2021版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第7讲函数的图象教学案理北师大版24233.pdf

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1、高考总复习 1 第 7 讲 函数的图像 一、知识梳理 1利用描点法作函数的图象 其基本步骤是列表、描点、连线 首先：确定函数的定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线 2利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换 (2)对称变换 yf(x)关于x轴对称yf(x)yf(x)关于y轴对称yf(x)yf(x)关于原点对称yf(x)yax(a0 且a1)关于yx对称ylogax(x0)(3)翻折变换 yf(x)保留x轴及上方图象将x轴下方图象翻折上去y|f(x)|yf(x)保留y轴及右边

2、图象，并作其关于y轴对称的图象yf(|x|)(4)伸缩变换 高考总复习 2 yf(x)a1，横坐标缩短为原来的1a倍，纵坐标不变0a1，横坐标伸长为原来的1a倍，纵坐标不变 yf(ax)yf(x)a1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变0a1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变 yaf(x)常用结论 1函数图象平移变换的八字方针(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值 2函数图象对称的三个重要结论(1)函数yf(x)与yf(2ax)的图象关于直线xa对称(2)函数yf(x)与y2bf(2ax)的图象关于点(a，b)中心对称(3)若函数yf(x)的定义

3、域内任意自变量x满足：f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称 二、教材衍化 1函数f(x)x1x的图象关于()Ay轴对称 Bx轴对称 C原点对称 D直线yx对称 解析：选 C.函数f(x)的定义域为(，0)(0，)且f(x)f(x)，即函数f(x)为奇函数，故选 C.2 已知图中的图象是函数yf(x)的图象，则图中的图象对应的函数可能是()Ayf(|x|)By|f(x)|Cyf(|x|)Dyf(|x|)解析：选 C.因为题图中的图象是在题图的基础上，去掉函数yf(x)的图象在y高考总复习 3 轴右侧的部分，然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧得来的，所以题图中的图象对应的函数

4、可能是yf(|x|)故选 C.3.如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)log2(x1)的解集是_ 解析：在同一直角坐标系内作出yf(x)和ylog2(x1)的图象(如图)由图象知不等式的解集是(1，1 答案：(1，1 一、思考辨析 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)当x(0，)时，函数y|f(x)|与yf(|x|)的图象相同()(2)函数yaf(x)与yf(ax)(a0 且a1)的图象相同()(3)函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称()(4)若函数yf(x)满足f(1x)f(1x)，则函数f(x)的图象关于直线x1 对称()(5)将函数yf(x)的图象向右

5、平移 1 个单位得到函数yf(x1)的图象()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、易错纠偏 常见误区|(1)函数图象的平移、伸缩法则记混出错；(2)不注意函数的定义域出错 1设f(x)2x，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线yx对称，h(x)的图象由g(x)的图象向右平移 1 个单位得到，则h(x)_ 解析：与f(x)的图象关于直线yx对称的图象所对应的函数为g(x)log2x，再将其图象右移 1 个单位得到h(x)log2(x1)的图象 答案：log2(x1)2.高考总复习 4 已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)log2f(x)的定义域是_ 解析：当f(x)0 时，函数g

6、(x)log2f(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)0 时，x(2，8 答案：(2，8 作函数的图像(师生共研)作出下列函数的图像(1)yx22|x|1.(2)yx2x1.(3)y|log2(x1)|.【解】(1)先化简，再作图，yx22x1，x0，x22x1，x0，所以排除 C；因为f(1)sin 11cos 11，且 sin 1cos 1，所以f(1)1，所以排除 B.故选 D.(2)当x时，f(x)，故排除 D；易知f(x)在 R 上连续，故排除 B；且f(0)ln 2e10，故排除 C，故选 A.【答案】(1)D(2)A 角度二 知图选式 (1)已知函数f(x)的图像如图所

7、示，则f(x)的解析式可以是()Af(x)ln|x|x Bf(x)exx Cf(x)1x21 Df(x)x1x(2)(2020洛阳第一次统考)已知f(x)(xa)(xb)(ab)的大致图象如图所示，则函数g(x)axb的大致图像是()【解析】(1)由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除 B，C.若函数为f(x)x1x，则x时，f(x)，排除 D，故选 A.(2)由函数f(x)的大致图象可知 3a4，1b0，所以g(x)的图象是由yax(3a4)的图象向下平移b(0b1)个单位长度得到的，其大致图象应为选项 A 中的图像，故选 A.【答案】(1)A(2)A 高考总复习 7 角度三 由实际问

