全国通用中考数学复习专题复习(七)函数与几何综合探究题练习(2021-2022学年)8760.pdf

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1、专题复习(七)函数与几何综合探究题 如图，对称轴为直线错误!未定义书签。的抛物线经过(2，0)，C(,4)两点，抛物线与轴的另一交点为A。(1）求抛物线的解析式；【思路点拨】已知对称轴，可设顶点式 y=(xf（1,2)2+,然后将点 B，C 的坐标代入,解方程组即可得到抛物线的解析式.(一题多解)【答题示范】解法一:抛物线的对称轴为直线 x=错误!,设抛物线的解析式为 y=a（x错误!)(a0）.抛物线经过点(2，0)，C(0,4)，错误!未定义书签。解得错误!抛物线的解析式为y=(x错误!未定义书签。)2f(9，2）,即 y-2x2+2x+4。解法二:抛物线的 对称轴为直线 x=错误!,，两

2、点关于直线 x错误!对称且 B(2,),A(-1,0）.设抛物线的解析式为 y=（x+1)(x2)（a）抛物线经过点 C(0,),2a=，解得-2.抛物线的解析式为 y=2(x1)(x-)，即 y=-x22x4。解法三:设抛物线的解析式为 yx2+x+(a0)抛物线的对称轴为直线 x且经过点(2,0),C(0,4)，错误!未定义书签。解得错误!抛物线的解析式为y=222x。错误!未定义书签。二次函数的解析式的确定：1.确定二次函数的解析式一般用待定系数法,由于二次函数解析式有三个待定系数，b,(a,或 a，x,x2)，因而确定二次函数的解析式需要已知三个独立的条件：（1)已知抛物线上任意三个点

3、的坐标时，选用一般式，即ax2b+（a0);（2)已知抛物线的顶点坐标和另外一点的坐标时，选用顶点式，即 y=a(x-h)+k（）；（3）已知抛物线与 x 轴的两个交点（或横坐标 x1，2)时,选用交点式,即=a（x1)(x-2)（).2.用待定系数法求二次函数解析式的步骤：(1）设二次函数的解析式；(2）根据已知条件,得到关于待定系数的方程(组）；(3）解方程(组)，求出待定系数的值，从而写出函数的解析式 (2）若点为第一象限内抛物线上一点，设四边形 COP 的面积为 S，求的最大值；【思路点拨】先设点 P 的坐标，再利用割补法将四边形 COP 的面积表示成几个容易计算的图形面积的和差,然后

4、根据二次函数的性质求最值(一题多解)【答题示范】解法一:如图 1，连接 B,过点 P 作 Px 轴于点 F，交 B于点 E.图 1 设直线 B的解析式为 yd+t（d0）.直线经过点 B（2，0），C（，)，错误!未定义书签。解得错误!直线 B的解析式为 y2x4 为第一象限内抛物线上一点，设 P 点坐标为(，2n2+n)(0）,则 E 点坐标为（，2+4)PE=P-F=|2n2n+4|-|-n4=2n2n424=-2n24。SBPCSE+SCP错误!PEF错误!PEOF错误!未定义书签。E（BF+F)错误!未定义书签。EO-n2+4。SSP+SOCB-2244-2(-1）+。当 n1 时，S

5、最大=6。解法二:当点 P 位于点 C 下方时，如图 2,过点 P 作 PEy 轴于 E 图 2 P 为第一象限内抛物线上一点,设 P 点坐标为（n，-2n22n+4)，则 E 点坐标为(0，22+n)，P=n，E+2n-2n42n2-2n.SCf(1,）n（2n-2n）n3n，S四边形BPE错误!未定义书签。(n2)(2n2n4)-n2+n+4，SSPEC四边形 OBP=nn2n24n+4=-2n2n(n-1)2+6.当 n=1 时，S最大6;当点 P 位于点上方时,过 P作 PHO于 H.同可设 P(m，+m+),则 H(m,).22+2m4,H=-m S四边形CPHB=错误!（-2m22

6、+4）m错误!（2）(-2+2m4)=-2m2+4=-2（m1)26 当m1 时，最大 6.综上可知,的最大值为。错误!未定义书签。1.探究面积最值的存在性：第(2)问是与抛物线有关的三角形或四边形，抛物线三角形就是三角形的三个顶点都在抛物线上，同样,抛物线四边形就是四边形的四个顶点都在抛物线上，要求三角形或四边形的面积的最大值或最小值.解决这类问题的基本步骤:(1)首先要确定所求三角形或四边形面积最值,可设动点运动的时间 t 或动点的坐标（t，t2b+c）;（2)求三角形面积最值时要用含的代数式表示出三角形的底和高,此时就应先证明涉及底和高的三角形与已知线段长度的三角形相似,从而求得用含 t

