广东省广州市(广附、广外、铁一)2020-2021学年高二下学期期中三校联考数学试题及答案3623.pdf

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1、高二数学试卷第 1 页（共 4 页）2020-2021学年下学期期中三校联考高二数学命题学校：广大附中本试卷共 4 页，22 小题，满分 150分。考试用时 120分钟。一、选择题：本大题 8 小题，每小题分，共 40 分。1 设全集I R，集合2|log,2Ayyxx，|1Bxyx，则（*）A A BB A BAC A B D BCAU2 设(1+)=1+，其中，是实数，则|+|=(*)A 1B 2C 3D 23 已知函数(1)fx 的定义域为-2，3，则函数(2 1)f x 的定义域为（*）A-1,9 B-3,7C 2,1D 12,24 函数 f(x)=15sin(x+3)+cos(x 6

2、)的最大值为（*）A 65B 1C 35D 155 围棋起源于中国，据先秦典籍世本记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束假设每局比赛甲胜乙的概率都为23，且各局比赛的胜负互不影响，则在不超过 4 局的比赛中甲获得冠军的概率为（*）A 19B 827C 1627D 17816 已知随机变量 21,X N，且 0PXPX a，则43221 ax xx的展开式中2x的系

3、数为（*）A 40B 120C 240D 2807.在某班进行的歌唱比赛中，共有 5 位选手参加，其中 3 位女生，2 位男生。如果 2 位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的不同排法种数为（*）A 30B 36C 60D 728 过曲线22122:1(0,0)xyCabab的左焦点1F作曲线2222:C xya的切线，设切点为,M延长1F M交曲线23:2(0)C ypx p于点,N其中13,C C有一个共同的焦点，若10,MF MN 则曲线1C的离心率为（*）A 5 12B 5C 2 12D 2高一数学试卷第 2 页（共 4 页）二、多选题：本大题 4 小题，每小题分，

4、共 20 分。9 下列说法正确的是（*）A 对于独立性检验，随机变量2K的观测值k值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越小B 在回归分析中，相关指数2R越大，说明回归模型拟合的效果越好C 随机变量,Bnp，若 30E x，20D x，则45n D 甲、乙、丙、丁 4 个人到 4 个景点旅游，每人只去一个景点且每个景点都有人去，设事件 M为“4个人去的景点各不相同”，事件 N为“甲不去其中的 A景点”，则 P(MN)3410下列说法正确的是（*）A 已知直线 l 平面，直线 m 平面，则“”是“l m”的必要不充分条件B“存在两条异面直线,ababab”是“”的充分条件C“,ab是正数”是“

5、2a bab”的充分不必要条件D 函数222(3)2xyx的最小值为 411如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P在线段 B1C上运动，则（*）A 直线 BD1平面 A1C1DB 三棱锥 P A1C1D的体积为定值C 异面直线 AP 与 A1D所成角的取值范围是45，90D 直线 C1P与平面 A1C1D所成角的正弦值的最大值为6312设函数 lnxfxx，lngxx x，下列命题，正确的是（*）A 函数 fx在 0,e上单调递增，在,e单调递减B 不等关系33ee成立C 若120 x x 时，总有22212122ax xgxgx恒成立，则1a D 若函数 2hxgx mx有两个极

6、值点，则实数 0,1m三、填空题：本大题 4 小题，每小题分，共 20 分。13已知2,1a ，,1b，若a与b共线，则实数的值为_*_.14已知随机变量X的分布列如下：X013P1312a若随机变量 Y满足31YX，则 Y的方差DY _*_.15已知定义在,3上的单调减函数 fx使得21 sin2cosfxfax对一切实数x都成立，则a的取值范围为_*_.高二数学试卷第 3 页（共 4 页）16 矩形ABCD中，3,1ABBC，现将ACD沿对角线AC向上翻折，得到四面体D ABC，则该四面体外接球的体积为_*_；设二面角D AC B的平面角为，当在,3 2 内变化时，BD的范围为_*_.四、