8、题的变化过程探究函数图象 广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图，是由一个半径为 2 的大圆和两个半径为 1 的半圆组成的“阴阳鱼太极图”，圆心分别为O，O1，O2，若一动点P从点A出发，按路线AOBCADB运动(其中A，O，O1，O2，B五点共线)，设P的运动路程为x，y|O1P|2，y与x的函数关系式为yf(x)，则yf(x)的大致图像为()【解析】根据题图中信息，可将x分为 4 个区间，即0，)，2)，2，4)，4，6，当x0，)时，函数值不变，yf(x)1；当x，2)时，设O2P与O2O1的夹角为，因为|O2P|1，|O2O1|2，x，所以y(O

9、2PO2O1)254cos 54cos x，所以yf(x)的图象是曲线，且递增；当x2，4)时，O1POPOO1，设OP与OO1的夹角为，|OP|2，|OO1|1，212x，所以y|O1P|2(OPOO1)254cos 54cos x2，函数yf(x)的图象是曲线，且递减【答案】A 识别函数图象的方法技巧 函数图象的识别可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复(5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象 高考总复习 8 提醒 由实

10、际情景探究函数图象，关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题 1(2020湖北七市(州)模拟)函数f(x)3x3xx4的大致图象为()解析：选 B.易知定义域为(，0)(0，)，关于原点对称f(x)3x3xx43x3xx4f(x)，则f(x)是奇函数，则图象关于原点对称，排除 A，f(1)313830，排除 D，当x时，3x，则f(x)，排除 C，故选 B.2.已知函数f(x)的图象如图所示，则 f(x)的解析式可能是()Af(x)x22ln|x|Bf(x)x2ln|x|Cf(x)|x|2ln|x|Df(x)|x|ln|x|解析：选 B.由函数图象可得，函数f(x)为

11、偶函数，且x0 时，函数f(x)的单调性为先减后增，最小值为正，极小值点小于 1，分别对选项中各个函数求导，并求其导函数等于0 的正根，可分别得 1，22，2，1，由此可得仅函数f(x)x2ln|x|符合条件故选 B.3如图，四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止 用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的个数为()高考总复习 9 A1 B2 C3 D4 解析：选 A.将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来 中应该是匀速的，故下面的图象不正确；中的变化率应

12、该是越来越慢的，正确；中的变化率是先快后慢再快，正确；中的变化率是先慢后快再慢，也正确，故只有是错误的 函数图像的应用(多维探究)角度一 研究函数的性质 (1)已知函数f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数，递增区间是(0，)Bf(x)是偶函数，递减区间是(，1)Cf(x)是奇函数，递减区间是(1，1)Df(x)是奇函数，递增区间是(，0)(2)对a，bR，记 maxa，ba，ab，b，ab，函数f(x)max|x1|，|x2|(xR)的最小值是_【解析】(1)将函数f(x)x|x|2x去掉绝对值得f(x)x22x，x0，x22x，x0，画出函数f(x)的图象，如图，观

13、察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(1，1)上是减少的 高考总复习 10(2)函数f(x)max|x1|，|x2|(xR)的图象如图所示，由图象可得，其最小值为32.【答案】(1)C(2)32 一般根据图像观察函数性质有以下几方面：一是观察函数图像是否连续以及最高点和最低点，确定定义域、值域；二是函数图像是否关于原点或y轴对称，确定函数是否具有奇偶性；三是根据图像上升与下降的情况，确定单调性 角度二 解不等式 若不等式(x1)20，且a1)在x(1，2)内恒成立，则实数a的取值范围为()A(1，2 B22，1 C(1，2)D(2，2)【解析】要使当x(1，

14、2)时，不等式(x1)2logax恒成立，只需函数y(x1)2在(1，2)上的图象在ylogax的图象的下方即可 当 0a1 时，如图，要使x(1，2)时，y(x1)2的图象在ylogax的图象的下方，只需(21)2loga2，即 loga21，解得 1a2，故实数a的取值范围是(1，2【答案】A 当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解 角度三 求参数的值或取值范围 设函数f(x)|xa|，g(x)x1，对于任意的xR，不等式f(x)g(x)恒成立，则实数a的取值范围是_【解析】高考

15、总复习 11 如图作出函数f(x)|xa|与g(x)x1 的图象，观察图象可知，当且仅当a1，即a1 时，不等式f(x)g(x)恒成立，因此a的取值范围是1，)【答案】1，)当参数的不等关系不易找出时，可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数，再根据题设条件和图象确定参数的取值范围 1设奇函数f(x)在(0，)上为增函数，且f(1)0，则不等式f（x）f（x）x2.若互不相等的实数a，b，c满足f(a)f(b)f(c)，则 2a2b2c的取值范围是()A(16，32)B(18，34)C(17，35)D(6，7)解析：选 B.画出函数f(x)的图象如图所示 不妨令abc，则 12a2b1，

