伸优培训学校网络直播课模板第三讲：实数的运算&分数指数幂-(教师版)14023.pdf

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1、伸优培训学校初一第二学期免费直播课程 第十二章 实数 第 1 页 共 11 页 第 3 讲 实数的运算&分数指数幂 用数轴上的点表示实数 一、【知识点精讲】知识点 1 用数轴上的点表示无理数 方法一：用画图的方法找到数轴上的一个点来表示它.例如：边长为1的正方形,对角线长为2（这在学习了直角三角形中勾股定理后很容易知道,现在暂不作介绍）,我们可以在数轴上以一个单位长为边长作一个 2 正方形,以原点O为圆心,正方形对角线为半径作弧,与数轴正(2)B O 2 半轴交于点A就表示无理数2,与数轴负半轴交于点B就表示 图 1 无理数2.方法二：用无限不循环小数点的近似值来确定这个点的位置.例如：可以精

2、确到百分位的近似数3.14来确定数轴上表示这个点的位置.1 0 1 2 33.14 4 x 知识点 2 数轴上的点和实数成一一对应 每一个有理数和无理数都可以用数轴上的一个点来表示,反过来数轴上的每一个点都可以用一个有理数或无理数表示.为有理数和无聊隶属统称为实数,因此,全体实数所对应的点布满了整个数轴,数轴上的点和实数成一一对应.知识点 3 实数的相反数和绝对值 一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离,叫做这个数的绝对值,实数a的绝对值记作a,a 当0a 时 a 0 当0a 时 a 当0a 时 绝对值相等,符号相反的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零,非零实数a的相反数是a.知识点 4 两

3、个实数大小的比较 两个实数可以比较大小,其大小顺序的规定同有理数一样,负数小于零,零小于正数,两伸优培训学校初一第二学期免费直播课程 第十二章 实数 第 2 页 共 11 页 个正数,绝对值大的数较大;两个负数,绝对值大的反而小,从数轴上看,右边的点所表示的数总比左边的点索表示的数大.知识点 5 同一数轴上,两点间的距离 在数轴上,如果点A、点B索对应的数分别是ab、,那么AB、两点的距离ABab .方法与技能：当有理数系扩展到实数后,有理数的绝对值、相反数、大小比较法则都自然延伸到实数系.有关概念、性质仍然正确,特别是数形结合思想仍然是研究的重要方法.了解了数学系扩大的原则,大大的提高了学习

4、的效率.二、【典型例题】【例 1】写出下列各数的相反数与绝对值：0.5,12,7,0,5,37【分析】与有理数一样,实数(0)a a 的相反数是a;实数a的绝对值的为(0)a a 或(0)a a.【解答】0.5的相反数是0.5,绝对值是0.5;12的相反数是21,绝对值是21;7的相反数是7,绝对值是7;0的相反数是0,绝对值是0;5的相反数是5,绝对值是5;37的相反数是37,绝对值是37 【例 2】比较53与13的大小.【分析】52.236,532.23630.764 31.732,131 1.7320.732 可以先将无理数用近似的有限小数表示,转化为有理数后再进行比较.【解答】532.

5、23630.764 131 1.7320.732 0.7640.732 5313 伸优培训学校初一第二学期免费直播课程 第十二章 实数 第 3 页 共 11 页 【例 3】如图 2,在数轴上,如果点A、点B所对应的数分别为6和3,求AB、两点间的距离.B A 3 1 0 1 26 3 图 2【解答】6(3)6363AB 【注】也可以这样计算：3636)(36)36AB 【例 4】已知abc、在数轴上的位置如图 3 所示,则22()aabacbc 的值等于（）（A）2ca （B）2ab（C）a （D）b b a 0 c 图 3【解答】如图所示,知bac .22,(),()aa ababacca

6、bcbc 原式aabcabca .选（C）.【例 5】当1x 是,2(2)21xxx （）（A）0 （B）44x （C）44x （D）44x【解答】21,20,(2)2,1 1,xxxx xx 原式22(1)44xxxx,选（B）.【例 6】当299x的值最大时,x的值是（）（A）9 （B）3 （C）3 （D）3【解答】2290,999xSx.当且仅当290 x时,S的值最大,为9,此时3x,选（D）.伸优培训学校初一第二学期免费直播课程 第十二章 实数 第 4 页 共 11 页【分析】由于二次根式x表示x的算术平方根,隐含条件是0 x,0 x,结合不等式的性质,获得如上.对于ab 的几何意义