7、解答题：本大题 6 小题，第 17 题 10 分，其余各题 12 分，共 70 分。17已知数列na的前n项和为*nS n N 1若na为等差数列，11a，65119aa，求nS和na的表达式；2若数列nS满足12211135222nnSSSn，求na18已知在 ABC中，3sin（A+B）1+2sin22C（1）求角 C的大小；（2）若BAC 与ABC 的内角平分线交于点，ABC 的外接圆半径为2，求ABI周长的最大值19.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，将 AEDDCF，分别沿DE，DF折起，使 AC，两点重合于P.（1）求证：平面PBDBFDE平面；（2）求二面

8、角P DE F的余弦值.20椭圆有两个顶点),0,1(),0,1(BA过其焦点)1,0(F的直线l与椭圆交于DC,两点，并与x轴交于点P,直线AC与BD交于点Q.（1）当223CD时，求直线l的方程；（2）当P点异于BA,两点时，证明：OQOP 为定值。高一数学试卷第 4 页（共 4 页）21在新的高考改革形式下，全国某些省市2020年入学的高一学生都进行了选科，为了解学生的选科情况，广大附中高一年级对已经选了3(语文、数学、外语)+物理的学生如何选择另外两门学科进行了调整，另外两科有6种组合：化学+生物，生物+地理，化学+地理，生物+政治，化学+政治，政治+地理.假设学生选择每种组合是等可能

9、的.（1）每名学生若选全理(即化学+生物)或全文(即政治+地理)记1分，若文理皆有(其余4种组合)记2分，且每名学生如何选科是相互独立的，现有甲、乙、丙3名学生，记总得分为X，求X的分布列及数学期望；（2）如图所示的条形图显示了广大附中高一年级50名学生另外两门学科选择情况的统计结果.教学班要求每班人数不低于45人，且不超过50人，若低于45人，则需要加入选择其他组合的学生，编成混合班，但混合班要求学生选择的另外两门学科中有一门共同学科，同时尽最大限度减小混合班个数，也不出现含3个组合的混合班，试通过条形图，以频率估计概率，预测我校高一年级 800名学生的组班情况，请给出一个较合理的编班方案，

10、指明最少需要组成几个混合班，是什么样的组合？22已知函数 xfxxe ax（1）若函数 fx有两个极值点，求实数a的取值范围;（2）若函数 ln 2fxgxxx，当0a 时，证明：2,0,0 xgx 高二数学试卷 第1页（共 4 页）参考答案 1A 2B 3D 4A 5C 6D 7C 8A 9BD 10BC 11ABD 12AC 132 149 15(,1 1643；710,22.17解：()1设等差数列 na的通项为()()1111naandnd=+=+（d为等差数列的公差），则651 5111 49adad+=+，解得2d=，所以12nan=，()()121 1 222nnn aannSn

11、+=4()2 12211135222nnSSSn+=+，当2n 时，()1212111131532222nnSSSnn+=+=+，由得，132nnS=，3 2nnS=，当1n=时，1182S=，116S=，所以3 2,2,16,1.nnnSn=当1n=时，1116aS=；当2n=时，22112 164aSS=；当3n 时，113 2nnnnaSS=，所以116,14,23 2,3nnnann=.10 18（1）3sin（A+B）1+2sin22C，且 A+B+C，3sinC1+1cosC2cosC，即3sinC+cosC2，sin（C+6）1C（0，），C+6（6，76），C+62，即 C35

12、（2）ABC 的外接圆半径为 2，由正弦定理知，sinABACBsin3AB224，AB2 3，6 ACB3，ABC+BAC23，BAC 与ABC 的内角平分线交于点，ABI+BAI3，AIB23，设ABI，则BAI3，且 03，在ABI 中，由正弦定理得，sin()3BIsinAIsinABAIB2 32sin34，BI4sin（3），AI4sin，9 ABI 的周长为 23+4sin（3）+4sin23+4（32cos12sin）+4sin 高二数学试卷 第2页（共 4 页）23+23cos+2sin4sin（+3）+23，03，3+323，当+32，即6=时，ABI 的周长取得最大值，最

13、大值为 4+23，故ABI 的周长的最大值为 4+2312 19.（1）证明：连接EF交BD于O，连接OP.在正方形ABCD中，点E是AB中点，点F是BC中点，所以 BEBFDEDF=，所以DEBDFB，所以在等腰DEF中，O是EF的中点，且EFOD，因此在等腰PEF中，EFOP，从而EFOPD 平面，又EFBFDE 平面，所以平面BFDEOPD 平面，即平面PBDBFDE 平面.5（2）方法一：在正方形ABCD中，连接AF，交DE于G，设正方形ABCD的边长为 2，由于点E是AB中点，点F是BC中点，所以RtRtDAEABF，于是ADEFAB=，从而90ADGDAGEAGDAG+=+=，所以

