广东省广州市南武中学2020届高三下学期周六测试(14)理科数学试题及答案4156.pdf

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1、 广州市南武中学高三理数周六测试（14）（离高考只有 14周）一、选择题（每题 5 分）1.已知集合4|0log1Axx，|2Bxx，则AB（）A.0,1 B.0,2 C.0,1 D.1,2 2.已知数列 na是等差数列，且1472aaa，则35t(an)aa的值为（）.A.3 B.3 C.33 D.33 3.如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第 1 次到第 14次的考试成绩依次记为1214,A AA，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是（）A.7 B.8 C.9 D.10 4.设,a b是非零向量,则“abab”是“ab”的

2、（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知(1ax)(1x)5的展开式中 x2的系数为 5，则 a A.4 B.3 C.2 D.1 6.若函数()sin()f xAx（其中0A，|)2图象的一个对称中心为(3，0)，其相邻一条对称轴方程为712x，该对称轴处所对应的函数值为1，为了得到()cos2g xx的图象，则只要将()f x的图象 A.向右平移6个单位长度 B.向左平移12个单位长度 C.向左平移6个单位长度 D.向右平移12个单位长度 7.如图所示，三国时代数学家赵爽在周髀算经利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等

3、的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为 30，若向弦图内随机抛掷 500 颗米粒（大小忽略不计，取31.732），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A.62 B.67 C.72 D.82 8.某校组织由 5 名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（）A.13 B.14 C.15 D.12 9.已知偶函数 yf x的定义域为 R，当0 x时，23sin,01221,1xx xf xx函数 2221g xxaxaaR，若函数 yg f x有且仅有 6个零点，则实数a的取值范围为

4、（）A.1,2 B.1,2 C.2,3 D.2,3 10.已知点,P a b与点1,0Q在直线2310 xy 的两侧，给出下列命题：2310ab；当0a 时，ba有最小值，无最大值；存在正实数m，使得22abm恒成立；当0a 且0a，0b 时，1ba 的取值范围是12,33 其中正确的命题是（）A.B.C.D.11.设1F，2F分别为双曲线222210,0 xyabab的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得123PFPFb，1294PF PFab，则该双曲线的离心率为（）A.43 B.53 C.94 D.3 12.已知,a bR，直线2yaxb与函数 tanf xx的图象在4x 处相切，设 2x

5、g xebxa，若在区间1，2上，不等式 22mg xm恒成立则实数m（）A.有最大值1e B.有最大值e C.有最小值e D.有最小值e 二、填空题（每题 5 分）13.若复数z满足3443i zi，则z的虚部为_.14.过抛物线2:20C ypx p的焦点且斜率为 2的直线与C交于A，B两点，以AB为直径的圆与C的准线有公共点M，若点M的纵坐标为 2，则p的值为_.15.如图所示,已知点G是ABC的重心,过点G作直线分别交AB，AC两边于M，N两点，且 AM xAB，ANyAC，则3xy的最小值为_.16.已知球O与棱长为2 2的正方体1111ABCDABC D的所有棱相切,点M是球O上一

6、点，点N是ABC的外接圆上的一点，则线段MN的取值范围是_.三、解答题 17.（本小题 12 分）在平面直角坐标系xOy中，锐角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆交于11,M x y，将的终边按逆时针方向旋转3，交单位圆于22,N xy，记 12fyy（1）求函数 f的值域（2）在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c若 3f C，7c，13 3sinsin14AB，求ABC的面积 18.（本小题 12 分）如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，DABDCB，1EAEBAB，32PA，接CE交AD于F （1）求证：AD平面C

7、FG；（2）求二面角BCPD的余弦值 19.（本小题 12 分）在ABC中，2AB，且sin1 2cossin1 2cos0ABBA.以边AB的中垂线为x轴，AB中点为坐标原点建立平面直角坐标系.（）求动点C的轨迹E的方程;（）已知定点0,4P，不垂直于AB的动直线l与轨迹E相交于MN、两点，若直线MP、NP关于直线AB对称，求PMN面积的取值范围.20.（本小题 12 分）某厂有 4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现 1 次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需 1名工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为13（1）问该厂至少有多少名维修工人才能保证每台机器在任何

8、时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不小于90%？（2）已知 1名工人每月只有维修 1台机器的能力，每月需支付给每位工人 1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，能使该厂产生 5 万元的利润，否则将不产生利润若该厂现有 2名工人，求该厂每月获利的均值 21.（本小题 12 分）已知函数（R）（1）当14a 时，求函数()yf x的单调区间；（2）若对任意实数(1,2)b，当(1,xb 时，函数()f x的最大值为()f b，求a的取值范围 从 22、23 题中任选一题作答（本小题 10 分）22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】已知圆的参数方程为cossinxy（0,2，为参

9、数），将圆上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变得到曲线1C；以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin4 24（1）求曲线1C的普通方程与曲线2C的直角坐标方程；（2）设为曲线1C上的动点，求点与曲线2C上点的距离的最小值，并求此时点的坐标 选修 45：不等式选讲 23.设函数,Rf xaxbaxb a b（1）若2a，1b，解不等式 4f x；（2）若对任意满足01x的实数x，都有 1f xaxb成立，求a的最大值 广州市南武中学高三理数周六测试（14）考试答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D A C C D B B A

10、 B D B A 13.45 14.4 15.4+2 33 16.6262,17.【解】（1）1siny,2sin3y,1 分 1213sinsinsinsincos322fyy 313sincos3sin2263 分 02,26634 分 33sin326,函数 f的值域是3,32.6 分（写成不等式给 1 分）（2）由 3sin36f CC知sin16C,0C,7666C.62C,3C.8 分 由7sinsinsin32abcABC,13 3sinsin14AB得13ab.10 分 由余弦定理22222cos3cababCabab,得40ab,11 分 1sin10 32ABCSabC.1

