北京市西城区2021届高三第一学期期末考试数学试题及答案9125.pdf

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1、 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第1页（共12页）北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 2021.1 本试卷共 5 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合|13Axx，|04Bxx，则AB （A）(0,3)（B）(1,4)（C）(0,4（D）(1,4（2）在复平面内，复数z所对应的点的坐标为(1,1)，则z z （A）2（B）2i

2、（C）2（D）2i（3）已知()f x为奇函数，其局部图象如图所示，那么（A）(2)2f（B）(2)2f （C）(2)2f （D）(2)2f （4）已知(4,8)A，(2,4)B，(3,)Cy三点共线，则y的值为 （A）4（B）5（C）6（D）7 （5）已知双曲线22221xyab的焦距等于实轴长的2倍，则其渐近线的方程为（A）3yx （B）2yx （C）33yx （D）12yx （6）已知半径为 2 的圆经过点(1,0)，其圆心到直线34120 xy的距离的最小值为（A）0（B）1（C）2（D）3 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第2页（共12页）（7）已知

3、函数()sin2,f xx xa b，则“2ba”是“()f x的值域为 1,1”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（8）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：2log(1)SCWN，其中C为最大数据传输速率，单位为bit/s；W为信道带宽，单位为 Hz；SN为信噪比.香农公式在 5G 技术中发挥着举足轻重的作用.当99SN，2000HzW 时，最大数据传输速率记为1C；当9999SN，3000HzW 时，最大数据传输速率记为2C，则21CC为（A）1 （B）52 （C）154 （D）3（9）设函数()f x和()g x的定义域

4、为D，若存在非零实数cD，使得()()0f cg c，则称函数()f x和()g x在 D 上具有性质 P.现有三组函数：()f xx，2()g xx()2xf x，()exg x 2()f xx，()2xg x 其中具有性质 P 的是（A）（B）（C）（D）（10）在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，,M N分别为111,BD BC的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足MPCN，则下列说法正确的是（A）点P可以是棱1BB的中点（B）线段MP的最大值为32 （C）点P的轨迹是正方形 （D）点P轨迹的长度为2+5 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学

5、 第3页（共12页）第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。（11）5(2)x 的展开式中x的系数是_.（12）数列na是公差为2的等差数列，记na的前n项 和为nS，且134,a a a成等比数列，则1a _；nS _.（13）一个三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长棱的 长度为_.（14）已知抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为F，过点(1,4)M 作y轴的垂线交抛物线C于点A，且满足|AFAM，则抛物线C的方程为_；设直线AF交抛物线C于另一点B，则点B的纵坐标为_.（15）炎炎夏日，冰激凌成为非常受欢迎的舌尖上的味道.某商店统计了

6、一款冰激凌 6 月份前 6天每天的供应量和销售量，结果如下表：6月1日 6月2日 6月3日 6月4日 6月5日 6月6日 供应量 90 100 90 100 90 100 销售量 80 90 85 80 90 85 记()V t为6月t日冰激凌的供应量，()W t为6月t日冰激凌的销售量，其中1,2,30t.用销售指数()(1)(1)(,)100%()(1)(1)W tW tW tnP t nV tV tV tn,(1,)nnN来评价从6月t日开始连续n天的冰激凌的销售情况.当1n 时，(,1)P t表示6月t日的日销售指数.给出下列四个结论：在6月1日至6日这6天中，(4,1)P最小，(5,

7、1)P最大；在6月1日至6日这6天中，日销售指数越大，说明该天冰激凌的销售量越大；(1,3)(4,3)PP；如果6月7日至12日冰激凌每天的供应量和销售量与6月1日至6日每天的供应量和 销售量对应相等，则对任意1,2,3,4,5,6,7t，都有(,6)(1,12)P tP.其中所有正确结论的序号是_.北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第4页（共12页）三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题 13 分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，2ABAC，14AA，ABAC，1BEAB交1AA于点E，D为1CC的

8、中点.（）求证：BE 平面1ABC；（）求二面角1CABD的余弦值.（17）（本小题 13 分）已知ABC的面积为4 2，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：（）b和c的值；（）sin()AB的值 条件:6a,1cos3C ；条件:AC,7cos9B .注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分 （18）（本小题 14 分）防洪工程对防洪减灾起着重要作用，水库是我国广泛采用的防洪工程之一，既有滞洪作用又有蓄洪作用.北京地区 2010 年至 2019 年每年汛末（10 月 1 日）水库的蓄水量数据如下：年份 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016

