版初中二次函数知识点汇总30651.pdf

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1、-1-第-1-页 共30页 二次函数知识点汇总 1.定义：一般地，如果cbacbxaxy,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数.2.二次函数2axy 的性质(1)抛物线2axy）（0a的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.(2)函数2axy 的图像与a的符号关系.当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点；当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点 3.二次函数 cbxaxy2的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.4.二 次 函 数cbxaxy2用 配 方 法 可 化 成：khxay2的 形 式，其 中abackabh4422，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：2axy；kaxy2；

2、2hxay；khxay2；cbxaxy2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.平行于y轴(或重合)的直线记作hx.特别地，y轴记作直线0 x.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：abacabxacbxaxy442222，顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h

3、,k)，对称轴是hx.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的-2-第-2-页 共30页 垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失 9.抛物线cbxaxy2中，cba,的作用(1)a决定开口方向及开口大小，这与2axy 中的a完全一样.(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2,故：0b时，对称轴为y轴；0ab(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧；0ab(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧.(3)c的大小决定抛物线cbxaxy2与

4、y轴交点的位置.当0 x时，cy，抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点(0，c)：0c，抛物线经过原点;0c,与y轴交于正半轴；0c,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 0ab.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 2axy 当0a时 开口向上 当0a时 开口向下 0 x(y轴)(0,0)kaxy2 0 x(y轴)(0,k)2hxay hx (h,0)khxay2 hx (h,k)cbxaxy2 abx2(abacab4422，)-3-第-3-页 共30页 11.用待定系数法求二次函数的解析式

5、 (1)一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.(2)顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay.12.直线与抛物线的交点 (1)y轴与抛物线cbxaxy2得交点为(c,0)(2)与y轴平行的直线hx 与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点(h,cbhah2).(3)抛物线与x轴的交点 二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程 02cbxax的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有

6、两个交点0抛物线与x轴相交；有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离.(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点 同(3)一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根.(5)一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点，由方程组 cbxaxynkxy2的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点.(6)抛 物 线 与x轴 两 交 点 之 间 的 距 离：若 抛 物 线cbx

7、axy2与x轴 两 交 点 为0021，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故 acxxabxx2121,-4-第-4-页 共30页 aaacbacabxxxxxxxxAB444222122122121 13二次函数与一元二次方程的关系：(1)一元二次方程cbxaxy2就是二次函数cbxaxy2当函数 y 的值为 0 时的情况(2)二次函数cbxaxy2的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数cbxaxy2的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当0y时自变量x的值，即一元二次方程02cbxax的根(3)当二次函数cbxaxy2的图象与x轴有两

8、个交点时，则一元二次方程cbxaxy2有两个不相等的实数根；当二次函数cbxaxy2的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程02cbxax有两个相等的实数根；当二次函数cbxaxy2的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程02cbxax没有实数根 14.二次函数的应用：(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值；(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值 15.解决实际问题时的基本思路：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；(3)用函数表达式表示出它们之间的关系；(

9、4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等 二次函数知识点 一、二次函数概念：1 二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（abc，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而bc，可以为零二次函数的定义域是全体实数 -5-第-5-页 共30页 2.二次函数2yaxbxc的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是 2 abc，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项 二、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式：2yax的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2.2yaxc

10、的性质：上加下减。3.2ya xh的性质：左加右减。a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 00，y轴 0 x 时，y随x的增大而增大；0 x时，y随x的增大而减小；0 x 时，y有最小值0 0a 向下 00，y轴 0 x 时，y随x的增大而减小；0 x时，y随x的增大而增大；0 x 时，y有最大值0 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 0c，y轴 0 x 时，y随x的增大而增大；0 x时，y随x的增大而减小；0 x 时，y有最小值c 0a 向下 0c，y轴 0 x 时，y随x的增大而减小；0 x时，y随x的增大而增大；0 x 时，y有最大值c a的符号 开

11、口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 0h，X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0 -6-第-6-页 共30页 4.2ya xhk的性质：三、二次函数图象的平移 1.平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk，确定其顶点坐标hk，；保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：向右(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2 2.平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移，