7、 的代数式表示的底和高;求四边形的面积最值时，常用到的方法是利用割补法将四边形分成两个三角形,从而利用三角形的方法求得用含t 的代数式表示的线段;()用含有未知数的代数式表示出图形的面积;（4)用二次函数的知识来求最大值或最小值.（如 P2061（)、P6T2(2)、208T3（2）2.探究面积等量关系的存在性问题:对于图形的运动产生的相等关系问题,解答时应认真审题，仔细研究图形，分析动点的运动状态及运动过程,解题过程的一般步骤:（1）弄清其取值范围,画出符合条件的图形;(2)确定其存在的情况有几种，然后分别求解，在求解计算中一般由函数关系式设出图形的动点坐标并结合作辅助线，画出所求面积为定值

8、的三角形;（3)过动点作有关三角形的高或平行于轴、y 轴的辅助线，利用面积公式或三角形相似求出有关线段长度或面积的代数式，列方程求解，再根据实际问题确定方程的解是否符合题意,从而证得面积等量关系的存在性(如 P206T(3)探究线段最值问题:无论是线段和的最小值或是周长的最小值,还有两条线段差的最大值等,解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”,最常见的基本图形就是“将军饮马问题”，即已知一条直线和直线同旁的两个点，要在直线上找一点,使得这两个点与这点连接的线段之和最小,解决问题的方法就是通过轴对称作出对称点来解决(如 P2031(3），P03T(3）,20T（)，P20T(2),（3

9、）若M是线段C上一动点,在轴上是否存在这样的点Q，使MQC为等腰三角形且MQB为直角三角形?若存在,求出Q点坐标；若不存在,请说明理由【思路点拨】在探究同时存在两个结论时,通常先假设一个结论成立，然后探究另一个结论是否也成立，方法一般也不唯一,详见解答中的一题多解【答题示范】存在点Q,使C为等腰三角形且MQ为直角三角形.理由如下：分以下两种情况：图 3（）解法一:如图 3 所示：当BM时,CQ90，只能C。由（2)的解法一得:直线BC的解析式为y=-2.设M点坐标为（,2+4）(0m),则点坐标为（m,）,MQm4,O=m，BQ=m.在 RtOBC中,BC错误!未定义书签。错误!未定义书签。=

10、2错误!QOC，QBO 错误!未定义书签。=错误!未定义书签。，即错误!未定义书签。=错误!未定义书签。.B2 5错误!未定义书签。.M=BCBM=2错误!未定义书签。(错误!错误!m)=错误!。CMMQ，-2m+4错误!未定义书签。m，m错误!未定义书签。458。Q（4错误!未定义书签。8,).解法二:由（2）的解法一得:直线B的解析式为y=2x+4 设M(m,+4)(0m2)，则Q=m+4,=m,Q=2m。在 RtOBC中，C错误!2错误!在 RMBQ中,BM=错误!=错误!=错误!m2=错误!（2）2错误!-错误!未定义书签。m.CM=BC-BM=2 5-(2错误!未定义书签。5m）错误

11、!m。=M，2m4错误!未定义书签。，错误!未定义书签。4错误!.Q(4错误!-,0)解法三:如图 4 所示：当BM=90时，图 4 CQ90，只能CMMQ.由（2）的解法一得：直线BC的解析式为y-2x+4.设M点坐标为（,m+4）(0m2）,过点M作Dy轴于点,则Q点坐标为（m,0),DM=m,CD4（2m)=2，BQ=2m。在 RtDM中，C错误!未定义书签。错误!未定义书签。m.M=Q=错误!未定义书签。m。tanCO错误!未定义书签。=2，taB错误!未定义书签。=2,即错误!2。m=r（5)-8。Q（4错误!-，0).（)解法一:如图 5 所示:当QMB=9时，图 5 CMQ90,

12、只能MMQ。过点M作MN轴于点，设M（m,-2m4）(0m2），则ON=m，MN-2m+,NB2.由(）得：M错误!未定义书签。-错误!未定义书签。m,CM错误!未定义书签。m。QBOBC,QMOB=90，tBOCRtMQ 错误!错误!未定义书签。,即错误!=错误!2(2错误!错误!未定义书签。m)4错误!未定义书签。-2错误!。CM=MQ,CM=错误!未定义书签。m,错误!m=4错误!2错误!m。m43。M（43,错误!未定义书签。）Nx轴于点N,BC，QM+N=，NM+NM9,QMNMBN.又BNMNQ90，RtNMRMNQ。错误!未定义书签。错误!未定义书签。，即错误!未定义书签。错误!

