【中小学资料】山东省诸城市桃林镇2017届中考数学压轴题专项汇编专题15角含半角模型24317.pdf

《【中小学资料】山东省诸城市桃林镇2017届中考数学压轴题专项汇编专题15角含半角模型24317.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【中小学资料】山东省诸城市桃林镇2017届中考数学压轴题专项汇编专题15角含半角模型24317.pdf（9页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、中小学最新教育资料 中小学最新教育资料 专题 15 角含半角模型 破题策略 1 等腰直角三角形角含半角 如图，在ABC中，ABAC，BAC90，点D，E在BC上且DAE45（1）BAEADECDA （2）BD2CE2DE2 45EABCD 证明（1）易得ADCBBADEAB，所以BAEADECDA （2）方法一（旋转法）：如图 1，将ABD绕点A逆时针旋转 90得到ACF，连结EF 45FEABCD 则EAFEAD45，AFAD，所以ADEFAE（SAS）所以DE EF 而CFBD，FCEFCAACE90，所以BD2 CE2CF2CE2EF2DE2 方法二（翻折法）：如图 2，作点B 关于AD

2、 的对称点F，连结AF，DF，EF 45FEABCD 因为BADEACDAFEAF，又因为BADDAF，则FAECAE，AFABAC，所以FAECAE（SAS）所以EF EC 中小学最新教育资料 中小学最新教育资料 而DFBD，DFEAFD AFE90，所以BD2 EC2 FD2 EF2 DE2 【拓展】如图，在 ABC 中，ABAC，BAC90，点D 在BC 上，点E 在BC 的延长线上，且DAE45，则BD2CE2DE2 EABCD 可以通过旋转、翻折的方法来证明，如图：EFABCD FEABCD 将等腰直角三角形变成任意的等腰三角形：如图，在ABC中，ABAC，点D，E在BC上，且DAE

3、12BAC，则以BD，DE，EC为三边长的三角形有一个内角度数为 180BAC EBCAD 可以通过旋转、翻折的方法将BD，DE，EC转移到一个三角形中，如图：FEBCAD FEBCAD 中小学最新教育资料 中小学最新教育资料 2 正方形角含半角 如图 1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，EAF45，连结EF，则：45图1FABCDE 图2GFEABDC 45图3HFEABDC（1）EFBEDF;（2）如图 2，过点A作AGEF于点G，则AGAD;（3）如图 3，连结BD交AE于点H，连结FH 则FHAE （1）如图 4，将ABE绕点A逆时针旋转 90得到ADI证明 图4IF

4、EABDC 则IAFEAF45，AIAE，所以AEFAIF（SAS），所以EFIFDIDFBEDF （2）因为AEFAIF，AGEF，ADIF，所以AGAD （3）由HAFHDF45可得A，D，F，H 四点共圆，从而AHF180ADF90，即FHAE 【拓展】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC 的延长线上，EAF45，连结EF，则EFDFBE FABCDE 可以通过旋转的方法来证明.如图:中小学最新教育资料 中小学最新教育资料 EBCDAFG 如图，在一组邻边相等、对角互补的四边形ABCD 中，AB=AD，BAD+C=180，点 E，F 分别在 BC、CD 上，EAF=12B

5、AD，连结 EF，则 EF=BE+DF.ABFDCE 可以通过旋转的方法来证明.如图:ABFDCEG 例题讲解 例1 如图 1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，EAF45.（1）试判断BE、EF、FD之间的数量关系.（2）如图 2，在四边形ABCD中，BAD90，ABADBD180，点E、F分别在BC、CD上，则当EAF 与BAD 满足 关系时，仍 有EFBEFD.（3）如图 3 在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD.已知ABAD 80m，B60，ADC120，BAD150，道路BC，CD上分别有景点 E，F，且AEADDF40（31）m 现要在E、F之间修一条笔直