12、负左移；k值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二：cbxaxy2沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，cbxaxy2变成 mcbxaxy2（或mcbxaxy2）cbxaxy2沿轴平移：向左（右）平移m个单位，cbxaxy2变成0a 向下 0h，X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 hk，X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k 0a 向下 hk，X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k

13、-7-第-7-页 共30页 cmxbmxay)()(2（或cmxbmxay)()(2）四、二次函数2ya xhk与2yaxbxc的比较 从解析式上看，2ya xhk与2yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424bacbya xaa，其中2424bacbhkaa，五、二次函数2yaxbxc图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2yaxbxc化为顶点式2()ya xhk，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与x轴的交点10 x，20 x，（若

14、与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.六、二次函数2yaxbxc的性质 1.当0a 时，抛物线开口向上，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa 时，y随x的增大而减小；当2bxa 时，y随x的增大而增大；当2bxa 时，y有最小值244acba 2.当0a 时，抛物线开口向下，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa 时，y随x的增大而增大；当2bxa 时，y随x的增大而减小；当2bxa 时，y有最大值244acba 七、二次函数解析式的表示方法 1.一般式：2yaxb

15、xc（a，b，c为常数，0a）；2.顶点式：2()ya xhk（a，h，k为常数，0a）；3.两根式：12()()ya xxxx（0a，1x，2x是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种-8-第-8-页 共30页 形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1.二次项系数a 二次函数2yaxbxc中，a作为二次项系数，显然0a 当0a 时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；当0a

16、时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大 总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小 2.一次项系数b 在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴 在0a 的前提下，当0b 时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴左侧；当0b 时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的右侧 在0a 的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b 时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴右侧；当0b 时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的左侧 总结起来，在a确定的前

17、提下，b决定了抛物线对称轴的位置 ab的符号的判定：对称轴abx2在y轴左边则0ab，在y轴的右侧则0ab，概括的说就是“左同右异”总结：3.常数项c 当0c 时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；当0c 时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负 -9-第-9-页 共30页 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置 总之，只要abc，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式

18、必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式 九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1.关于x轴对称 2yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于x轴对称后，得到的解析式是2ya xhk；2.关于y轴对称 2yaxbxc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于

19、y轴对称后，得到的解析式是2ya xhk；3.关于原点对称 2yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于原点对称后，得到的解析式是2ya xhk；4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180）2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca；2ya xhk关于顶点对称后，得到的解析式是2ya xhk 5.关于点mn，对称 -10-第-10-页 共30页 2ya xhk关于点mn，对称后，得到的解析式是222ya xhmnk 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可

20、以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式 十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程20axbxc是二次函数2yaxbxc当函数值0y 时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：当240bac 时，图象与x轴交于两点1200A xB x，12()xx，其中的12xx，是一元二次方程200axbxca的两根这两点间的距离2214bacABxxa.当0 时，图象与x轴只有一个交点；当0 时，图象与x轴没有交

21、点.1 当0a 时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y；2 当0a 时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y 2.抛物线2yaxbxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，)c；3.二次函数常用解题方法总结：求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；根据图象的位置判断二次函数2yaxbxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐

22、标.0 抛物线与x轴有两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 -11-第-11-页 共30页 与 二次函 数有关 的还有 二次三 项式，二次三项式2(0)axbxc a本身就是所含字母x的二次函数；下面以0a 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：y=x22y=2x2y=x2 y=-2x2y=-x2y=-x22 y=2x2-4y=2x2+2y=2x20 抛物线与x轴只有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 0 抛物线与x轴无交点 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根.y=2(x-4)2-3y=2(

23、x-4)2y=2x2-12-第-12-页 共30页 y=3(x+4)2y=3(x-2)2y=3x2y=-2(x+3)2y=-2(x-3)2y=-2x2 十一、函数的应用 二次函数应用刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少 二次函数考查重点与常见题型 1 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x为自变量的二次函数2)2(22mmxmy的图像经过原点，则m的值是 2 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数bkxy的图像在第一、二、三象限内，那么函数12bxkxy的图像大致是（）

