全等三角形判定经典42100.pdf

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1、三角形全等的判定 ABCDEF（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。表示方法：如图所示，在ABC 和DEF 中，ABDEACDFBCEF，ABCDEF（SSS）。例 1.如图所示，ABCD，ACDB。求证：ABCDCB。ABCD 分析：由已知可得 ABCD，ACDB，又因为 BC 是两个三角形的公共边，所以根据 SSS 可得出ABCDCB。证明：在ABC 和DCB 中，ABCDACDBBCCB，ABCDCB（SSS）评析：证明格式：点明要证明的两个三角形；列举两个三角形全等的条件（注意写在前面的三角形，条件也放在前面），用大括号括起来；条件按照“SSS”顺序排序；得

2、出结论，并把判断的依据注在后面。（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。表示方法：如图所示，在ABC 和DEF 中，BEBCEFCF ，ABCDEF（ASA）。例 2.如图所示，ABCD，AFDE，BECF，求证：ABCD。ABEFCD 分析：要证明 ABCD，由于 AB、CD 分别是ABF 和DCE 的边，可尝试证明ABFDCE，由已知易证：BC，AFB DEC，下面只需证明有一边对应相等即可。事实上，由 BECF 可证得 BFCE，由 ASA 即可证明两三角形全等。证明：ABCD，BC（两直线平行，内错角相等）又AFDE，AFCDEB（同上）AFBCE

3、D（等角的补角相等）又BECF，BEEFCFEF，即 BFCE 在ABF 和DCE 中，()()()BCBFCEAFBCED 已证已证已证 ABFDCE（ASA）ABCD（全等三角形对应边相等）（3）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”。表示方法：如图所示，在ABC 和DEF 中，ADBEBCEF ，ABCDEF（AAS）。例 3.如图所示，RtABC 中，ACB90，ACBC，ADCD 于 D，BFCD 于 F，AB 交 CD 于 E，求证：ADBFDF。ABCDEF 分析：要证 ADBFDF，观察图形可得 CFCDDF，只需证明 CFAD，CDBF

4、 即可，也就是要证明CFBADC。由已知 BCAC，CFBADC90，只要再证明有一个锐角对应相等即可，由 BFCD，ACB90，易证得CBFACD，问题便得到证明。证明：ACB90，BFCD ACDBCD90，CBFBCD90 CBFACD（同角的余角相等）又ADCD，CFBADC90 在CFB 和ADC 中，CBFACDCFBADCBCAC （已知）CFBADC（AAS）CFAD，BFCD（全等三角形的对应边相等）又CFCDDF ADBFDF 评析：由条件 ACBC 和垂直关系可得，AC、BC 为两个直角三角形的斜边，还需要一对角相等即可用 AAS 证三角形全等；由条件可用余角性质转换角度

5、证明角相等。（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。表示方法：如图所示，在ABC 和DEF 中，ABDEBEBCEF，ABCDEF（SAS）。例 4.已知：如图所示，ABDE，BDEF，BECF。求证：ACDF。ABCDEF 分析：欲证 ACDF，可通过证明ACBF，由平行线的判定定理即可得证。而ACB 与F 分别是ABC 和DEF 的内角，所以应先证明ABCDEF。由ABCDBECF 易得 BCEF，再结合已知条件 ABDE，BDEF 即可达到目的。证明：BECF，BEECCFEC，即 BCEF。在ABC 和DEF 中，ABDEABCDEFBCEF，AB

6、CDEF（SAS）。ACBF。ACDF。评析：通过证明两个三角形全等可以提供角相等、线段相等，进而解决其它问题。这里大括号中的条件按照“SAS”顺序排列 （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。表示方法：如图所示，在 RtABC 和 RtDEF 中，ABDE，BCEF，RtABCRtDEF（HL）。ABCDEF 注意：三角形全等的判定方法中有一个必要条件是：有一组对应边相等。两边及其中一边的对角对应相等的情况，可以画图实验，如下图，在ABC 和ABD 中，ABAB，ACAD，BB，显然它们不全等。三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如两个大小一样