13、未定义书签。f(8,)。OQ=Q-ONf（,3)-错误!未定义书签。=错误!未定义书签。.Q（错误!未定义书签。，）.解法二:如图 6 所示:当QMB0时,图 6 M0，只能C=MQ 设M点坐标为(m,2m+4)（0m2)在 RtOB和 RQMB中，taBtanBQ错误!未定义书签。4=2，又tanMBQ=错误!，由(）知BM=r（5)错误!,MQ=CM错误!m。tnMBQ=MQBM=错误!未定义书签。=2。错误!m=4错误!-2错误!未定义书签。m=错误!未定义书签。(43,错误!)此时，BM2错误!未定义书签。错误!m错误!未定义书签。错误!,MQ错误!未定义书签。5 B错误!未定义书签。

14、=错误!未定义书签。=错误!未定义书签。.QQOB=错误!未定义书签。-2=错误!未定义书签。（-错误!未定义书签。,0)综上所述,满足条件的点Q的坐标为（错误!未定义书签。8,0)或（-43，).错误!1在解答直角三角形的存在性问题时，具体方法如下：（）先假设结论成立,根据直角顶点的不确定性,分情况讨论；(2)找点：当所给定长未说明 是直角三角形的斜边还是直角边时，需分情况讨论，具体方法如下:当定长为直角三角形的直角边时,分别以定长的某一端点作定长的垂线,与坐标轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点；当定长为直角三角形的斜边时,以此定长为直径作圆,圆弧与所求点满足条件的坐标轴或抛物线有交

15、点时，此交点即为符合条件的点;(3）计算：把图形中的点坐标用含有自变量的代数式表示出来，从而表示出三 角形的各边（表示线段时,还要注意代数式的符号),再利用相似三角形的性质得出比例式,或者利用勾股定理进行计算，或者利用三角函数建立方程求点的坐标.(如07T2(2)）2除了探究直角三角形外，还常常探究等腰三角形的存在性，这个和直角三角形的方法类似:（1)假设结论成立;（）找点:当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时,需分情况讨论，具体方法如下:当定长为腰时，找已知直线或抛物线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧,若所画弧与坐标轴或抛物线有交点且交点不是定长的另一端点时,交

16、点即为符合条件的点;当定长为底边时,根据尺规作图作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线有交点,则交点即为所求的点,若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线无交点,则满足条件的点不存在;以上方法即可找出所有符合条件的点;（）计算：在求点的坐标时，大多时候利用相似三角形求解,如果图形中没有相似三角形,可以通过添加辅助线构造直角三角形,有时也可利用直角三角形的性质进行求解.(如27T1(），P208T3（3）如图,直线y2x2 与x轴交于点，与y轴交于点,把AO沿轴翻折，点A落到点C,过点B的抛物线y=-2xc与直线B交于点D（，-4).（1)求直线D和抛物线的解析式;【思路点拨】由直线

17、2+可求出B点的坐标,把,D两点代入yx2+xc中即可求出抛物线解析式,由B，两点可求出直线BD的解析式 【答题示范】y2+2,当0 时,y=2。B(0，2）.当y0 时,x1，A(-,0).抛物线y-2+bc过点B(0,）,D(3,-）,错误!未定义书签。解得错误!未定义书签。抛物线的解析式为y=2+x2.设直线B的解析式为ykxm,由题意,得 错误!未定义书签。解得错误!直线BD的解析式为y=2x2.(2）在第一象限内的抛物线上,是否存在点,作MN垂直于轴，垂足为点,使得以M,O,N为顶点的三角形与BOC相似?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由；【思路点拨】与B相似的MON,只有

18、两个直角顶点可以确定对应,所以要分两种情况讨论,再利用MON的两条直角边长恰好是点M的坐标,与BOC的两直角边对应成比例,便可列出方程，求解即可,注意是否符合条件.【答题示范】存在由(）知C（1,0）,设M（a,a+2）.Nx轴，OCMO=90,即点与点N对应,可分两种情况讨论：如图，当BOCO时，错误!=错误!.错误!=错误!未定义书签。，解得a11，a2(舍)M(1，2);如图 2,当BOCONM时,BON=错误!.错误!未定义书签。=错误!,解得a错误!，a=错误!未定义书签。(舍）.M(错误!未定义书签。,错误!)符合条件的点M的坐标为(,2)或（错误!,错误!),错误!未定义书签。探

19、究三角形相似的存在性问题的一般思路：解答三角形相似的存在性问题时,要具备分类讨论的思想以及数形结合思想,要先找出三角形相似的分类标准，一般涉及动态问题要以静制动，动中求静,具体如下：(1）假设结论成立,分情况讨论.探究三角形相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应顶点（尤其是以文字形式出现让证明两个三角形相似的题目）,或者涉及动点问题,因动点问题中点的位置不确定，此时应考虑不同的对应关系,分情况讨论；（2）确定分类标准：在分类时,先要找出分类的标准,看两个相似三角形是否有对应相等的角,若有,找出对应相等的角后,再根据其他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件;若没有，则分别按三种角对应来分类