11、2 分 18.【解】（1）在ABD中,因为E是BD中点,所以1EAEBEDAB,故2BAD,3ABEAEB,因为DABDCB,所以EABECB,从而有FEDFEA,故EFAD,AFFD,2 分 又因为PGGD,所以FGPA.3 分 又PA 平面ABCD,所以GFAD,又EFGFF EF,GF 平面CFG,故AD平面CFG.5 分（2）以点A为坐标原点建立如图所示的坐标系,则0,0,0A,1,0,0B,33,022C,0,3,0D,30,0,2P,6 分 故13022BC,33 3222CP,33022CD,设平面BCP的法向量1111,ny z,则111130,223330,222yyz 解得

12、113,32,3yz 即13 21,33n.8 分 设平面DCP的法向量2221,nyz,则222330,223330,222yyz 解得223,2,yz即21,3,2n.10 分 设二面角BCPD的平面角为,则1212423cos41689nnn n.11 分 又由图可知,为钝角,故2cos4.12 分 19.解：()由sin1 2cossin1 2cos0ABBA得：sinsin2sinABC,1 分 由正弦定理24CACBABAB 3 分 所以点 C 的轨迹是：以,A B为焦点的椭圆(除y轴上的点),其中2,1ac，则3b，4 分 故轨迹E的轨迹方程为221043yxx.5 分()由题0

13、,4P，由题可知，直线 的斜率存在，设 的方程为0ykxm mk，6 分 1122,M x yN xy将直线的方程代入轨迹E的方程得:2223463120kxkmxm.由0 得，2234km，且 21212226312,3434kmmxxx xkk 7 分 直线MPNP、关于y轴对称,0MPNPkk，即1212440yyxx.8 分 化简得：1 212240kx xmxx,22231262403434mkmkmkk,得1m 9 分 那么直线过点0,1D,12122269,3434kxxx xkk,所以PMN面积：22121212421314182292416kSDPxxxxx xkk 10 分

14、 设21,1ktt 则,118196Stt,11 分 显然，S 在1,t上单调递减，90,2S.12 分 20【解】（1）设“机器出现故障设”为事件A，则1()3P A 设出现故障的机器台数为X，则1(4,)3XB，044216(0)C()381P X，1341232(1)C()3381P X，22241224(2)C()()3381P X，334128(3)C()3381P X，44411(4)C()381P X 故X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1681 3281 2481 881 181 设该厂有n名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为Xn，X0，1X，

15、2X，Xn，这1n个互斥事件的和事件，则 n 0 1 2 3 4()P Xn 1681 4881 7281 8081 1 因为728090%8181，所以至少要 3 名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不小于90%6 分（酌情给分）（2）设该厂获利为Y万元，则Y的所有可能取值为 18，13，8，7 分 8(18)(0)(1)(2)9P YP XP XP X，8(13)(3)81P YP X，1(8)(4)81P YP X9 分 故Y的分布列为10 分 Y 18 13 8 P 89 881 181 所以8811408()181389818181E Y ，11 分

16、故该厂获利的均值为140881万元12 分（不下结论扣分）21.解：（1）当14a 时，21()ln(1)4f xxxx，则11(1)()1122(1)x xfxxxx 且定义域是(1,)1 分（定义域写成1x 不给分）令()0fx，得10 x 或1x；令()0fx，得01x，3 分 函数()f x的单调递增区间为(1,0)和(1,)，单调递减区间为(0,1)4 分（2）由题意2(1 2)()(1)(1)xaxafxxx，（1）当0a时，函数()f x在(1,0)上单调递增，在(0,)上单调递减，此时，不存在实数(1,2)b，使得当(1,xb 时，函数()f x的最大值为()f b5 分（2）

17、当0a 时，令()0fx，有10 x，2112xa，当12a 时，函数()f x在(1,)上单调递增，显然符合题意6 分 当1102a 即102a时，函数()f x在(1,0)和1(1,)2a上单调递增，在1(0,1)2a上单调递减，()f x在0 x 处取得极大值，且(0)0f，要使对任意实数(1,2)b，当(1,xb 时，函数()f x的最大值为()f b，只需(1)0f，解得1 ln2a，又102a，所以此时实数a的取值范围是11ln22a8 分 当1102a 即12a 时，函数()f x在1(1,1)2a和(0,)上单调递增，在1(1,0)2a上单调递减，要存在实数(1,2)b，使得当

18、(1,xb 时，函数()f x的最大值为()f b，需1(1)(1)2ffa，代入化简得1ln2ln2 104aa，令11()ln2ln2 1()42g aaaa，因为11()(1)04g aaa恒成立，故恒有11()()ln2022g ag，所以12a 时，式恒成立，11 分 综上，实数a的取值范围是1ln 2,)12 分 22.解：（）由已知曲线1C的参数方程为3cos(sinxy，为参数），1 分 则1C的普通方程为2213xy；2 分 由2C：sin4 24cossin8，且cosx，siny 5 分 由互化公式得2C的直角坐标方程为8xy 5 分（）设点(3cossin)P，到直线2C：80 xy的距离为d，6 分 2sin83cossin8322d，7 分 当sin13，即6时，9 分 min3 2d，此时点3122P，10 分 23.【解】（1）由2a,1b 得 14,21121212,2214,2x xf xxxxx x 故 4f x 的解集为1,1.5 分（2）由对任意满足01x的实数x,都有 1f xaxb,即1axb 令0 x 得1b,令1x 得1ab,故2ababbab 即a的最大值为 2,当2a,1b 取等号.10 分