.450 0.451 0.450,iiiEXx p (2)Y的分布列为 2 1 0 1 2 (,)X Y取值关于原点中心对称 由变量Y分布对称得0,EY 或2 0.20.250.252 0.20,jjiEYy p (3)由 二 维 变 量(,)X Y的 联 合 分 布 列 关 于 两 坐 标 轴 对 称 得,

40、()0,iji jijE XYxy p (,)()0,Cov X YE XYEXEY因此,(,)0.X YCov X YDXDY 5.设随机变量X服从参数为2的泊松分布(2)P随机变量Y服从区间(0,6)上的均匀分布(0,6),U且,X Y的相关系数,1.6X Y记2,ZXY求,.EZ DZ(1)2,EX 063,2EY(2)222 34.EZE XYEXEY (2)2(60)2,3.12DXDY由,(,)1,6X YCov X YDXDY得(,)1,Cov X Y 由随机变量和的方差公式()2(,)D XYDXDYCov X Y得 第十一次作业 1.试用切比雪夫不等式估计下一事件概率至少有多

41、大 掷 1000 次均匀硬币 出现正面的次数在400 到 600 次之间 出现正面的次数(1000,0.5),XB np 应用切比雪夫不等式有 2.若每次射击目标命中的概率为 不断地对靶进行射击 求在 500 次射击中 击中目标的次数在区间(49 55)内的概率 击中目标的次数(500,0.1),XB np 根据中心极限定理,X近似服从正态分布(50,45).N EXDX 3.计算器在进行加法时 将每个加数舍入最靠近它的整数.设所有舍入误差是独立的且在(上服从均匀分布(1)若将 1500 个数相加 问误差总和的绝对值超过 15 的概率是多少(2)最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于 10

42、 的概率不小于 (1)误差变量,1,2,.iX i 独立同均匀分布(0.5,0.5),XU 10,.12EXDX由独立变量方差的可加性150011500125,12iiDX15001iiX近似(0,125).N(2)1|10niiPX112123|2niiPXnnn32210.90,n 因此最多可有4个数相加误差总和的绝对值小于 10 的概率不小于 4.一个系统由n个相互独立的部件所组成 每个部件的可靠性(即部件正常工作的概率)为 至少有 80%的部件正常工作才能使整个系统正常运行 问n至少为多大才能使系统正常运行的可靠性不低于 正常工作的部件数(,),XB n p其中0.9.p 0.9,EX

43、npn0.09.DXnpqn 1.645,24.354.3nn因此n至少取25.5.有一大批电子元件装箱运往外地 正品率为 为保证以的概率使箱内正品数多于1000只 问箱内至少要装多少只元件 正品数(,),XB n p其中0.8.p 0.8,EXnpn0.16.DXnpqn 解得1637.65,n 因此n至少取1638.贝努利分布的正态近似.投掷一枚均匀硬币 40 次出现正面次数20X 的概率.正面次数(40,1/2),XB np40 0.520,40 0.5 0.510.EXnpDXnpq 离散值20X 近似为连续分组区间19.520.5,X 第十二次作业 1.设X1 X2 X10为来自N(

44、0 032)的一个样本 求概率10211.44iiPX 标 准 化 变 量(0,1),1,2,.,10.0.3iXNi 由 卡 方 分 布 的 定 义10222211(10).0.3iiX 略大卡方分布上侧分位数20.1(10)15.9872.2.设X1 X2 X3 X4 X5是来自正态总体X(0 1)容量为 5 的样本 试求常数c 使得统计量 12222345()c XXXXX服从t分布 并求其自由度 由独立正态分布的可加性12(0,2),XXN标准化变量12(0,1),2XXUN由卡方分布的定义22222345(3),XXXU与2独立 由t分布的定义12122222222345345()/