20、讨论;(3)建立关系式,并计算.由相似三角形列出相应的比例式，将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来(其长度多借助勾股定理运算)，整理可得一元一次方程或者一元二次方程,解方程可得字母的值,再通过计算得出相应的点的坐标(如 P208T(3）,20T(2）()在直线D上方的抛物线上有一动点,过点P作垂直于x轴，交直线BD于点,是否存在点,使四边形BOH是平行四边形,若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【思路点拨】点P在抛物线上,可设出点P的坐标,从而可表示出点H的坐标,因为作Px轴,所以可得HOB。要证四边形OP是平行四边形,只需证HOB,再利用PH的长可列方程求出P点的坐标.【答题示范

21、】存在.设P(t,t2t+2)，H(t,2t2）如图 3，四边形BOHP是平行四边形，BO=PH2。PHtt22t-2=-t2t。2=t2+3t，解得t11,22 当t1 时,(1，2);当=2 时,P（2,0).存在点P(1，2)或(2,0）,使四边形BH为平行四边形.x(方法指导)在解答平行四边形的存在性问题时，具体方法如下：(1）假设结论成立;（2）探究平行四边形通常有两类,一类是已知两定点去求未知点的坐标,一类是已知给定的三点去求未知点的坐标第一类,以两定点连线所成的线段作为要探究平行四边形的边或对角线，画出符合题意的平行四边形；第二类,分别以已知三个定点中的任意两个定点确定的线段为探

22、究平行四边形的边或对角线,画出符合题意的平行四边形;(3)建立关系式,并计算.根据以上分类方法画出所有符合条件的图形后,可以利用平行四边形的性质进行计算，也可利用全等三角形、相似三角形或直角三角形的性质进行计算,要具体情况具体分析，有时也可以利用直线的解析式联立方程组，由方程组的解为交点坐标求解.（如 P201(3)）类型 1 探究线段最值问题 1.(2018永州）如图 1,抛物线的顶点 A 的坐标为（1,4）,抛物线与 x 轴相交于 B，C 两点，与 y 轴交于点 E(0,3）(1)求抛物线的表达式;（2)已知点 F（，)，在抛物线的对称轴上是否存在一点 G，使得 EFG 最小，如果存在，求

23、出点 G 的坐标;如果不存在,请说明理由；(3)如图 2，连接 AB,若点 P 是线段上的一动点，过点 P 作线段 A的垂线，分别与线段 AB。抛物线相交于点 M,N(点 M，都在抛物线对称轴的右侧），当N 最大时,求PON 的面积 图 1 图 解:(1)设抛物线的表达式为 ya(x-1)24,把(0,3）代入，得 3a(0-1）24,解得 a-1。抛物 线的表达式为 y-(-）24=-2+x3(2）存在.作点 E 关于对称轴的对称点，连接 EF 交对称轴于 G,此时G 的值最小.E（0,3)，抛物线对称轴为直线 x1,(2，3）易得直线 E的解析式为 y=x3。当 x=1 时，=31-0。G

24、(，0）.()（,4）,B(3,0）,易得直线 AB 的解析式为2x+6。过点 N 作 NHx 轴于点 H,交B 于点 Q,设 N（m，-22m3)，则 Q（m,26)（1m3)N(m2+2m+3）（2+6)=m4-3。ADN,ABNQ。ADB=N90,QMDB。错误!未定义书签。=错误!未定义书签。.错误!未定义书签。错误!.M=-错误!（m-2）错误!未定义书签。.-错误!未定义书签。0,当时,MN 有最大值.过点 N 作 N轴于点 G，PN=ABD,NP=ADB=90，NGPAD。错误!未定义书签。错误!=错误!未定义书签。错误!。G=错误!未定义书签。错误!m.OP=G-PG=-2+2

25、m+3-错误!未定义书签。m=-m2+错误!未定义书签。3.SPON=错误!OGN错误!未定义书签。(m2+错误!未定义书签。m+)当 m时,SPO=f(，2)2（-4+33）2。（2018柳州)如图,抛物线 y x2+bxc 与 x 轴交于 A（错误!,0),B 两点(点 B 在点的左侧),与轴交于点 C,且 OB3OA错误!未定义书签。OC,AC 的平分线D 交 y 轴于点 D，过点 A 且垂直于 AD 的直线交 y 轴于点 E，点 P 是 x 轴下方抛物线上的一个动点,过点 P 作 P轴,垂足为F，交直线D 于点 H.(1）求抛物线的解析式；（2)设点的横坐标为 m,当 FH=H时,求