16、则 2a2b2.结合图象可得 4c5，故 162c32，所以 182a2b2c34.故选 B.高考总复习 12 数形结合思想在函数问题中的应用 已知函数f(x)x22x1，x0，x22x1，x0，则对任意x1，x2R，若 0|x1|x2|，下列不等式成立的是()Af(x1)f(x2)0 Cf(x1)f(x2)0 Df(x1)f(x2)0【解析】函数f(x)的图像如图所示：且f(x)f(x)，从而函数f(x)是偶函数，且在0，)上是增函数 又 0|x1|f(x1)，即f(x1)f(x2)0.【答案】D 数形结合思想的主要方面是“以形助数”寻找解决问题的途径，在函数问题中数形结合思想的应用非常广泛

17、本例借助图形得出函数f(x)是偶函数，且在0，)上为增函数的性质，进而得出结论f(x1)f(x2)0.函数yln|x1|的图像与函数y2cos x(2x4)的图像所有交点的横坐标之和等于()A3 B6 C4 D2 解析：选 B.由图象变换的法则可知，yln x的图象关于y轴对称后和原来的一起构成yln|x|的图象，向右平移 1 个单位得到yln|x1|的图象；y2cos x的周期T2.如图所示，两图象都关于直线x1 对称，且有 3 对交点，每对交点关于直线x1 对称，高考总复习 13 故所有交点的横坐标之和为 236.基础题组练 1(2020山西吕梁 4 月模拟)函数f(x)|x|sin x的

18、图象大致是()解析：选 A.函数f(x)|x|sin x为奇函数，图象关于原点对称，可排除，B，C；又f()|sin 0，故排除 D.故选 A.2已知f(x)2x，1x0，x，0 x1，则下列函数的图象错误的是()解析：选 D.在坐标平面内画出函数yf(x)的图象，将函数yf(x)的图象向右平移 1个单位长度，得到函数yf(x1)的图象，因此 A 正确；作函数yf(x)的图象关于y轴的对称图形，得到yf(x)的图象，因此 B 正确；yf(x)在1，1上的值域是0，2，因此y|f(x)|的图象与yf(x)的图象重合，C 正确；yf(|x|)的定义域是1，1，且是偶函数，当 0 x1 时，yf(|

19、x|)x，这部分的图象不是一条线段，因此选项 D 不正确故选 D.3(2020湖南娄底二模)函数f(x)（exex）cos xx2的部分图象大致是()高考总复习 14 解析：选 A.f(x)的定义域(，0)(0，)，且f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数，排除 C 和 D，因为f()0，所以排除 B.故选 A.4.若函数f(x)(ax2bx)ex的图象如图所示，则实数a，b的值可能为()Aa1，b2 Ba1，b2 Ca1，b2 Da1，b2 解析：选 B.令f(x)0，则(ax2bx)ex0，解得x0 或xba，由图象可知，ba1，又当xba时，f(x)0，故a0，结合选项知a1，b2 满足

20、题意，故选 B.5.如图所示，在ABC中，B90，AB6 cm，BC8 cm，点P以 1 cm/s 的速度沿ABC的路径向C移动，点Q以 2 cm/s 的速度沿BCA的路径向A移动，当点Q到达A点时，P，Q两点同时停止移动记PCQ的面积关于移动时间t的函数为Sf(t)，则f(t)的图象大致为()高考总复习 15 解析：选 A.当 0t4 时，点P在AB上，点Q在BC上，此时PB6t，CQ82t，则Sf(t)12QCBP12(82t)(6t)t210t24；当 4t6 时，点P在AB上，点Q在CA上，此时APt，P到AC的距离为45t，CQ2t8，则Sf(t)12QC45t12(2t8)45t4

21、5(t24t)；当 6t9 时，点P在BC上，点Q在CA上，此时CP14t，QC2t8，则Sf(t)12QCCPsin ACB12(2t8)(14t)3535(t4)(14t)综上，函数f(t)对应的图象是三段抛物线，依据开口方向得图象是 A，故选 A.6.若函数f(x)axb，x1，ln（xa），x1的图象如图所示，则f(3)等于_ 解析：由图象可得a(1)b3，ln(1a)0，所以a2，b5，所以f(x)2x5，x1，ln（x2），x1，故f(3)2(3)51.答案：1 7定义在 R 上的奇函数f(x)，满足f120，且在(0，)上是减少的，则xf(x)0 的解集为_ 解析：因为函数f(x