7、的等边三角形。例 5.如图所示，RtABC 中，C90，AC10cm，BC5cm，一条线段PQAB，P、Q 两点分别在 AC 上和过 A 点且垂直于 AC 的射线 AM 上运动。问点 P 运动到 AC 上什么位置时，ABC 才能和PQA 全等 BCAPQM 分析：要使ABC 与PQA 全等，由于CPAQ90，PQAB，则只需APCB 或 APCA，由 HL 即可知道它们全等，从而容易确定P 点的位置。解：由题意可知，CPAQ90，又 ABPQ，要使ABCPQA，则只需 APCB 或 APCA 即可，从而当点 P 运动至 AP5cm，即 AC 中点时，ABCQPA；或点 P 与点 C 重合时，即

8、 APCA10cm时，ABCPQA。评析：要证某两个三角形全等，但缺少条件，要求把缺少的条件探索出来。解决这类题要从结论出发，借助相关的几何知识，探讨出使结论成立所需的条件，从而使问题得以解决。本题中涉及到分类讨论的思想，要求同学们分析思考问题要全面，把各种情况都考虑到。例 6.如图，ABC 和EBD 都是等腰直角三角形，A、B、D 三点在同一直线上，连结 CD、AE，并延长 AE 交 CD 于 F。（1）求证：ABECBD。（2）直线 AE 与 CD 互相垂直吗请证明你的结论。分析：根据已知条件易得 ABBC，BEBD，ABCCBD90正好是ABE 和CBD 全等的条件。对于 AE 与 CD

9、 垂直关系的证明需要推证出CFA90。证明：（1）ABC 和EBD 都是等腰直角三角形，ABCB，BEBD，ABCCBD90 ABECBD（SSA）（2）AECD，ABCEFD在ABE 和CEF 中，EABECF，AEBCEF，且ABE90，ECFCEFEABAEB ECFCEF180（EABAEB）即AFCABE90 AECD。评析：利用已知，结合图形探索三角形全等的条件，逐步分析解决问题，把握解题思路。拓展提高 1.(07 北京中考)我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图

10、形的名称；（2）如图，在ABC中，点DE，分别在ABAC，上，设CDBE，相交于点O，若60A，12DCBEBCA 请你写出图中一个与A相等的角，并猜想图中哪个四边形 是等对边四边形；（3）在ABC中，如果A是不等于60的锐角，点DE，分别在ABAC，上，且12DCBEBCA 探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论 1.解：（1）平行四边形、等腰梯形等满足条件的即可.（2）与A 相等的角是BOD（或COE）四边形 DBCE 是等对边四边形.（3）此时存在等对边四边形 DBCE.B O A D E C 证明 1：如图，作 CGBE 于 G 点，作 BFCD 交 CD 的延

11、长线于 F 点.DCB=EBC=12A，BC 为公共边 BGCCFB BF=CG BDF=ABC+DCB=ABE+EBC+DCB=ABE+A GEC=ABE+A BDFCEG BD=CE 故四边形 DBCE 是等对边四边形。证明 2：如图，在 BE 上取一点 F，使得 BF=CD，连接 CF.易证BCDCBF，故 BD=CF，FCB=DBC.CFE=FCB+CBF=DBC+CBF=ABE+2CBF=ABE+A CEF=ABE+A CF=CE BF=CE 故四边形 DBCE 是等对边四边形.2.(09 宣武一模)已知等边三角形 ABC 中，点 D、E、F 分别为边 AB、AC、BC 的中点，M

12、为直线 BC 上一动点，DMN 为等边三角形（点 M 的位置改变时，DMN也随之整体移动）（1）如图 1，当点 M 在点 B 左侧时，请你连结 EN，并判断 EN 与 MF 有怎样的数量关系点 F 是否在直线 NE 上请写出结论，并说明理由；（2）如图 2，当点 M 在 BC 上时，其它条件不变，（1）的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立 若成立，请利用图 2 证明；若不成立，请说明理由；（3）如图 3，若点 M 在点 C 右侧时，请你判断（1）的结论中 EN 与 MF 的数量关ABCDEFMNPFEDCBAMN系是否仍然成立 若成立,请直接写出结论；若不成立，请说明理由 （第 2