26、m 的值；（3）当直线 PF 为抛物线的对称轴时，以点为圆心，2H为半径作H,点 Q 为H 上的一个动点,求错误!AQ+EQ 的最小值.解：(1)由题意，得 A(错误!,),B(3错误!，0),(0,3）,设抛物线的解析式为=a(+3r(3)(x-错误!未定义书签。)，把 C（0,）代入得到 a错误!未定义书签。，抛物线的解析式为y（1,3)x2+错误!-3（2)在RtAO中，tnOAC错误!未定义书签。错误!,OC0。A平分OAC，OD3。D=Atan30=1.D(0,1）.直线 AD 的解析式为 y=错误!未定义书签。x-1 由题意，得 P（m,错误!未定义书签。m2错误!m3）,H(m,

27、错误!m-），(m,).HP,-错误!=错误!未定义书签。-1(错误!未定义书签。m错误!m3)，解得 m=-错误!或错误!(舍去）.当=HP 时,的值为-错误!。(3)如图，PF 是对称轴，F(错误!未定义书签。,0),H（-错误!未定义书签。,-2).AHE，EA=60。EA=O错误!C(0,-3),HC=错误!未定义书签。2,A2FH4。Q=错误!H1。在 HA 上取一点 K，使得 HK错误!KHHK=14.HQ1,HKH=1，HQ2=HA,可得QHKH。错误!未定义书签。f(,HA)=f（,）,即Q错误!未定义书签。Q。f（1,）Q+E=KQE。当 E,，K 共线时，(1,4)QQE

28、的值最小,最小值为 EK=错误!未定义书签。=错误!未定义书签。错误!。类型 2 探究角度问题 1.（218莱芜）如图，抛物线 y=ax2+bxc 经过 A(1，0）,B(,0),C（,）三点,为直线C 上方抛物线上一动点，DBC 于点 E。(1）求抛物线的函数表达式;（2)如图 1，求线段 DE 长度的最大值；(3)如图,设 AB 的中点为 F，连接 CD,是否存在点,使得CDE 中有一个角与CFO 相等?若存在,求点 D 的横坐标;若不存在，请说明理由.图 图 2 解:(1)由题意,得错误!解得错误!未定义书签。抛物线的函数表达式为 y-错误!未定义书签。x2+错误!未定义书签。x3.(2

29、）设直线 BC 的解析式为 ykxb，由题意,得错误!未定义书签。解得错误!f（3，)x3。设（a,错误!未定义书签。a243)（0a4)，过点作 D轴交 BC 于点 M,则 M（，错误!3），DM=（错误!未定义书签。a错误!a3）（错误!未定义书签。a+3）f(3,4）a2+3a.ME=OB,DEMBOC,DEMBOC。错误!=错误!。OB4,OC=,BC.DE错误!未定义书签。DM.DE=a2错误!a=-错误!(2)2错误!未定义书签。当 a=2 时，D取最大值，最大值是错误!.()假设存在这样的点 D,使得CDE 中有一个角与CFO 相等 点 F 为B 的中点,F错误!未定义书签。，n

30、O=错误!。过点作 BGC，交 C的延长线于点,过点 G 作 GHx 轴,垂足为 H,若DC=FO，tanD=错误!未定义书签。=.BG=1。BHBC，错误!未定义书签。=f（H,OC)=错误!未定义书签。.H8,BH=6.(0,8).设直线 C的解析式为 y=k1b1,错误!未定义书签。解得错误!未定义书签。直线 C的解析式为 y=错误!未定义书签。+3。错误!解得=错误!或（舍）.若CO，同理可得，BG错误!,GH2，BH=错误!未定义书签。，G（错误!未定义书签。,).同理可得，直线 CG 的解析式为 y=-错误!未定义书签。+3 错误!解得=错误!或 x0(舍).综上所述,存在点，使得

31、DE 中有一个角与C相等,点的横坐标为错误!未定义书签。或错误!未定义书签。2(21扬州)如图 1，四边形AB是矩形，点 A 的坐标为(3，),点 C 的坐标为(,)，点从点 O 出发,沿 OA 以每秒 1 个单位长度的速度向点 A 出发,同时点从点 A 出发，沿 AB 以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动，当点 P 与点 A 重合时运动停止设运动时间为 t 秒.()当 t2 时,线段Q 的中点坐标为(错误!未定义书签。，2）;（2)当CQ 与PA相似时，求 t 的值；(3）当 t1 时，抛物线 y2bx+c 经过 P,两点，与 y 轴交于点 M,抛物线的顶点为 K,如图2 所示,问该抛

32、物线上是否存在点 D,使MQD错误!未定义书签。KQ?若存在，求出所有满足条件的 D 的坐标;若不存在，说明理由 图 1 图 2 解：（2)如图 1，当点 P 与点 A 重合时运动停止，且AQ 可以构成三角形,0t3。四边形AB是矩形,B=90。当BQ 与PAQ 相似时,存在两种情况:当PAQQBC 时，错误!未定义书签。=错误!。错误!=错误!.解得 t1=3(舍),t2错误!未定义书签。.当PAQCBQ 时,f（PA，AQ）错误!。错误!错误!未定义书签。.解得错误!.0t3，x=错误!未定义书签。不符合题意，舍去 综上所述,当CBQ 与PAQ 相似时，t 的值是错误!未定义书签。或错误!

