相似三角形典型例题精选41691.pdf

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1、v1.0 可编辑可修改 11 相似三角形的判定与性质综合运用经典题型 考点一：相似三角形的判定与性质：例 1、如图，PCD 是等边三角形，A、C、D、B 在同一直线上，且APB=120.求证：PACBPD；CD2=ACBD.例 2、如图,在等腰ABC 中,BAC=90,AB=AC=1,点 D 是 BC 边上的一个动点(不与 B、C重合），在 AC 上取一点 E，使ADE=45（1）求证：ABDDCE；（2）设 BD=x，AE=y，求 y 关于 x 函数关系式及自变量 x 值范围，并求出当 x 为何值时 AE取得最小值？（3）在 AC 上是否存在点 E，使得ADE 为等腰三角形若存在，求 AE

2、的长；若不存在，请说明理由 例 3、如图所示，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AEBC，垂足为 E，连接 DE，F 为线段DE 上一点，且AFE=B：1）求证：ADFDEC；2）若 AB=4，33AD,AE=3，求 AF 的长。v1.0 可编辑可修改 22 考点二：射影定理：例 4、如图，在 RtABC 中，ACB=90,CDAB 于 D，CD=4cm,AD=8cm,求 AC、BC 及 BD 的长。例 5、如图，已知正方形 ABCD，E 是 AB 的中点，F 是 AD 上的一点，且 AF=14 AD，EGCF 于点 G，（1）求证：AEFBCE；（2）试说明：EG2=CGFG.例 6

3、、已知：如图所示的一张矩形纸片 ABCD（ADAB），将纸片折叠一次，使点 A 与点 C 重合,再展开，折痕 EF 交 AD 边于 E，交 BC 边于 F，分别连结 AF 和 CE（）求证：四边形 AFCE 是菱形；ABCDEFGA B C D E F v1.0 可编辑可修改 33（）若 AE=10cm，ABF 的面积为 24cm2，求ABF 的周长；（）在线段 AC 上是否存在一点 P，使得 2AE2ACAP 若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由 考点三：相似之共线线段的比例问题：例 7、已知如图，P 为平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上一点，过 P 的直线与 A

4、D、BC、CD 的延长线、AB 的延长线分别相交于点 E、F、G、H.求证：PGPHPFPE 例 8、如图，点 P 是菱形 ABCD 的对角线 BD 上一点，连接 CP 并延长，交 AD 于点 E，交 BA的延长线于点 F（1）求证：PC2=PE PF；（2）若菱形边长为 8，PE=2，EF=6，求 FB 的长 例 9、如图，CD 是 RtABC 斜边上的高，E 为 AC 的中点，ED 交 CB 的延长线于 F v1.0 可编辑可修改 44 求证：BD CF=CD DF 例 10、如图：已知在等边三角形 ABC 中，点 D、E 分别是 AB、BC 延长线上的点，且 BD=CE，直线 CD 与

5、AE 相交于点 F（1）求证：DC=AE；（2）求证：AD2=DC DF 例 11、如图，E 是矩形 ABCD 的边 BC 上一点，EFAE，EF 分别交 AC，CD 于点 M，F，BGAC，垂足为 G，BG 交 AE 于点 H（1）找出与ABH 相似的三角形，并证明；（2）若 E 是 BC 中点，BC=2AB，AB=2，求 EM 的长 例 12、如图，四边形 ABCD、DEFG 都是正方形，连接 AE、CG，AE 与 CG 相交于点 M，CG 与 AD相交于点 N 求证：（1）AE=CG；（2）AN DN=CN MN v1.0 可编辑可修改 55 例 13、如图，在 RtABC 中，CD 是

6、斜边 AB 上的高，点 M 在 CD 上，DHBM 且与 AC 的延长线交于点 E求证：（1）AEDCBM；（2）AE CM=AC CD 例 14、如图，ABC 是直角三角形，ACB=90，CDAB 于 D，E 是 AC 的中点，ED 的延长线与 CB 的延长线交于点 F（1）求证：FD2=FB FC；（2）若 G 是 BC 的中点，连接 GD，GD 与 EF 垂直吗并说明理由 例 15、如图，四边形 ABCD、CDEF、EFGH 都是正方形.(1)ACF 与ACG 相似吗说说你的理由.(2)求1+2 的度数.v1.0 可编辑可修改 66 考点四：相似三角形的实际应用：例 16、如图，ABC

7、是一块锐角三角形余料，边 BC=120mm，高 AD=80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在 BC 上，其余两个顶点分别在边 AB、AC 上（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少（2）若这个矩形的长 PQ 是宽 PN 的 2 倍，则边长是多少 例 17、已知左，右并排的两棵大树的高分别是 AB=8m 和 CD=12m，两树的根部的距离 BD=5m。一个身高的人沿着正对着两棵树的一条水平直路从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看见右边较高的树的顶端点 C v1.0 可编辑可修改 77 例 18、两颗树的高度分别为 AB=6m，CD=8m，两树的根部间的距离 AC=4m，小