24、y y y y 1 1 v1.0 可编辑可修改-13-第-13-页 共30页 0 x o-1 x 0 x 0-1 x A B C D 3 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35x，求这条抛物线的解析式。4 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：已知抛物线2yaxbxc（a0）与 x 轴的两个交点的横坐标是1、3，与 y 轴交点的纵坐标是32 （1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5考查代数与几

25、何的综合能力，常见的作为专项压轴题。【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号 例 1（1）二次函数2yaxbxc的图像如图 1，则点),(acbM在（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 （2）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图 2 所示，则下列结论：a、b 同号；当 x=1 和 x=3时，函数值相等；4a+b=0；当 y=-2 时，x 的值只能取 0.其中正确的个数是（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 (1)(2)【点评】弄清抛物线的位置与系数 a，b，c 之间的关系，是解决问题的关键 例 2.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点(

26、-2，O)、(x1，0)，且 1x12，与 y 轴的正半轴的交点在点(O，2)的下方下列结论：abO；4a+cO，其中正确结论的个数为()A 1 个 B.2 个 C.3 个 D4 个 答案：D 会用待定系数法求二次函数解析式 例 3.已知：关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=3 的一个根为 x=-2，且二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴是直线 x=2，v1.0 可编辑可修改-14-第-14-页 共30页 则抛物线的顶点坐标为()A(2，-3)B.(2，1)C(2，3)D(3，2)答案：C 例 4、（2006 年烟台市）如图（单位：m），等腰三角形 ABC 以 2 米/秒的速度沿直

27、线 L 向正方形移动，直到 AB 与CD 重合设 x 秒时，三角形与正方形重叠部分的 面 积 为ym2（1）写出 y 与 x 的关系式；（2）当 x=2，时，y 分别是多少（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间求抛物线顶点坐标、对称轴.例 5、已知抛物线 y=12x2+x-52（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴（2）若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B，求线段 AB 的长【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系 例 6.已知：二次函数 y=ax2-(b+1)x-3a 的图象经过点 P(4，10)，交 x

28、轴于)0,(1xA，)0,(2xB两点)(21xx，交 y 轴负半轴于 C 点，且满足 3AO=OB(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点 M，使锐角MCOACO 若存在，请你求出 M 点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由(1)解：如图抛物线交 x 轴于点 A(x1，0)，B(x2，O)，则 x1x2=30，又x1O，x1O，30A=OB，x2=-3x1 x1x2=-3x12=-3x12=1.x10，x1=-1x2=3 点 A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得 a=2 b=3 二次函数的解析式为 y-2x2-4x-6(2)存在点 M 使MC0ACO(2)

29、解：点 A 关于 y 轴的对称点 A(1，O)，v1.0 可编辑可修改-15-第-15-页 共30页 直线 A，C 解析式为 y=6x-6 直线 AC 与抛物线交点为(0，-6)，(5，24)符合题意的 x 的范围为-1x0 或 Ox5 当点 M 的横坐标满足-1xO 或 OxACO 例 7、“已知函数cbxxy221的图象经过点 A（c，2），求证：这个二次函数图象的对称轴是 x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。（2）请你根据已有的信息，在原

30、题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。点评：对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是 x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点 A（c，2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。解答 （1）根据cbxxy221的图象经过点 A（c，2），图象的对称轴

31、是 x=3，得,3212,2212bcbcc 解得.2,3cb 所以所求二次函数解析式为.23212xxy图象如图所示。（2）在解析式中令 y=0，得023212 xx，解得.53,5321xx 所以可以填“抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是（3+)0,5”或“抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是).0,53(令 x=3 代入解析式，得,25y v1.0 可编辑可修改-16-第-16-页 共30页 所以抛物线23212xxy的顶点坐标为),25,3(所以也可以填抛物线的顶点坐标为)25,3(等等。函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视