33、。（3)当 t1 时,P(1，0），(，2),把 P(1，0)，Q(，2)代 入抛物线=x2bc 中，得 错误!未定义书签。解得错误!未定义书签。抛物线解析式=x23x（x错误!未定义书签。)2错误!未定义书签。.顶点 K(错误!，-错误!)(3，2)，M(0,2）,MQx 轴.作抛物线对称轴,交 MQ 于点,KM,KE。MKQKf（1，)MQ 如图,MQ=MKQ=KE。设 DQ 交 y 轴于点 H。HMQ=QEK90，KEQM。错误!未定义书签。错误!未定义书签。.错误!错误!.MH=(0,4)易得 HQ 的解析式为 y=-错误!+4.则错误!解得(舍）,x错误!。D(f（,3),错误!)同

34、理，在 M 的下方，y 轴上存在点，如图 3,使HQ错误!未定义书签。Q=KE，图 3 由对称性得，H(0,0)，易得的解析式为错误!未定义书签。x。则错误!未定义书签。解得1=3(舍),x2=f(2,).D(f(，3)，错误!)综上所述，点 D 的坐标为（-f（2，3）,错误!未定义书签。）或(f(2,3),错误!未定义书签。)类型 3 探究面积问题 1.(2018菏泽)如图，在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2+bx-5 交轴于点,交轴于点 B(-5，0)和点 C(1，)，过点 A 作 A轴交抛物线于点 D.(1）求此抛物线的表达式;(2）点 E 是抛物线上一点,且点 E 关于 x 轴的

35、对称点在直线D 上,求AD 的面积;（3)若点 P 是直线 A下方的抛物线上一动点,当点运动到某一位置时,BP 的面积最大,求出此时点的坐标和ABP 的最大面积.解:()抛物线 y=ax2+bx5 交轴于点 B(5,0)和点(1，0）,错误!未定义书签。解得错误!未定义书签。此抛物线的表达式是 y4x-5。（2)抛物线=x+4-5 交 y 轴于点,点的坐标为(0,-5)Ax 轴，点是抛物线上一点，且点关于轴的对称点在直线D 上，点 E 的纵坐标是 5,点到 AD 的距离是 10 当5 时,x4-5,得 x=0 或 x.点的坐标为(-4，-5)D=。SEA=41。(3)设点 P 的坐标为(,24

36、-），设直线 A的函数解析式为 ymxn，由题意，得 错误!解得错误!即直线B 的函数解析式为 y-x5.当=p 时,y-p-5 B5,SABP错误!未定义书签。5错误!未定义书签。(p+错误!未定义书签。)2错误!.点 P 是直线 A下方的抛物线上一动点,-5p0 当 p=错误!未定义书签。时，S 取得最大值,此时错误!，点的坐标是(-错误!，-错误!未定义书签。).即点 P 的坐标是（-错误!未定义书签。，-f(35,4)时，B的面积最大，此时A的面积是错误!2.(18内江)如图，已知抛物线 y=x2+bx-3 与 x 轴交于点(3，0）和点 B(1,0),交轴于点C,过点 C 作 CDx

37、 轴，交抛物线于点 D.(1)求抛物线的解析式;（2)若直线=m(m0)与线段 AD，BD 分别交于,H 两点,过点 G 作 EGx 轴于点 E，过点H 作 Hx 轴于点 F，求矩形 GH 的最大面积；（3)若直线 y=k+1 将四边形 ABC分成左、右两个部分，面积分别为 S1,S2,且1S245，求 k 的值.备用图 解:（1)抛物线 y=xbx-3 与 x 轴交于点（3,0）和点(1,0）,错误!解得错误!抛物线的解析式为y=x22x-3.（2)由(1)知，抛物线的解析式为=x2+2x-3,C（0,3)由 x2x-3=3，得 x=0 或2。(-2,3).A(-3,0)和点 B（1，)，直