14、AFDE，于是，在翻折后的几何体中，PGF为二面角PDEF的平面角，7 在正方形ABCD中，解得2 55AG=，3 55GF=，所以，在PGF中，2 55PGAG=，3 55GF=，1PF=，由余弦定理得2222cos23PGGFPFPGFPG GF+=，所以，二面角PDEF的余弦值为23.12 方法二：设正方形边长为 2，则 PD=2，PE=PF=1，EF=2，由勾股定理逆定理得 EF2=PE2+PF2，即 PEPF。由题知 PEPFPD，两两互相垂直，故以P为原点，向量 PFPEPD，方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系.7 则()0 0 0P，()0 1 0E，()1

15、 0 0F，()0 0 2D，.所以()1 1 0EF=，()0 1 2ED=，.设()xyz=m，为平面EFD的一个法向量，由EFEDmm得020 xyyz=+=，令1x=，得11 1 2=m，又由题知()1 0 0=n，是平面PED的一个法向量，所以2cos 3=m nmnmn，.所以，二面角PDEF的余弦值为23.12 20 高二数学试卷 第3页（共 4 页）6 12 21（1）分布列见解析，()5E X=；（2）答案见解析.（1）选全理(即化学+生物)或全文(即政治+地理)的概率为13，即记1分的概率为13，因而记2分的概率为23，易知X的可能取值为3、4、5、6，且3303121(3

16、)()()3327P XC=，2213122(4)()()339P XC=，1123124(5)()()339P XC=，0033128(5)()()3327P XC=，X的分布列为：X 3 4 5 6 P 127 29 49 827 高二数学试卷 第4页（共 4 页）1248()34565279927E X=+=；6 （2）分情况进行讨论：组合：50人中选择的有3人，其频率为350，预测全校 800 名学生选择的人数为38004850=，独立成一个班；组合：50人中选择的有17人，其频率为1750，预测全校 800 名学生选择的人数为1780027250=，独立成五个 50 人的班，剩下 2

17、2 人；组合：50人中选择的有20人，其频率为202505=，预测全校 800 名学生选择的人数为28003205=，独立成六个 45 人的班和一个 50 人的班；组合：50人中选择的有5人，其频率为515010=，预测全校 800 名学生选择的人数为18008010=，独立成一个班，至少剩下3035人；组合：50人中选择的有3人，其频率为350，预测全校800名学生选择的人数为38004850=，独立成一个班；组合：50人中选择的有2人，其频率为215025=，预测全校800名学生选择的人数为18003225=。生物+地理 生物+政治 政治+地理 22 人 3035人 32 人 减小混合班个

18、数，把的 13 人与混合成一个 45 人的班，剩下的 22 人与剩下的 22 人，以及从的 50 人班里抽一人出来一起编成 45 人的班级.故最少是 2 个混合班。12 22（1）210ae；（2）证明见解析（1）()(1)xfxx ea=+，()0fx=，由题意则(1)xax e=+有两个不等实根 设()(1)xh xx e=+，()(2)xh xx e=+，2x 时，()0g x，()g x递减，2x 时，()0g x，()g x递增，所以2min21()(2)g xgee=，2x 时，()0g x且x 时，()0h x，而(1)0g=，所以方程(1)xax e=+有两个不等实根则210ae；5（2）由已知()ln(2)xg xex=+，1()2xg xex=+，易知()g x在(2,)+上是增函数，高二数学试卷 第5页（共 4 页）1(1)10ge=，1(0)02g=，因此在(1,0)上存在唯一的0 x，使得00()g x=，当02xx 时，()0g x，()g x递减，当00 xx时，()0g x，()g x递增，所以0min00()()ln(2)xg xg xex=+，而0001()02xg xex=+，0012xex=+，00ln(2)xx+=，所以200000(1)1()022xg xxxx+=+=+，所以()()2,0,0 xg x 12