6、的道路，求 这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：21.41，31.73）中小学最新教育资料 中小学最新教育资料 图1FADCBE图2ABDCEF图3FCAEBD 解：（1）由“正方形内含半角模型”可得EFBEFD（2）BAD2 EAF，理由如下：如图 4，延长CD至点G，使得DGBE连结AG.易证ABEADG（SAS）.所以AEAG，即EFBEDFDGDFGF.从而证得AEFAGF（SSS）所以EAFGAF12EAG12BAD.图4GBADCEF 图5HFCGABED（3）如图 5，将ABE绕点A逆时针旋转 1 50至ADG连结AF 由题意可得BAE60 所以ABE 和ADG均为等腰直角三

7、角形.过点A作 AHDG于点H则 DH12AD40m，AH32 AD403 m.而DF40（31）m.所以EAFGAF45.可得EAFGAF（SAS）所以EF GF80m+40（3l）m 109.2m.例 2 如图，正方形ABCD的边长为a，BM、DN分别平分正方形的两个外角，且满足MA N45连结MC、NC、MN （1）与ABM相似的三角形是 ，BM DN （用含有a的代数式表示）；（2）求MCN的度数；中小学最新教育资料 中小学最新教育资料 （3）请你猜想线段BM、DN和MN之间的等量关系，并证明你的结论.NADCBM 解：（1）NDA，2a.（2）由（1）可得BMABADND，所以BMD

8、CBCDN 易证CBMNDC45，所以BCMDNC 则BCMDNC，所以 MCN=360一BCD一BCM一DCN 270（DNC+DCN）270（180DNC）135（3）222BMDNMN，证明如下：如图，将ADN绕点A顺时针旋转 90，得到ABE，连结EM.易得AEAN.MAEMAN45，EBM90，所以A MEAMN.（SAS）.则MEMN 在 RtBME中，222BMBEEM 所以222BMDNEM.ENBCDAM 倒 3 如图，在四边形ABCD中，ADBC，BCD90，ABBCAD，DAC45，E为CD上一点，且BAE45.若CD4，求ABE的面积.中小学最新教育资料 中小学最新教育

9、资料 图1BADCE 解：如图 1 过点A作CB的垂线，交CB的延长线于点F.由DAC=45，ADC90，可得ADCD.所以四边形ADCF为正方形.从而AF FC4 令BCm，则AB4 m，BF4 m 在 RtAFB中，有 16（4 m）2一（4 m）2 所以AB5，BF3 如图 2 将ADE绕点A逆时针旋转 90至AFG.易证AGHAEB 令DEn，则CE4 n，BEBG3 n 在 RtBCE中，有 1+（4 n）2（3 n）2，解得n47.所以BG257.从而15027ABEABGSSAF BG.图2FBADCEG 进阶训练 1.如图，等边ABC的边长为 1，D是ABC外一点且BDC120

10、，BDCD，MDN 60，求AMN的周长 中小学最新教育资料 中小学最新教育资料 NDABCM AMN的周长是 2【提示】如图，延长AC至点E，使得CE BM，连结DE.先证BMDCED，再证MDNEDN即可.ENDACBM 2 如图，在正方形ABCD中，连结BD，E、F是边BC，CD上的点，CEF的周长是正方形ABCD周长的一半，AE、AF分别与BD交于M、N，试判断线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明 NMCDFEBA 解：BM2DN2MN2【提示】由CEF周长是正方形ABCD周长的一半，想到“正方形角含半角”，从而旋转构造辅助线解决问题（如图 1），证AEFAGF，得MAN12BA

11、D4，然后，再由“等腰直角三角形含半角”（如图 2）即可证得 中小学最新教育资料 中小学最新教育资料 HGG图2图1ABEFDCMNNMCDFEBA 3 如图，在ABC中，ACB90，点D在边AB上，DEBC于点E，且DEBC，点F在边AC上，连结BF交DE于点G，若DBF45，DG275，BE3，求CF的长 GFEDCBA 解：CF125【提示】如图，将DE向左平移至BH，连结HD并延长交AC于点I，则四边形HBCI为正方形 将BHD绕点B顺时针旋转 90至BCJ，则点J在AC的延长线上 连结DF，由“正方形角含半角模型”可得DFDHCF，DFBJFBDGF，所以DFDG，从而求得CF的长 JIHABCDEFG