32、为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。用二次函数解决最值问题 例 1 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE（如图），其中 AF=2，BF=1试在 AB 上求一点 P，使矩形 PNDM 有最大面积 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间 例 2 某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表：x（元）15 20 30 y（件）25 20 10 若日销售量 y 是销售价

33、 x 的一次函数 （1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元此时每日销售利润是多少元 【解析】（1）设此一次函数表达式为 y=kx+b则1525,220kbkb 解得 k=-1，b=40，即一次函数表达式为 y=-x+40 （2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润为 w 元 w=（x-10）（40-x）=-x2+50 x-400=-（x-25）2+225 产品的销售价应定为 25 元，此时每日获得最大销售利润为 225 元 【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知

34、数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程 例 3.你知道吗平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4 m，距地面均为 1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离 1m、25 m 处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知学生丙的身高是 15 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)()-17-第-17-页 共30页 A15 m B1625 m C166 m D167 m 分析：本题考查二次函数的应用 答案：

35、B 知识点一、平面直角坐标系 1，平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点 O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限。2、点的坐标的概念 点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒

36、。平面内点的坐标是有序实数对，当ba 时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一象限0,0yx 点 P(x,y)在第二象限0,0yx 点 P(x,y)在第三象限0,0yx 点 P(x,y)在第四象限0,0yx 2、坐标轴上的点的特征 点 P(x,y)在 x 轴上0 y，x 为任意实数 点 P(x,y)在 y 轴上0 x，y 为任意实数 -18-第-18-页 共30页 点 P(x,y)既在 x 轴上，又在 y 轴上x，y 同时为零，即点 P 坐标为（0，0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点 P(

37、x,y)在第一、三象限夹角平分线上x 与 y 相等 点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x 与 y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同。5、关于 x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征 点 P 与点 p关于 x 轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数 点 P 与点 p关于 y 轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数 点 P 与点 p关于原点对称横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离 点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点 P(x,y)到 x 轴的距离等于y（2）点 P

38、(x,y)到 y 轴的距离等于x（3）点 P(x,y)到原点的距离等于22yx 知识点三、函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。3、函数的三种表示法及其优缺点 -19-第-19-页 共30页（1）解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数

39、字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。（2）列表法 把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。（3）图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。4、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。知识点四，正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念 一般地，如果bkxy（k，b 是常数，k0），那么 y 叫做 x 的一次函数。特别地，当一次函数bkxy中的 b 为 0 时，k

40、xy（k 为常数，k0）。这时，y 叫做 x 的正比例函数。2、一次函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数bkxy的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数kxy 的图像是经过原点（0，0）的直线。k 的符号 b 的符号 函数图像 图像特征 k0 b0 y 0 x 图像经过一、二、三象限，y 随 x 的增大而增大。-20-第-20-页 共30页 b0 y 0 x 图像经过一、三、四象限，y 随 x 的增大而增大。K0 y 0 x 图像经过一、二、四象限，y 随 x 的增大而减小 b0 时，图像经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大；（2

41、）当 k0 时，y 随 x 的增大而增大（2）当 k0 k0 时，函数图像的两个分支分别 在第一、三象限。在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。x 的取值范围是 x0，y 的取值范围是 y0；当 k0 a0 y 0 x y 0 x 性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是 x=ab2，顶点坐标是（ab2，（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是 x=ab2，顶点坐标是（ab2，-25-第-25-页 共30页 abac442）；（3）在对称轴的左侧，即当 xab2时，y 随 x 的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当 x=ab2时，y 有最小值，aba

42、cy442最小值 abac442）；（3）在对称轴的左侧，即当 xab2时，y 随 x 的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当 x=ab2时，y 有最大值，abacy442最大值 2、二次函数)0,(2acbacbxaxy是常数，中，cb、a的含义：a表示开口方向：a0 时，抛物线开口向上 a0 时，图像与 x 轴有两个交点；当=0 时，图像与 x 轴有一个交点；当0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2 平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移，负

