2016数学竞赛训练题(上册)46704.pdf

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1、函数与极限 3.求xxxaax1111lim，其中0,1aa.4、设当0 x 时，方程211kxx有且仅有一个解，求k的取值范围.5求11201cos2lim4nntdtnt.6、设()f x在上连续,a b，证明：12200lim()d(0)2hhf xxfhx。证明：()f x在上连续,a b，因而有界，所以0M，当,xa b时有()f xM。8、设 函 数(,)f x y可 微，1)2,0(),(),(,fyxfyxfx，且 满 足ynneyfnyfcot),0()1,0(lim，求(,)f x y。9 求曲线1(0)(1)xxxyxx的斜渐近线方程。10、设函数()f x在,a b上连

2、续，在(,)a b内二阶可导，且()()0f af b，()0,()0fafb，证明：12,(,)a b，使得12()0,()0ff。11、设函数()f x满足(1)1f，且对1x时，有221()()fxxfx，证明：(1)lim()xf x存在；（2）lim()14xf x。12、设(,)f u v具有二阶连续的偏导数，且满足22222ffuv，用变量代换uxy，221()2vxy将(,)f u v变成(,)g x y，试求满足222222ggabxyxy的常数a和b。13设 1sin0lim0nnxxxf xnxxnx，试讨论 f x在0 x 处的连续性。14设2222tan(),(,)(

3、0,0)(,)0,(,)(0,0)xyxyx yxyf x yx y，证明：(,)f x y在（0,0）处可微，并求(0,0)(,)df x y。15 求221003301(1)2(21)!2lim(1)xnnnnxxxtdtnxxe 分析：由于21210011(1)2(1)()2(21)!(21)!2nnnnnnnttnn=2sin2ttR 且：03 111(1)12lim133xxxex 16试求2211lim()()nnnijnni nj的值。导数与微分 1.设,222zyxu求函数u在点M(1,1,1)处沿曲面222yxz在点M处的外法线方向n的方向导数Mnu 2、设),()(0),(

4、)(uuyxuuyuxz其中函数),(yxzz 具有二阶连续偏导数，证明：6 xxf22/tan)(sin，求)(xf 7.已知 1)()(/xfxxf，求)(xf 8.设)(uf在u内可导，且0)0(f，又 1101)(ln/xxxxf，求)(uf 9.设)(xfy 在x处的改变量为)(1xoxxyy（0 x），1)0(y，求)1(/y 10.由方程1sine220y0tdtttdtx（0 x）确定y是x的函数，求dxdy 11.)(xyy 是由012dtexxyt确定的函数，求0/xy 12、设函数),(zyxfu 是可微函数，如果,zfyfxfzyx证明：u 仅为222rxyz的函数。中

5、值定理与导数的应用 1设函数 f（x，y)可微，且对任意 x,y,t,满足),(),(2yxfttytxf，)2,2,1(0P是曲面),(:yxfz 上的一点，求当4)2,1(xf时，在点0P处的法线方程.2.设连续函数()f u在 u=0 处可导,且(0)0f，(0)3f 。试求：422222221 0lim()d d dttxyztfxyzx y z.3、设函数()f x在(1,)上可微，且对1x 满足 2222()()()1)xfxfxxfx证明：.)(limxxfx 4、设二元函数xyyxyxu2275),(，其定义域为75),(22xyyxyxD（1）设点,),(00DyxM求过点0

6、M的方向向量l，使0Mlu为最大，并记此最大值 为),(00yxg.(2)设0M在 D 的边界7522xyyx上变动，求),(00yxg的最大值.5、设函数()f x在,a b上连续，且存在(,)ca b使得()0fc，证明：(,)a b 使得()()()ff afba。7 设函数2(,)()xf x yeaxby，若(1,0)f 为(,)f x y的极大值，求常数,a b满足的条件。9、设函数()f x在,a b上有连续的导数，且存在,ca b，使得()0f c，证明：存在(,)a b，使得()()()ff afba 10、设在上半空间0z上函数有连续的二阶偏导数，且2(),(),(),xy

7、zuxyzxr uxyr uxzzr 其中222rxyz，0lim()rr存在，(,)(0,0,0)lim(,)0 x y zu x y z，(,)0div gradu x y z，求(,)u x y z的表达式。11.设()f x在,)a 上二阶可导，且,0)(,0)(afaf而当ax 时,0)(xf证明在(,)a 内，方程()0f x 有且仅有一个实根 12.设),(yxf有 二 阶 连 续 偏 导 数,),(),(22yxefyxgxy,且)1(1),(22yxoyxyxf,证明),(yxg 在)0,0(取得极值,判断此极值是极大值还是极小值,并求出此极值.13.设 f(x)在 0,1

8、上连续,f(0)=f(1),求证:对于任意正整数，必存在 1,0nx，使)1()(nxfxfnn 14.是其中求且有连续的二阶导数设)(,)()(lim,0)(,0)0()0(,)(0)(00 xudttfdttfxfffxfxxux 15、(10 分)讨论是否存在 0,2 上满足下列条件的函数,并阐述理由:f(x)在 0,2 上有连续导数,f(0)=f(2)=1,.1|)(|,1|)(|20dxxfxf 不定积分与定积分 1求不定积分2dxy，其中：22()yxyx.2.设曲线是平面1xyz与球面2221xyz的交线，试求积分2()dxys.3、求最小的实数 C，对于连续函数()f x，总有

9、1100()|()|fx dxCf xdx成立。4、设球22221:xyzR和球2222:2(0)xyzRz R的公共部分体积为512时，求1的表面位于2内的部分1S的面积.5设1(),(1)xf xt tdtx，求曲线()f x与 x 轴所围封闭图形的面积S.6、是否存在0,上的连续函数()f x，使得：203()sin4f xx dx 与 203()cos4f xx dx成立 7、设在上半平面0),(yyxD内，函数),(yxf具有连续偏导数，且对任意的0t都有),(),(2yxfttytxf.证明：对 D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有 Ldyyxxfdxyxyf0),(),(

10、.8、设函数)(xf在区间0,1上具有连续导数，1)0(f，且满足 ttDDdxdytfdxdyyxf)(),(，其中)10(0,0),(ttxxtyyxDt.求)(xf的表达式.9 设是由锥面22zxy与半球面222zRxy围成的空间区域，是的整个边界的外侧，计算ddd dd dxyzyzxzxy。10、设 二 元 函 数222,1,(,)1,12,xxyf x yxyxy(,)|2Dx yxy，求(,)dDf x y。11 设()f x为周期函数，证明：222202(cossin)d2(sin)df axbxxfabxx。12设222:1xyz，计算222222()dxyzvabc。13、

11、求 曲 线 积 分222222()d()d()dLIyzxzxyxyz，其 中L是 球 面2222xyzbx与柱面222(0)xyaxab的交线在0z 的部分，L的方向规定为：从z轴正向往下看曲线L所围成的球面部分总在L的左边。14 设是由锥面22zxy与半球面222zRxy围成的空间区域，是的整个边界的外侧，试求：d dd dd dx y zy z xz x y 微分方程 5 设二阶线性微分方程xyaybyce（,a b c均为常数）有特解2(1)xxyexe，求此方程的通解.6、设 函 数,2,1,0),)1()1(31)1()(211nnxnnxyn2()yx是 方 程2sinxyyyex满足条件1(0)0,(0)3yy 的特解，求广义积分 120min(),()dy xyxx.7求方程2(2)(2)ln(2)xyx yyxx的通解.8 求以函数()3sin3xy xxex为特解的四阶常系数齐次线性微分方程的表达式和通解。9.10.11.12.