38、线 AD 的解析式为3,直线D 的解析式为 y=-直线 ym(3m0)与线段 AD,D 分别交于 G,H 两点,G(-f(1,3)-3,m)，H（m,).GH=m+1-（-f（,3）-3)错误!未定义书签。m+。S矩形 GEF=(错误!未定义书签。m4）错误!未定义书签。(2+3m)=-错误!(+错误!)3.当 m错误!未定义书签。时,矩形 GFH 有最大面积为 3.(3）A(-3，），B（1，)，A=。C(0，-3)，（2,-3），CD2 S四边形BCD错误!3（4+2)=9。S1S25，S1=.设直线 y=x+1 与线段 AB 相交于点 M,与线段 CD 相交于点 N，M(-错误!未定义书

39、签。,0)，N（-错误!未定义书签。,-3)AM错误!，N-错误!未定义书签。2。S=f(,2)（f(1,）3-错误!未定义书签。2)3.k错误!.类型 探究特殊三角形的存在性问题 1(01赤峰)已知抛物线 y（，2）2x 的图象如图所示:()将该抛物线向上平移 2 个单位长度，分别交 x 轴于 A,两点,交轴于点 C，则平移后的解析式为=错误!未定义书签。-f（3,2)x2;(2)判断ABC 的形状,并说明理由；（3)在抛物线对称轴上是否存在一点，使得以 A，C,P 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由 解:(2)当 y时，错误!x2错误!未定义书签。x

40、20,解得 x14,x2=1,即 B(4,）,A(,0）.当 x=0时，y=2,即 C（0，2）AB1（4)=5，AB=25，C2(1-0）2(-2)25,BC2（-4-0)2（0）220,AC2+BC2=AB2,是直角三角形.（3）y=错误!未定义书签。x2错误!未定义书签。x+2 的对称轴是直线-错误!未定义书签。,设 P(错误!未定义书签。,n),P(1+错误!未定义书签。）n2错误!n2,P2错误!(2-n)2，AC21+22=5,当 APAC 时,AP=AC,f(25,4）+n2=5，方程无解；当 AP=CP 时,AP2CP,错误!未定义书签。+n2=错误!+（2n)2,解得 n0,

41、即1(-错误!，0).当 AC=CP 时 AC2CP2，f（9,4）+(2-n）25,解得 n1=2错误!,n2=2-错误!，P2(错误!，+错误!），(错误!,2错误!未定义书签。）.综上所述：使得以,C,P 为顶点的三角形是等腰三角形，点 P 的坐标(-错误!未定义书签。,0),(-错误!,2+错误!未定义书签。),（-错误!，2-错误!）.2(18临沂)如图,在平面直角坐标系中，ACB=9，OC2OB,AB=2,点 B 的坐标为(,0).抛物线-x+bx+经过 A,两点（1)求抛物线的解析式;(2）点 P 是直线 A上方抛物线上的一点，过点 P 作 P垂直轴于点 D,交线段 AB 于点

42、E，使E错误!DE。求点 P 的坐标；在直线上是否存在点 M，使AB为直角三角形？若存在,求出符合条件的所有点 M 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1)B(1,0），B=1.O=2OB2,C(2,0）.在tB中,tnABC，错误!=2AC6。(-2,).把 A(-2，6)和 B（1,0)代入=x2b+，得 错误!解得错误!抛物线的解析式为=x2-3x+4.(）A(2,)，B(1，0）,易得 AB 的解析式为 y=2x+2.设 P(x,x2-3x4），则(x,-22).错误!未定义书签。DE，x-3x4-（-2x+2）=错误!(-2+2),解得 x1(舍）或-1。（1,6）.在直线 P上,且

43、 P(-,6),设（1，y),AM（-1+2)2+(y-6）(y-6）2。BM2=(11）2y242.B2=(1+2）2+245。分三种情况:i)当MB=90时,有 AM2BM2=A,1+(y-6）4+y25，解得=错误!.(,3+错误!）或(-1,3-错误!）ii)当ABM90时,有 AB2+BM2AM2,45+4+y2=1+(6),解得=M(-1，-)ii)当BAM90时,有 AMA2B2，（y-6)244+y2，解得错误!未定义书签。.(-1,f(13,2)综上所述，点的坐标为(1,3+错误!未定义书签。）或（-,3-错误!未定义书签。）或(-1，1)或(-1,错误!未定义书签。）.3.