7、是表示数轴两点ab、间的距离,也是数形结合重要知识点,首先0ab ,其次与实数绝对值概念结合,当ab时,abba .这是有广泛应用的知识点.三、【课堂针对练习】1.无理数可以用（）点来表示.2.数轴上的点都表示（）数.3.在数轴上表示5的点离开原点的距离是（）.434的相反数、绝对值依次是（）、（）.5.设15在数轴上对应的点是M,10在数轴上对应的点是N,那么M、N两点间的距离是 （）()1510()1510()1015()1015ABCD 6.比较下列各组数的大小.(1)210(2)210(3)3 34 2(4)3526与与与与 实数的运算（2）一、【知识点精讲】知识点 1 算术平方根的积

8、和商 伸优培训学校初一第二学期免费直播课程 第十二章 实数 第 5 页 共 11 页(0,0)(0,0)a bababaaabbb 注意：公式都是双向的,既可从左到右,也可从右到左,这里的,ab都是算术平方根,非算数平方根,公式不一定成立.333a bab当且仅当0,0ab时,成立.如0,0ab,就不能直接应用,应将3a化为3a 再进行.另一方面,对于上节已提到的算术根的基本性质nknmkmaa,更要仔细对待.对于a bab,如下的应用十分频繁：22a baba b(根号内的数可以移到根号外;反过来,也可把根号外的数移到根号内),这里要特别注意a的正负,如0,a 则22.a baba b 知识

9、点 2 近似数的精确度 近似数与准确数的接近程度即近似程度,近似的程度的要求叫做精确度.近似数的精确度有以下两种表达方式：一种是精确到哪一个数位,例如精确到千分位（即保留 3 位小数）,那么准确数与近似数的误差不大于 0.0005（即万分之五）,这是因为近似数是经过四舍五入截取得到的.另一种是指定保留几个有效数字.对于一个近似数,从左边第一个不是零的数字起,往右到末尾数字为止的所有数字,叫做这个近似数的有效数字.如果保留五个有效数字,的近似值为 3.1416.那么的准确值在 3.14155 与 3.14165 之间,绝对误差为 0.00005.如用代表圆周率的准确值,则3.14160.0000

10、5.利用无理数的近似数作计算时,中间过程中,应比最后要求精确度多保留一位数字,到最后再按四舍五入法,按最后要求取近似值.知识点 1 和 2 都是难点,应结合典例剖析仔细理解.二、【典型例题】【例 1】不用计算器,计算：3221011(1)2 101010;(2)52;332(3)6;(4)(32)(32).【分析】掌握实数的加减乘除运算,通过合并同类项以及算术平方根的积和商来计算.伸优培训学校初一第二学期免费直播课程 第十二章 实数 第 6 页 共 11 页 322222101(1)2 10101033101(2)1033(23)101(2)5225222 5(3)6666 6(4)(32)(

11、32)(32)(32)(32)1.【解答】【例 2】已知0,0,mn化简：33(1);(2)mmnn（使分母不含根号）.【分析】运用算数平方根的积和商来计算【解答】2(1);()()mm nmna babnnn 322333333333()(2).()()mmnmna babnnn 【例 3】化简102 102,再用计算器求值,要求保留两位小数.【分析】运用算数平方根的商运算 102 102102 10252 102.236 3.1422 3.1627.0266.32513.351C【解答】伸优培训学校初一第二学期免费直播课程 第十二章 实数 第 7 页 共 11 页【例 4】计算：03313

12、213(1)(121).82 【解答】3333327333()8822,2132(31)2 32,011(1)1214 312 3122 ，312 32(2 31)222.原式 【例 5】当0a 时,ba化成分母不含根式的式子.【解答】221(0,).babababaaaaaaa 【例 6】化简的3(0)aa结果是 （）()()()()A aaBa aCaaD a a 333322()0,0.()()()()().().aaaaaaaaaaba baaC 【解答】选 三、【课堂针对训练】1计算3258的结果是（）（A）3 （B）7 （C）3 （C）7 2下列式子中,正确的是（）（A）3.60.