45、26(3),2(3)/3()/3XXXXUTtXXXXXX 因此6,2c 自由度为3.3 设112,nXXX为来自N(1 2)的样本 212,nY YY为来自N(2 2)的样本 且两样本相互独立 2212,SS分别为两个样本方差 222112212(1)(1)2pnSnSSnn 试证明22().pE S 证 由221112(1)(1),nSn及211(1)1Enn得 类似地222.ES 4 设1,.,nXX为总体2(,)N 的简单样本样本均值和样本方差依次为2,.X S求满足下式的k值()0.95.P XkS 统计量(1),/XTt nSn 因此0.05(1).tnkn .设正态总体2(,)N

46、 的容量为12n 的简单样本为112,.,XX样本均值和样本方差依次为2,.X S求满足下式的k值()0.95.P XkS 正态总体样本方差未知统计量(1),12./XTt nnSn 5 设X1 X2 Xn Xn1为来自N(2)的样本 记11niiXXn 2211()1niiSXXn 证明 11nXXnTnS(1)t n 证 由独立正态分布的可加性21(,),niiXN nn 211,niiXXNnn1nX及2S相 互 独 立2110,nnXXNn和2S独 立 标 准 化 变 量1(0,1),1nXXnUNn 2222(1)(1),nSn2(1)/1/,nnS 由t分布的定义 第十三次作业 1

47、 设总体的密度函数为22(),0,(;)0,xxf x其他，求参数的矩估计 总体期望23220002()2(;),33xxxEXxf xdxxdx3,EX 用样本均值X估计（或替换）总体期望EX即,EXX得矩估计为3.X 2 设总体的密度函数为1(1)(1),01(;)0,xxxf x 其他 求参数 的矩估计 总体期望 解得2,1EXEX用样本均值X估计（或替换）总体期望EX即,EXX得 矩估计为2.1XX 3 设总体的密度函数为|1(;),2xf xex 求参数 的最大似然估计 似然函数1111()(;)exp|,2nniinniiLf xx 取对数得对数似然函数11ln()ln2ln|,n

48、iiLnnx 令 21ln()1|0,niiLnx 解得的最大似然估计为11|.nLiixn 4 设总体的密度函数为222,0(;)0,0 xxexf xx 求参数 的最大似然估计 似然函数2122111()(;)exp,ninniiiniixLf xx 取对数得对数似然函数22111ln()ln2 ln,nniiiiLxnx 令 231ln()220,niiLnx 解得的最大似然估计为211.nLiixn 5 设总体X的均值和方差分别为与 2 X 1 X 2 X3是总体的一个样本,试验证统计量 (1)1123114412XXX;(2)2123111333XXX;(3)3123311882XX

49、X 均为 的无偏估计量,并比较其有效性 (1)1123123111111.442442EEXXXEXEXEX(2)1123123111111.333333EEXXXEXEXEX(3)1123123311311.882882EEXXXEXEXEX 因此123,均为的无偏估计量 由独立变量方差的可加性 因此无偏估计量123,中2最有效,1比3有效 7.设2为 2的无偏估计,且()0D,试证不是 的无偏估计 反之,若为 的无 偏估计,()0D,则2也不是 2的无偏估计 证(1)22,E22220,DEEE22,EE得不是 的无偏估计(2),E2222220,DEEEE得2不是2的无偏估计 8设12,

50、是参数的两个相互独立的无偏估计量,且124DD,找出常数12,k k,使1212kk也是的无偏估计量,并使它在所有这种形状的估计量中方差最小.1212121212()()E kkk Ek Ekk,121kk,222212122121212()(4)D kkk Dk DkkD,121222121,0,1,min4.kkk kskk 求最小值得1214,55kk,4min5s,121124min().5D kkD 第十四次作业 1.某车间生产滚珠,从长期实践中知道,滚珠直径X可以认为服从正态分布.从某天的产品里随机抽取 6 个,测得直径(单位:mm)为 ,若已知总体方差为,试求平均直径的置信区间.