基本不等式(很全面)42066.pdf

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1、 基本不等式【知识框架】1、基本不等式原始形式（1）若Rba,，则abba222 （2）若Rba,，则222baab 2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,Rba，则abba2 3、基本不等式的两个重要变形（1）若*,Rba，则abba2（2）若*,Rba，则22baab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当ba 时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论（1）若0 x，则12xx(当且仅当1x 时取“=”）（2）若0 x，则12xx (当且仅当1x 时取“=”）（3）若0ab，则2a

2、bba (当且仅当ba 时取“=”）（4）若Rba,，则2)2(222babaab（5）若*,Rba，则2211122babaabba 特别说明：以上不等式中，当且仅当ba 时取“=”6、柯西不等式 （1）若,a b c dR，则22222()()()abcdacbd（2）若123123,a a a b b bR，则有：22222221231 1231 1223 3()()()aaabbba ba ba b（3）设1212,nna aabb与b是两组实数，则有 22212(naaa)22212)nbbb(21 122()nna ba ba b【题型归纳】题型一：利用基本不等式证明不等式 题目

3、1、设ba,均为正数，证明不等式:abba112 题目 2、已知cba,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba222 题目 3、已知1abc，求证：22213abc 题目 4、已知,a b cR，且1abc，求证：abccba8)1)(1)(1(题目 5、已知,a b cR，且1abc，求证：1111118abc 题目6、（新课标卷数学（理）设,a b c均为正数,且1abc,证明:()13abbcca;()2221abcbca.题型二：利用不等式求函数值域 题目 1、求下列函数的值域（1）22213xxy （2）)4(xxy （3）)0(1xxxy （4）)0(1xxxy 题型三：利用

4、不等式求最值（一）（凑项）1、已知2x，求函数42442xxy的最小值；变式 1：已知2x，求函数4242xxy的最小值；变式 2：已知2x，求函数4242xxy的最大值；变式 3：已知2x，求函数4224xyxx的最大值；练习：1、已知54x，求函数14245yxx的最小值；题目 2、已知54x，求函数14245yxx的最大值；题型四：利用不等式求最值（二）（凑系数）题目 1、当时，求(82)yxx的最大值；变式 1：当时，求4(82)yxx的最大值；变式 2：设230 x，求函数)23(4xxy的最大值。题目 2、若02x，求yxx()63的最大值；变式：若40 x，求)28(xxy的最大

5、值；题目 3、求函数)2521(2512xxxy的最大值；变式：求函数)41143(41134xxxy的最大值；题型五：巧用“1”的代换求最值问题 题目 1、已知12,0,baba，求tab11的最小值；变式 1：已知22,0,baba，求tab11的最小值；变式 2：已知28,0,1x yxy，求xy的最小值；变式 3：已知0,yx，且119xy，求xy的最小值。变式 4：已知0,yx，且194xy，求xy的最小值；变式 5：（1）若0,yx且12 yx，求11xy的最小值；（2）若 Ryxba,且1ybxa，求yx 的最小值；变式 6：已知正项等比数列 na满足：5672aaa，若存在两项

6、nmaa,，使得14aaanm，求nm41的最小值；变式 7：若正数x，y满足x3y5xy，则 3x4y的最小值是（）C5 D6 变式 8：设0,0.ab若11333abab是与 的等比中项，则的最小值为（）A14 B1 C4 D8 变式 9：已知0ab，且2ab，则213abab的最小值为 变式 10：已知01x，0a，0b，求221abyxx的最小值.变式 11：求183(0)2322xxx的最小值 变式 12：已知(0,)2，求函数2214()sincosf的最小值 变式 13：设正实数ba,满足baaba81,2则的最小值为 变式 14：【2013 天津理】设a+b=2,b0,则当a=

7、时,1|2|aab取得最小值.变式 15：设0,1ab 满足2ab，则11aba的最小值为 变式 16：已知,a bR且21ab，则2214ab的最小值是 .题型六：分离换元法求最值（了解）题目 1、求函数)1(11072xxxxy的值域；变式：求函数)1(182xxxy的值域；题目 2、求函数522xxy的最大值；变式：求函数941xxy的最大值；题型七：基本不等式的综合应用 题目 1、已知1loglog22ba，求ba93 的最小值 题目 2、已知0,ba，求abba211的最小值；变式 1：（2010 四川）如果0ba，求关于ba,的表达式)(112baaaba的最小值；变式 2：（20

8、12 湖北武汉诊断）已知，当1,0aa时，函数1)1(logxya的图像恒过定点A，若点A在直线0nymx上，求nm24 的最小值；变式 3：【2017 天津】若,0abRab，则4441abab的最小值为 题目 3、已知0,yx，822xyyx，求yx2最小值；变式 1：已知0,ba，满足3baab，求ab范围；变式 2：已知0,yx，312121yx，求xy最大值；（提示：通分或三角换元）变式 3：已知0,yx，122xyyx，求xy最大值；题目 4、（2013 年山东（理）设正实数zyx,满足04322zyxyx,则当zxy取得最大值时,zyx212的最大值为（）（）A0 B1 C 49

9、 D3 变式：设zyx,是正数，满足032zyx，求xzy2的最小值；题型八：利用基本不等式求参数范围 题目 1、已知0,yx，且9)1)(yaxyx恒成立，求正实数a的最小值；2、已知0zyx且zxnzyyx11恒成立，如果Nn，求n的最大值；（参考：4）变式：已知0,ba满则241ba，若cba恒成立，求c的取值范围；题型九：利用柯西不等式求最值 1、二维柯西不等式 ),(时等号成立；即当且仅当bcaddbcaRdcba若,a b c dR，则22222()()()abcdacbd 2、二维形式的柯西不等式的变式 bdacdcba2222)1(),(时等号成立；即当且仅当bcaddbcaR

10、dcba bdacdcba2222)2(),(时等号成立；即当且仅当bcaddbcaRdcba 2)()()(3(bdacdcba ),0,(时等号成立；即当且仅当bcaddbcadcba 3、二维形式的柯西不等式的向量形式 ),0(等号成立时使或存在实数当且仅当kak 4、三维柯西不等式 若123123,a a a b b bR，则有：22222221231 1231 1223 3()()()aaabbba ba ba b ),(332211时等号成立当且仅当bababaRbaii 5、一般n维柯西不等式 设1212,nna aabb与b是两组实数，则有:22212(naaa)22212)n

11、bbb(21 122()nna ba ba b ),(2211时等号成立当且仅当nniibababaRba【题型归纳】题型一：利用柯西不等式一般形式求最值 题目 1、设,x y zR，若2224xyz，则zyx22 的最小值为 时，),(zyx 析：2)2(1)()22(2222222zyxzyx 3694 zyx22 最小值为6 此时322)2(16221222zyx 32x，34y，34z 题目 2、设,x y zR，226xyz，求222xyz的最小值m，并求此时,x y z之值。Ans：)34,32,34(),(;4zyxm 题目 3、设,x y zR，332zyx，求222)1(zyx之最小值为 ，此时y （析：0)1(32332zyxzyx）题目 4、已知,236,a b cabc则22249abc的最小值是 (12:Ans)题目 5、设,x y zR,且满足:2221xyz,2314xyz,求zyx的值；题目 6、求coscossincos3sin2 的最大值与最小值。（Ans：最大值为22，最小值为 22）析：令a (2sin，3cos，cos)，b(1，sin，cos)