13、6 （B）2(13)13 （B）3355 （D）366 3下列各式中,正确的是（）伸优培训学校初一第二学期免费直播课程 第十二章 实数 第 8 页 共 11 页 （A）164 （B）326(3)6aa （C）2(3.14)3.14 （D）0(3.14)1 4要使021(1)(xx有意义,则x的取值范围是（）（A）1x （B）x （C）1x且x （D）1x 且 x 5.如果222100abb ,那么a ,b.6如果0 xx ,则2()xx .分数指数幂 一、【知识点精讲】知识点 1 （1）分数指数幂概念.把指数的取值范围扩大到分数,我们规定：1(0),(0),mmnmnnnmaaaaaa其中,m

14、 n为正整数,1n.在这规定中的mna与mna叫做分数指数幂,a是底数.(2)有理数指数幂概念 整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂.知识点 2 运用有理数指数幂的性质计算（1）有理数指数幂运算性质：设0,0,abpq、为有理数,那么,pqp qpqp qaaaaaa()pqpqaa(),()ppppppaaaba bbb（2）利用幂的性质计算.幂的指数取值范围扩大到有理数后,幂的运算性质仍旧适用.二、【典型例题】伸优培训学校初一第二学期免费直播课程 第十二章 实数 第 9 页 共 11 页【例1】把下列方根转化为幂的形式,幂的形式转化为方根形式.243654335411(1)43(2)3

15、(3)(4)81(5)7(6)3(7)()515【分析】分数指数幂与方根互化时,方根的根指数作为分数指数的分母,被开方数的指数作为分数指数的分子.【解答】1411212143563353431(1)43(2)3(3)15(4)8193(5)7(6)3(7)()5或或 【例2】计算：（结果用幂的形式表示）12111211111033336552228(1)()(2)1010(3)28(4)(5)(25)27aaa【分析】运用有理数指数幂的运算性质计算 【解答】11333822(1)()()2733 212 1333 311112222111 1 1113362 3 632212110101042

16、5555(2)10101010(3)28(2 8)164(4)(5)(25)(2)(5)25400aaaaaa 【例3】利用幂的运算性质运算：334(1)55(2)82(3)123 【分析】利用方根形式转化为幂的形式,通过幂的性质来解决.【解答】1516536362(1)5555553125 1111315344242424111444(2)8282(2)222222 22 2 111 11123332 322166(3)123(23)32 332 32 32 3 【例4】化简：a bb cc ac aa bb cb cc aa bxxx 【分析】利用分数指数幂化简求值.伸优培训学校初一第二学

17、期免费直播课程 第十二章 实数 第 10 页 共 11 页【解答】a bb cc ac aa bb cb cc aa bxxx 111()()()()()()b cc aa ba bb cc ac aa bb cb cc aa bc a a ba b b cb c c ab cc aa bc aa ba bb cb cc axxxxxxxxx ()()()()()()()()()01b c b cc ac aa ba bc aa b b cxx【例 5】已知15533515,abc说明530abbcac成立.【分析】引用辅助字母,利用幂的运算性质找出,a b c的关系.【解答】设1553351

18、5.abck 当0abc时,等式显然成立.若0,abc 则 115151551333,5,15,aabbcckkkkkk 所以1111155155153 5ababkkk 因为1k,所以111,3155cab 两边同乘以15abc得 53.abbcac 所以530.abbcac 三、【课堂针对训练】1.把3115写成幂的形式 .2.把326写成方根的形式 .3.如果0,a 则112332()()aa （）伸优培训学校初一第二学期免费直播课程 第十二章 实数 第 11 页 共 11 页()0()2()2()2ABaCaDa 4.121()aa=.5.计算11112222()()xyxy .6.计算：34(2)aaa 7.计算：3a a a 【课后作业布置】1已知xy、为实数,224412xxyx,求34xy的值.2已知611xx,求（1）61?xx（2）?x 3计算2283 2(32 2)(21).4已知等式2693xxx2(3)0 x求x的值 5已知18,xx且1xx,试求1xx的值.6.23(0,0).xxyxyy 7.化简：1163()()xyyx 8.解答题：已知2212213333334,3,3,abxaa byba b求2233()()xyxy的值.