13、3 题图 1）（第 23 题图 2）（第 23 题图 3）2解：（1）判断：EN=MF，点 F 在直线 NE 上 证明：如答图 1,连结 DE、DF、EF ABC 是等边三角形，AB=AC=BC 又D、E、F 是三边的中点，DE、DF、EF 为ABC 的中位线 DE=DF=EF，FDE=DFE60 DMN 是等边三角形，MDN60，DM=DN FDENDF=MDN+NDF，MDF=NDE 在DMF 和DNE 中，DF=DE，MDF=NDE，DM=DN，（第 23 题答图 1）DMFDNE MF=NE 设 EN 与 BC 交点为 P，连结 NF 由ABC 是等边三角形且 D、F 分别是 AB、B

14、C 的中点可得DBF 是等边三角形，MDN=BDF60,MDNBDN=BDFBDN，即MDB=NDF.在DMB 和DNF 中，DM=DN，MDB=NDF，DB=DF，DMBDNF DBM=DFN ABC=60，DBM=120，NFD=120.（第 23题答图 2）NFD+DFE=120+60=180.N、F、E 三点共线，F 与 P 重合，F 在直线 NE 上 4 分（2）成立。NFEDCBAMA E F D B N C M FEDCBAM E NMABCDEF证明：如答图 2，连结 DE、DF、EF ABC 是等边三角形，AB=AC=BC 又D，E，F 是三边的中点，DE，DF，EF 为AB

15、C 的中位线 DE=DF=EF，FDE=60 又MDF+FDN=60，NDE+FDN=60，MDF=NDE 在DMF 和DNE 中，DF=DE，MDF=NDE，DM=DN，DMFDNE MF=NE 6 分 （3）MF=NE 仍成立 7 分 （第 23 题答图 3.(09 崇文一模)在等边ABC的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N，D 为ABC外一点，且60MDN,120BDC,BD=DC.探究：当 M、N 分别在直线 AB、AC 上移动时，BM、NC、MN 之间的数量关系及AMN的周长 Q 与等边ABC的周长 L 的关系 图 1 图 2 图 3（I）如图 1，当点 M、N 边 AB

16、、AC 上，且 DM=DN 时，BM、NC、MN 之间的数量关系是_；此时QL_；（II）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当 DMDN 时，猜想（I）问的两个结论还成立吗写出你的猜想并加以证明；（III）如图 3，当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时，若 AN=x，则 Q=_（用x、L 表示）3.解：（I）如图 1，BM、NC、MN 之间的数量关系 BM+NC=MN 此时 32LQ （II）猜想：结论仍然成立 证明：如图，延长 AC 至 E，使 CE=BM，连接 DE CDBD,且120BDC30DCBDBC 又ABC是等边三角形，90MBDNCD 在MBD与ECD中：D

17、CBDECDMBDCEBM MBDECD(SAS)DM=DE,CDEBDM 60MDNBDCEDN 在MDN与EDN中：DNDNEDNMDNDEDM MDNEDN(SAS)MN=NE=NC+BM AMN的周长 Q=AM+AN+MN =AM+AN+(NC+BM)=(AM+BM)+(AN+NC)=AB+AC =2AB 而等边ABC的周长 L=3AB 3232ABABLQ.（III）如图 3，当 M、N 分别在 AB、CA 的延长线上时，若 AN=x，则 Q=2x+L32 （用x、L 表示）课堂试题（答题时间：60 分钟）一.选择题 1.下列条件不能判定两个三角形全等的是（）A.有两边和夹角对应相等

18、 B.有三边分别对应相等 C.有两边和一角对应相等 D.有两角和一边对应相等 2.下列条件能判定两个三角形全等的是（）A.有三个角相等 B.有一条边和一个角相等 C.有一条边和一个角相等 D.有一条边和两个角相等 3.如图所示，已知 ABCD，ADBC，那么图中共有全等三角形（）A.1对 B.2对 C.4对 D.8对 4.如图所示，已知AD，12，那么要得到ABCDEF，还应给出的条件是（）A.EB B.EDBC C.ABEF D.AFCD 5.如图所示，点 E 在ABC 外部，点 D 在 BC 边上，DE 交 AC 于 F，若12，EC，AEAC，则（）ABCDE12第4题FABCDE123

19、第5题FABCD第8题ABCDO第3题A.ABCAFE B.AFEADC C.AFEDFC D.ABCADE 6.我们学过的判定两个直角三角形全等的条件，有（）A.5种 B.4种 C.3种 D.2种 7.如图所示，ABEFCD，ABC90，ABDC，那么图中的全等三角形有（）A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对 8.如图，在ABC 中，ABAC，ADBC，垂足为 D，且 BC6cm，则 BD 的值（）A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm 9.如图所示，DEAB，DFAC，AEAF，则下列结论成立的是（）A.BDCD B.DEDF C.BC D.ABAC 二.填空题 10.如