44、（018眉山)如图，已知抛物线 yax2+bx+c 的图象经过点 A(,3)，B(1,0）,其对称轴为直线 l:x=2，过点 A 作 Ax 轴交抛物线于点,AO的平分线交线段 AC 于点 E，点 P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为 m。(1)求抛物线的解析式；（2）若动点在直线E 下方的抛物线上，连接 PE,PO,当 m 为何值时,四边形 AOPE 面积最大,并求出其最大值；()如图 2,F 是抛物线的对称轴 l 上的一点,在抛物线上是否存在点 P,使POF 成为以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点 P 的坐标;若不存在，请说明理由 图 1 图 2 解：(

45、）设抛物线与 x 轴的另一个交点为 D,由对称性，得 D(3,0).设抛物线的解析式为a(x）（-3）.把(0，）代入，得 3=3a，a=.抛物线的解析式为 y=x4x3。（2）设 P(,m2-4m3)，OE 平分AOB,A=9,AOE=5。AOE 是等腰直角三角形 AE=O=3。E（3，)易得 OE 的解析式为.过作 Py 轴，交 O于点 G，G（,m)G=m-(m24m3）=m2+m-3 四边形 AOEAO+SPO错误!33错误!未定义书签。PGAE错误!未定义书签。+错误!3（-2m3)错误!未定义书签。+错误!=错误!未定义书签。（m错误!）2+758。-错误!未定义书签。，当 m错误

46、!未定义书签。时，S 有最大值是错误!。（3）当点 P 在对称轴左侧时,过点 P 作 MN轴,交轴于点 M,交于点,OF 是等腰直角三角形,且 OPPF，易得OMPPNF，ON P(m,m24m),则m2+4m3m，解得=错误!或错误!未定义书签。.P 的坐标为(错误!未定义书签。,错误!)或（错误!未定义书签。,错误!）.当在对称轴右侧时,过 P作 M轴于点,过 F作 FMM于点 M，同理得,NPPMF,PN=M.则-m24m-3=m-2,解得 x错误!或错误!未定义书签。;P的坐标为(错误!,错误!未定义书签。)或(错误!未定义书签。,错误!）综上所述,点 P 的坐标是:(错误!未定义书签

47、。,错误!未定义书签。）或（2，错误!未定义书签。)或(错误!未定义书签。，错误!）或（错误!，错误!未定义书签。）类型 5 探究特殊四边形存在性问题.（20自贡)如图,抛物线 y=x+bx3 过 A(1,0),B（-，)，直线 AD 交抛物线于点,点D 的横坐标为2,点 P（m,n)是线段 A上的动点.(1)求直线 AD 及抛物线的解析式；(2）过点 P 的直线垂直于 x 轴，交抛物线于点 Q,求线段 P的长度 l 与 m 的关系式,m 为何值时，Q 最长?(3）在平面内是否存在整点 R（横、纵坐标都为整数),使得 P,，D,R 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点 R 的坐标；若

48、不存在,说明理由.解：（1）把 A（1,0），(-3,0）代入抛物线解析式,得 错误!解得错误!未定义书签。抛物线的解析式为 yx2x-.当 x-2 时，y=3,即 D(-2,-3)设D 的解析式为 ykxb，将 A(1,0），D(2,-3）代入，得 错误!未定义书签。解得错误!直线 AD 的解析式为 y=x1。（2)设 P 点坐标为(m，m-1）,Q(m，2m),l=（-)-（m2-3)-(m+错误!)2+错误!未定义书签。.当 m-错误!未定义书签。时,l最大错误!,即 PQ 长度最长为错误!未定义书签。（3)由（2)可知，0P9.当 P为边时，DRPQ 且 DRP.R 是整点,D（2，-

49、3)，是正整数.PQ1 或。当 P=1 时,R1。此时点 R 的横坐标为-2,纵坐标为+2 或-1-4,R（-2,-2）或 R(2，-4).当Q=2 时,DR=。此时点的横坐标为,纵坐标为321 或3-=5 R（-，）或（2，).当 QR 为边时，QRDP,且 QRD。设点 R 的坐标为(n,m2m-3)，则 QR=(mn).又(m，m1),D(2,3),PD22（m2)2.(m2)2=（-)2,解得 n-2(不合题意，舍去）或 nm2.点 R 的坐标为(2m+2，m2+3m)是整点,-m1,当 m=-时,点 R 的坐标为（0,-)；当=0 时,点的坐标为(2，1)综上所述,存在满足 R 的点

50、,它的坐标为(-，)或（2,-4)或(-2,-1）或（-2，5）或(0，)或(2，1）2(201齐齐哈尔)综合与探究 如图 1 所示,直线 yx+与 x 轴交于点 A(4，）,与 y 轴交于点 C，抛物线 yx2+bxc 经过点 A,.（1)求抛物线的解析式;(2）点 E 在抛物线的对称轴上,求O的最小值;（3)如图 2 所示,M 是线段A 的上一个动点，过点垂直于 x 轴的直线与直线 AC 和抛物线分别交于点 P，N.若以，P，N 为顶点的三角形与APM 相似,则CPN 的面积为错误!未定义书签。或 4；若点 P 恰好是线段 MN 的中点，点 F 是直线 AC 上一个动点,在坐标平面内是否存