22、)是奇函数，在(0，)上是减少的，且f120，所以f120，且在区间(，0)上是减少的，因为当x0，若12x0 时，f(x)0，此时xf(x)0，当x0，若 0 x12时，f(x)0，此时xf(x)0，综上xf(x)0 的解集为12，0 0，12.高考总复习 16 答案：12，0 0，12 8给定 mina，ba，ab，b，ba，已知函数f(x)minx，x24x44，若动直线ym与函数yf(x)的图象有 3 个交点，则实数m的取值范围为_ 解析：函数f(x)minx，x24x44 的图象如图所示，由于直线ym与函数yf(x)的图象有 3 个交点，数形结合可得m的取值范围为(4，5)答案：(4

23、，5)9已知yf(x)是定义在 R 上的偶函数，当x0 时，f(x)x22x.(1)求当x0 时，f(x)的解析式；(2)作出函数f(x)的图象，并指出其单调区间；(3)求f(x)在2，5上的最小值，最大值 解：(1)设x0，则x0，因为x0 时，f(x)x22x.所以f(x)(x)22(x)x22x.因为yf(x)是 R 上的偶函数，所以f(x)f(x)x22x.(2)函数f(x)的图象如图所示：高考总复习 17 由图可得：函数f(x)的增区间为(1，0)和(1，)；减区间为(，1)和(0，1)(3)由(2)中函数图象可得：在2，5上，当x1 时，取最小值1，当x5 时，取最大值 15.10

24、已知函数f(x)x|mx|(xR)，且f(4)0.(1)求实数m的值；(2)作出函数f(x)的图象；(3)根据图象指出f(x)的减区间；(4)若方程f(x)a只有一个实数根，求a的取值范围 解：(1)因为f(4)0，所以 4|m4|0，即m4.(2)f(x)x|x4|x（x4）（x2）24，x4，x（x4）（x2）24，x4 或a0在1，3上的解集为()A(1，3)B(1，1)C(1，0)(1，3)D(1，0)(0，1)解析：选 C.f(x)的图象如图所示 当x(1，0)时，由xf(x)0 得x(1，0)；当x(0，1)时，由xf(x)0 得x.当x(1，3)时，由xf(x)0 得x(1，3)

25、高考总复习 18 故x(1，0)(1，3)2(2020山西四校联考)已知函数f(x)|x21|，若 0ab且f(a)f(b)，则b的取值范围是()A(0，)B(1，)C(1，2)D(1，2)解析：选 C.作出函数f(x)|x21|在区间(0，)上的图象如图所示，作出直线y1，交f(x)的图象于点B，由x211 可得xB 2，结合函数图象可得b的取值范围是(1，2)3(2020昆明检测)若平面直角坐标系内A、B两点满足：(1)点A、B都在f(x)图象上；(2)点A、B关于原点对称，则称点对(A，B)是函数f(x)的一个“和谐点对”，已知函数f(x)x22x（x0），2ex（x0），则f(x)的“

26、和谐点对”有()A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 解析：选 B.作出函数yx22x(x0)的图象关于原点对称的图象，看它与函数y2ex(x0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为 2，即f(x)的“和谐点对”有 2个选 B.4 直线yk(x3)5(k0)与曲线y5x17x3的两个交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2y1y2_ 解析：因为y5x17x32x35，其图象关于点(3，5)对称又直线yk(x3)5过点(3，5)，如图所示所以A，B关于点(3，5)对称，所以x1x22(3)6，y1y22510.高考总复习 19 所以x1x2y1y24.答案：4 5已

27、知函数f(x)的图象与函数h(x)x1x2 的图象关于点A(0，1)对称(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)f(x)ax，且g(x)在区间(0，2上为减函数，求实数a的取值范围 解：(1)设f(x)图象上任一点P(x，y)(x0)，则点P关于(0，1)点的对称点P(x，2y)在h(x)的图象上，即 2yx1x2，即yf(x)x1x(x0)(2)g(x)f(x)axxa1x，g(x)1a1x2.因为g(x)在(0，2上为减函数，所以 1a1x20 在(0，2上恒成立，即a1x2在(0，2上恒成立，所以a14，即a3，故实数a的取值范围是3，)6若关于x的不等式 4ax10，且a1)对于任意的x2 恒成立，求a的取值范围 解：不等式 4ax13x4 等价于ax11 时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(1)所示，由图知不满足条件；当0a1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(2)所示，当x2时，f(2)g(2)，即a213421，解得a12，所以a的取值范围是0，12.高考总复习 20