20、图所示，ACBD，ACBD，那么_，理 由 是_.ABCDEF第7题ABCDEF第9题 11.已知ABCABC，AB6cm，BC7cm，AC9cm，A70，B80，则 AB_，BC_，AC_ C_，C_.12.如图所示，已知 ABAC，在ABD 与ACD 中，要使ABDACD，还需要再添加一个条件是_.13.如图所示，已知 ABCDEF，AB4cm，BC6cm，AC5cm，CF2cm，A70，B65，则D_，F_，DE_，BE_.14.如图，点 D、E 分别在线段 AB、AC 上，BE、CD 相交于点 O，AEAD，要使ABEACD，需添加一个条件是_（只要求写一个条件）.ABCDO第10题A

21、BCD第12题 15.如图，AC、BD 相交于点 O，AD，请你再补充一个条件，使得AOBDOC，你补充的条件是_.三.解答题 16.已知：如图，12，CD，求证：ACAD.17.如图，A、E、B、D 在同一直线上，在ABC和DEF 中，ABDE，ACDF，ACDF.（1）求证：ABCDEF；（2）你还可以得到的结论是_（写出一个即可，不再添加其他线段，不再标注或使用其它字母）18.你一定玩过跷跷板吧！如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中ABCD12ABCDEF点 O 上下转动，立柱 OC 与地面垂直.当一方着地时，另一方上升到最高点.问：在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度A

22、A、BB有何数量关系为什么 19.MN、PQ 是校园里的两条互相垂直的小路，小强和小明分别站在距交叉口 C 等距离的 B、E 两处，这时他们分别从 B、E 两点按同一速度沿直线行走，如图所示，经过一段时间后，同时到达 A、D 两点，他们的行走路线 AB、DE 平行吗请说明你的理由.20.有一块不规则的鱼池，下面是两位同学分别设计的能够粗略地测量出鱼池两端 A、B 的距离的方案，请你分析一下两种方案的理由.方案一：小明想出了这样一个方法，如图所示，先在 AB 的垂线 BF 上取两点 C、D，使 CDBC，再定出 BF 的垂线 DE，使 A、C、E 在同一条直线上，测得DE 的长就是 AB 的长.

23、你能说明一下这是为什么吗 方案二：小军想出了这样一个方法，如图所示，先在平地上取一个可以直接到达鱼池两端 A、B 的点 C，连结 AC 并延长到点 D，使 CDCA，连结 BC 并延长到 E，使 CECB，连结 DE，量出 DE 的长，这个长就是 A、B 之间的距离.你能说明一下这是为什么吗 COAABBMNPQABCDE ABCDEFABCED课堂试题答案 1.C 2.D 3.C 4.D 5.D 6.A 7.C 8.C 9.B 10.AOCBOD；AAS 或 ASA 11.6cm 7cm 9cm 30 30 12.BDCD 或BADCAD 13.70 45 4cm 2cm 14.BC、AEB

24、ADC、CEOBDO、ABAC、BDCE（任选一个即可）15.AODO 或 ABDC 或 BOCO 16.证ACBADB 17.（1）证明：ACDF，AD，在ABC 和DEF 中ABDEADACDF，ABCDEF（SAS）（2）答案不唯一，如：AEDB，CF，BCEF 等.18.答：AABB，证AAOBBO 19.平行.理由如下：由已知条件得，ABDE，BCCE，在 RtABC 和 RtDCE 中，AB=DE BC=CE RtABCRtDCE（HL），ABCDEC，ABDE.20.小明的做法有道理，其理由如下：因为 ABBF，DEBF，所以ABCEDC，又因为 A、C、E 三点在同一条直线上，所以ACBECD，且 BCDC，所以ABCEDC（ASA），所以 ABDE（全等三角形的对应边相等）.小军的做法有道理，其理由如下：因为在ABC 和DCE 中，CDCA，ACBDCE（对顶角相等），CEBC，所以ABCDEC（SAS），所以 ABDE（全等三角形的对应边相等）.