9、2017 2018 2019 蓄水量（亿立方米）11.25 13.25 13.58 17.4 12.4 12.1 18.3 26.5 34.3 34.1（）从 2010 年至 2019 年的样本数据中随机选取连续两年的数据，求这两年蓄水量数据之差的绝对值小于 1 亿立方米的概率；（）从 2014 年至 2019 年的样本数据中随机选取两年的数据，设X为蓄水量超过 33 亿立方米的年份个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（）由表中数据判断从哪年开始连续三年的水库蓄水量方差最大？（结论不要求证明）北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第5页（共12页）（19）（本小题

10、 15 分）已知函数3()f xxx.（）求曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程；（）求函数()f x的单调区间和极值；（）设函数()()2sinf xt xxx，(0,)x，试判断()t x的零点个数，并证明你的结论.（20）（本小题 15 分）已知椭圆22:142xyC.（）求椭圆C的离心率和长轴长；（）已知直线2ykx与椭圆C有两个不同的交点,A B，P为x轴上一点.是否存在实数k，使得PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k的值及点P的坐标；若不存在，说明理由.（21）（本小题 15 分）对于数列na，定义1*11,1,.nnnnnaaaaa 设*na的前n项

11、和为*nS.（）设2nnna，写出*1a，*2a，*3a，*4a；（）证明：“对任意*nN，有*11nnSaa”的充要条件是“对任意*nN，有1|1nnaa”；（）已知首项为 0，项数为1(2)mm的数列na满足：对任意1nm且*nN，有1 1,0,1nnaa；*mmSa.求所有满足条件的数列na的个数.北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第6页（共12页）北京市西城区 2020 2021 学年度第一学期期末试卷 高三数学参考答案 2021.1 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）（1）D（2）A（3）C（4）C（5）A（6）B（7）B（8）

12、D（9）B（10）D 二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）（11）80 （12）8，29nn（13）2 3 （14）24yx，1（15）注：第（12）和（14）题第一空 3 分,第二空 2 分.第（15）题全部选对得 5 分，不选或有错选得 0分，其他得 3 分.三、解答题（共 6 小题，共 85 分）（16）（共 13 分）解：（）因为三棱柱111ABCABC为直三棱柱，所以1AA 平面ABC，所以1AAAC.1 分 因为ACAB，1ABAAA，所以AC 平面11AA B B.3 分 因为BE 平面11AA B B，所以ACBE.4 分 因为1BEAB，1ACABA，所以

13、BE 平面1AB C.5 分（）由（）知1,AB AC AA两两垂直，如图建立空间直角坐标系Axyz 则(0 0 0)A，,1(2,0,4)B,(0,2,2)D,(2,0,0)B.7 分 设(0,0,)Ea，所以1=(0 2,2)=(2,0,4)=(2 0,)ADABBEa,，,，因为1ABBE，所以440a，即1a.8 分 所以平面1ABC的一个法向量为=(2 0,1)BE,9 分 设平面1AB D的法向量为(,)x y zn，北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第7页（共12页）所以10,0.ADABnn 所以220,240.yzxz 即,2.yzxz 10

14、分 令1z ，则2,1xy，所以平面1AB D的一个法向量为(2,1,1)n.11 分 所以530cos,=6|65BEBEBE nnn.12 分 由已知，二面角1CABD为锐角，所以二面角1CABD的余弦值为306.13 分（17）（共 13 分）若选择条件：解：（）在ABC中，因为1cos3C ，所以(,)2C，22 2sin1cos3CC.2 分 因为1sin4 22SabC，6a，所以2b.4 分 由余弦定理，2222cos48cababC，5 分 所以4 3c.6 分（）由正弦定理sinsinsinabcABC，可得624 3sinsin2 23AB.7 分 所以6sin3A，6si

15、n9B.9 分 因为,(0,)2A B，所以3cos3A，5 3cos9B.11 分 所以sin()sincoscossinABABAB 65 3364 239399.13 分 若选择条件：解：（）在ABC中，因为AC，所以ac.因为7cos9B ，所以(,)2B，24 2sin1cos9BB.2 分 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第8页（共12页）因为2114 2sin4 2229SacBc，所以3 2ac.4 分 由余弦定理，2222cos64bacacB，所以8b.6 分（）由正弦定理得sinsinabAB，所以3 24 21sinsin893aABb

16、.8 分 因为(0,)2A，所以22 2cos1sin3AA.10 分 所以sin()sincoscossinABABAB 172 24 223()393927 .13 分（18）（共 14 分）解：（）设事件 A 为“连续两年的蓄水量数据之差的绝对值小于1亿立方米”，从 2010 年到 2019 年的样本数据中随机选取连续两年共有 9 种可能，2 分 由图表可知，事件 A 包含“2011 年和 2012 年”，“2014 年和 2015 年”，“2018 年和 2019年”.3 分 所以31()93P A.4 分（）由表可知，2014 到 2019 年的样本数据中，蓄水量超过 33 亿立方米