8、强沿着正对这两棵树的方向从左向右前进，如果小强的眼睛与地面的距离为，当小强与树 AB 的距离小于多少时，就不能看到树 CD 的树顶 D 例 19、小亮想利用太阳光下的影子测量校园内一棵大树的高，小亮发现因大树靠近学校围墙，大树的影子不全落在地面上，如图所示，经测量，墙上影高 CD=，地面影长 BC=10m 若此时 1 米高的标杆的影长恰好为 2m请你求出这棵大树 AB 的高度 例 20、如图，九年级的数学活动课上，小明发现电线杆 AB 的影子落在土坡的坡面 CD 和地面 BC 上，量得 CD=8 米，BC=20 米，CD 与地面成 30角，且此时测得 1 米杆的影长为 2 米，求电线杆的高度

9、例 21、如图，有一路灯杆 AB（底部 B 不能直接到达），在灯光下，小明在点 D 处测得自己的v1.0 可编辑可修改 88 影长 DF=3m，沿 BD 方向到达点 F 处再测得自己得影长 FG=4m，如果小明的身高为，求路灯杆AB 的高度 考点五：相似三角形中的动点问题：例 22、在矩形 ABCD 中，AB=12cm，AD=6cm，点 P 沿 AB 边从点 A 开始向点 B 以 2cm/秒的速度移动，点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1cm/秒的速度移动，如果 P、Q 同时出发，用 t（秒）表示运动时间（0t6），那么当 t 为何值时，APQ 与ABD 相似说明理由 例 23、

10、如图，在ABC 中，B=90，AB=6 米，BC=8 米，动点 P 以 2 米/秒的速度从 A 点出发，沿 AC 向点 C 移动同时，动点 Q 以 1 米/秒的速度从 C 点出发，沿 CB 向点 B 移动当其中有一点到达终点时，它们都停止移动设移动的时间为 t 秒（1）当 t=秒时，求CPQ 的面积；求CPQ 的面积 S（平方米）关于时间 t（秒）的函数解析式；（2）在 P，Q 移动的过程中，当CPQ 为等腰三角形时，写出 t 的值。v1.0 可编辑可修改 99 例 24、如图所示，在ABC 中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点 P 从 A 点出发，沿着 AB 以每秒4cm 的速度向

11、B 点运动；同时点 Q 从 C 点出发，沿 CA 以每秒 3cm 的速度向 A 点运动，设运动时间为 x（1）当 x 为何值时，PQBC；（2）当 SBCQ:SABC=1:3，求 SBPQ:SABC的值；（3）APQ 能否与CQB 相似若能，求出 AP 的长；若不能，请说明理由 例 25、如图，平面直角坐标系中，四边形 OABC 为矩形，点 A、B 的坐标为（6，0），（6，8）动点 M、N 分别从 O、B 同时出发，都以每秒 1 个单位的速度运动，其中，点 M 沿 OA 向终点 A运动，点 N 沿 BC 向终点 C 运动，过点 N 作 NPBC，交 AC 于点 P，连接 MP，已知动点运动了

12、 x 秒（1）用含 x 的代数式表示 P 的坐标（直接写出答案）；（2）设 y=S 四边形 OMPC，求 y 的最小值，并求此时 x 的值；（3）是否存在 x 的值，使以 P、A、M 为顶点的三角形与AOC 相似若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说明理由 v1.0 可编辑可修改 1010 例 26、如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 是 BC 边的中点，点 P 在射线 AD 上，过 P 作 PFAE 于 F（1）求证：PFAABE；（2）当点 P 在射线 AD 上运动时，设 PA=x，是否存在实数 x，使以 P、F、E 为顶点的三角形也与ABE 相似若存在，请求出 x 的值；若不存在

13、，请说明理由 例 27、如图，在平面直角坐标系中，已知 RtAOB 的两条直角边 OA、OB 分别在 y 轴和 x 轴上，并且 OA、OB 的长分别是方程 x27x+12=0 的两根（OAOB），动点 P 从点 A 开始在线段AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 0 运动；同时，动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每秒2 个单位长度的速度向点 A 运动，设点 P、Q 运动的时间为 t 秒（1）求 A、B 两点的坐标；（2）求当 t 为何值时，APQ 与AOB 相似；（3）当 t=2 时，在坐标平面内，是否存在点 M，使以 A、P、Q、M 为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出 M 点的坐标；若不存在，请说明理由 v1.0 可编辑可修改 1111