43、左移；k值正上移，负下移”函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占 3 分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）特别记忆-同左上加 异右下减(必须理解记忆)说明 函数中 ab 值同号，图像顶点在 y 轴左侧同左，a b 值异号，图像顶点必在 Y 轴右侧异右 向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减 -27-第-27-页 共30页 3、直线斜率：1212tanxxyyk b为直线在y轴上的截距4、直线方程：4、两点 由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式:)()(tan112121xxxxxyybxbkxyy 此公式有多种变形 牢记 点斜 )(11x

44、xkxyy 斜截 直线的斜截式方程，简称斜截式:ykxb(k0)截距 由直线在x轴和y轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：1byax 牢记 口诀 -两点斜截距-两点 点斜 斜截 截距 5、设两条直线分别为，1l：11yk xb 2l：22yk xb 若12/ll，则有1212/llkk且12bb。若12121llkk 6、点P（x0，y0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0)的距离:1)1(2002200kbykxkbykxd 7、抛物线cbxaxy2中，a b c,的作用 （1）a决定开口方向及开口大小，这与2axy 中的a完全一样.（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由

45、于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线 abx2，故：0b时，对称轴为y轴；0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.口诀-同左 异右 （3）c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置.当0 x时，cy，抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点（0，c）：0c，抛物线经过原点;-28-第-28-页 共30页 0c,与y轴交于正半轴；0c,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 0ab.特殊点坐标特征:坐标平面点(x,y),横在前来纵在后；(+,+),(-,+),(-,-)和(+,-),四个象限

46、分前后；X 轴上 y 为 0,x 为 0 在 Y 轴。对称点坐标:对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆，X 轴对称 y 相反,Y 轴对称,x 前面添负号；原点对称最好记,横纵坐标变符号。自变量的取值范围：分式分母不为零，偶次根下负不行；零次幂底数不为零，整式、奇次根全能行。函数图像的移动规律:若把一次函数解析式写成 y=k（x+0）+b、二次函数的解析式写成 y=a（x+h）2+k 的形式，则用下面后的口诀“左右平移在括号,上下平移在末稍,同左上加 异右下减 一次函数图像与性质口诀:一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单,经过原点一直线；两个系数 k 与 b,作用之大莫小看，k 是斜率

47、定夹角,b 与 Y 轴来相见,k 为正来右上斜,x 增减 y 增减；k 为负来左下展,变化规律正相反；k 的绝对值越大,线离横轴就越远。二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点,它们确定图象现；开口、大小由 a 断,c 与 Y 轴来相见,b 的符号较特别，符号与 a 相关联；顶点位置先找见，Y 轴作为参考线，左同右异中为 0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。若求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。反比例函数图像与性质口诀:反比例函数有特点,双曲线相背离的远;k 为正,图在一、三(象)限,k 为

48、负,图在二、四(象)限;图在一、三函数减,两个分支分别减。图在二、四正相反,两个分支分别添;线越长越近轴,永远与轴不沾边。-29-第-29-页 共30页 正比例函数是直线，图象一定过圆点，k 的正负是关键，决定直线的象限，负 k 经过二四限，x 增大 y 在减，上下平移 k 不变，由引得到一次线，向上加 b 向下减，图象经过三个限，两点决定一条线，选定系数是关键。反比例函数双曲线，待定只需一个点，正 k 落在一三限，x 增大 y 在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线 x、y 的顺序可交换。二次函数抛物线，选定需要三个点，a 的正负开口判，c 的大小 y 轴看，的符号最简便，x

49、轴上数交点，a、b 同号轴左边抛物线平移 a 不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。对称点坐标:对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆，X 轴对称 y 相反,Y 轴对称,x 前面添负号；原点对称最好记,横纵坐标变符号。关于x轴对称 2yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于x轴对称后，得到的解析式是2ya xhk；关于y轴对称 2yaxbxc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于y轴对称后，得到的解析式是2ya xhk；关于原点对称 2yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于原点对称

50、后，得到的解析式是2ya xhk -30-第-30-页 共30页 关于顶点对称 2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca；2ya xhk关于顶点对称后，得到的解析式是2ya xhk 关于点mn，对称 2ya xhk关于点mn，对称后，得到的解析式是222ya xhmnk 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式