17、有 2 年，蓄水量不超过 33 亿立方米有 4 年.随机变量X的所有可能取值为 0，1，2.5 分 022426CC62(0)C155P X，112426CC8(1)C15P X，202426CC1(2)C15P X.8 分 所以随机变量X的分布列为：X 0 1 2 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第9页（共12页）9 分 所以2812()012515153E X .11 分（）从 2016 年开始连续三年的水库蓄水量方差最大.14 分（19）（共 15 分）解：（）由3()f xxx，得 2()31fxx 1 分 因为(1)0f，(1)2f，3 分 所以曲线

18、()yf x在点(1,(1)f处的切线方程为22yx.4 分（）令()0fx，得2310 x ，解得33x 或33x 当x变化时，()f x和()fx变化情况如下表：x 3(,)3 33 33(,)33 33 3(,)3 ()fx 0 0 ()f x 2 39 2 39 7 分 所以，()f x的单调递减区间是33(,)33，单调递增区间是3(,)3，3(,)3；()f x在33x 处取得极大值2 39，在33x 处取得极小值2 39.9 分（）(0,)x,()0t x，即2120sinxx，等价于212sin0 xx.10 分 设2()12sing xxx,(0,)x，则()22cosg x

19、xx.当,)2x时，P 25 815 115 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第10页（共12页）()0g x，()g x在区间,)2上单调递增.又2()3024g，2()10g ，所以()g x在区间,)2上有一个零点.11 分 当(0,)2x时,设()()22cosh xg xxx.()22sin0h xx，所以()g x在区间(0,)2上单调递增.12 分 又(0)20g ，()02g ，所以存在0(0,)2x，使得0()0gx.所以，当0(0,)xx时，()0g x，()g x单调递减；当0(,)2xx时，()0g x，()g x单调递增.13 分 又

20、(0)10g ，2()3024g，所以()g x在区间(0,)2上无零点.14 分 综上所述，函数()t x在定义域内只有一个零点.15 分（20）（共 15 分）解：（）由题意：24a，22b，所以2a.1 分 因为222abc，所以22c，2c.2 分 所以22cea.3 分 所以椭圆C离心率为22，长轴长为4.4 分（）联立222,142ykxxy 消y整理得：22(21)840kxkx.5 分 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第11页（共12页）因为直线与椭圆交于,A B两点，故0，解得212k.6 分 设11(,)A x y，22(,)B xy，则1

21、22821kxxk，122421x xk.8 分 设AB中点00(,)G x y，则12024221xxkxk，0022221ykxk，故2242(,)21 21kGkk.9 分 假设存在k和点(,0)P m，使得PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形，则PGAB，故1PGABkk，所以222211421kkkmk，解得2221kmk，故22(0)2+1kPk，.10 分 又因为2APB，所以0PA PB.所以1122(,)(,)0 xm yxm y，即1112()()0 xm xmy y.整理得 221 212(1)(2)()40kx xkm xxm.所以222248(1)(2)402121

22、kkkmmkk，12 分 代入2221kmk，整理得41k，即21k.14 分 当1k 时，P点坐标为2(,0)3；当1k 时，P点坐标为2(,0)3.此时，PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形.15 分 （21）（共 15 分）解：（）因为112a，212a，338a，414a，5532a，根据题意可得*11a，*21a ，*31a ，*41a .4 分（）必要性：对1n，有*121Saa，因此*2111|1aaSa.5 分 对任意*nN且2n，有*11nnSaa，*11nnSaa，北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第12页（共12页）两式作差，得*11nn

23、nnSSaa，即*1nnnaaa，因此*1|1nnnaaa.7 分 综上，对任意*nN，有1|1nnaa.充分性：若对任意*nN，有1|1nnaa，则*1nnnaaa，所以*122132111()()()nnnnnSaaaaaaaaaaa.综上，“对任意*nN，*11nnSaa”的充要条件是“对任意*nN，1|1nnaa”.10 分 （）构造数列 nb：10b，1111,|1,1,0.nnnnnnnnaaaabbaa 则对任意1nm且*nN，有*nnba，1|1nnbb.结合（）可知，*1212111mmmmmSaaabbbbbb.又*mmSa，因此1mmba.设21321,mmaa aaaa中有k项为0，则1121321()()()mmmaaaaaaaa 121321()()()mmbbbbbbbk 1mbk mak.即1mmaak.因为1 1,0,1mmaa，所以0k 或1.13 分 若0k，则10mmaa，与21321,mmaa aaaa中有0项为0，即0k 矛盾，不符题意.若1k，则11mmaa.所以，当11mmaa，21321,mmaa aaaa中有一项为0，其余2m项为1时，数列na满足条件.21321,mmaa aaaa中有一项为0，共1m种取法；其余2m 项每项 有1或1两种取法，所以，满足条件的数列na的个数为2(1)2mm.15 分