高中数学竞赛讲义-高斯函数3005.pdf

《高中数学竞赛讲义-高斯函数3005.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学竞赛讲义-高斯函数3005.pdf（7页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、梦想不会辜负每一个努力的人.-1-28 高斯函数 数论函数xy，称为高斯函数，又称取整函数.它是数学竞赛热点之一.定义一：对任意实数,xx是不超过x的最大整数，称x为x的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数.,xxxxy 由x、x的定义不难得到如下性质：（1）xy 的定义域为 R，值域为 Z；xy 的定义域为 R，值域为)1,0（2）对任意实数x，都有10,xxxx且.（3）对任意实数x，都有xxxxxx1,1.（4）xy 是不减函数，即若21xx 则21xx，其图像如图 I 451；xy 是以 1 为周期的周期函数，如图 I 452.图451 图452（5）;xnxxnnx.其中NnRx,.

2、（6）niiiniiRxxxyxyxxyxyx11,;；特别地，.banbna（7）yxxy，其中 Ryx,；一般有niiiniiRxxx11,；特别地，NnRxxxnn,.（8）nxnx，其中NnRx,.-2-例题讲解 1求证：,2!211knnn其中 k 为某一自然数.2对任意的01.22,KkknSNn计算和 3计算和式.5033055020的值nnS 4设 M 为一正整数，问方程222xxx，在1，M中有多少个解？5求方程.0514042的实数解xx -3-6.33221:,nnxxxxnxNnRx证明 7对自然数 n 及一切自然数 x，求证：.121nxnnxnxnxx.8求出310

3、1010020000的个位数字 梦想不会辜负每一个努力的人.-4-例题答案：1证明：2 为质数，n!中含 2 的方次数为 1.2)!(2ttnn 若111122111112222122)!(2,2tktkktktkknnn则 故!.|21nn 反之，若 n 不等于 2 的某个非负整数次幕，可设 n=2sp，其中 p1 为奇数，这时总可以找出整数 t，使22)!(22!,222211ppnnpsstst的方次数为中所含于是 02pts.222)12(2)222(21pnpppptstssttstsss 由于12,2)!(22!,22,221ntstsnnnp则的方次数中含故则n!.这与已知矛盾，

4、故必要性得证.2解：因2122211kknn对一切 k=0,1,成立，因此，.222212111kkknnn 又因为 n 为固定数，当 k 适当大 时,.)22(,02,1201nnnSnnKkkkk故从而 3解：显然有：若.,1,1Ryxyxyxyx则 503 是一个质数，因此，对 n=1,2,502,503305n都不会是整数，但503305n+,305503)503(305 n 可见此式左端的两数的小数部分之和等于 1，于是，503305n+.304503)503(305 n故 25115021.76304251304),503)503(305503305(503305nnnnnS 4解

5、：显然 x=M 是一个解,下面考察在1，M中有少个解.设 x 是方程的解.将2222xxxxx代入原方程，化简得 2xx,10.22xxxx由于所以上式成立的充要条件是 2xx为一个整数.-5-.1)1(,1,.)1()1(21(2),1,11.2)1,),12,1,0(2,个解中有原方程在因此个解中方程有可知在又由于个解中方程有即在则必有设MMMMMMMMmmmmmkmkxNmx 5解：.0,1不是解又因xxxx.217,23,211;217,23,25.07 2)(3 2(.0)11 2)(5 2(.051 4 4,05140)1(422xxxxxxxxxxxxxx或.2269,02694

6、;2229,02294;2189,01894;229,0294:,87622222xxxxxxxxxx分别代入方程得或或或解得 经检验知，这四个值都是原方程的解.6这道题的原解答要极为复杂，现用数学归纳法证明如下.【证明】.,2,1,22kkkxxxAk令 由于.,1,1命题成立时则 nxA -6-.,)1()2(2()1(2)2()1()1(2)1(2)1(2)(:.,222,)1()1()1(,.)1(,2,1122112111221111121证毕均成立故原不等式对一切命题成立时即故相加得所以成立对一切即因为即有时命题成立设NnknkxAkxkkxkxkxkxkxxxkxkxxkxxxx

7、kxkkxxkxxAAAAkxxkxxkAkxxkxxAAAkAxAxAAxkAkAkkxkAkAkkxkAkAkkxAAxkAxAxAknkkkkkkkkkkkkkkk 7解：M|f(x)|maxmax|f|，|f(1)|，|f(2a)|若|2a|1 (对称轴不在定义域内部)则 Mmax|f|，|f(1)|而 f1ab f(1)1ab|f|f(1)|ff(1)|2|a|4 则|f|和|f(1)|中至少有一个不小于 2 M221|2a|1 Mmax|f|，|f(1)|，|f(2a)|max|1ab|，|1ab|，|4a2b|max|1ab|，|1ab|，|4a2b|，|4a2b|41(|1ab|1ab|4a2b|4a2b|)41(1ab)(1ab)(4a2b)(4a2b)2a2(412 21 综上所述，原命题正确.8先找出3101010020000的整数部分与分数部分.梦想不会辜负每一个努力的人.-7-