【中小学资料】山东省诸城市桃林镇2017届中考数学压轴题专项汇编专题26相似三角形的存在性24238.pdf

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1、中小学最新教育资料 中小学最新教育资料 专题 26 相似三角形的存在性 破解策略 探究两个三角形相似时，一般情况下首先寻找一组对应角相等，然后根据对应边成比例分两种情况列方程掌握一些相似的基本模型有助于快速解决问题，相似三角形的基本模型有：1“A”字形 已知：在ABC中点D在AB上，点E在AC上DEBC 结论：ABCADE DECBA 2 反“A”字形（1）已知：在ABC中，点D在AB上，点E在AC上，AEDABC 结论：ABCAED ABCDE（2）已知：在ABC中，点D在AB上，ACDABC 结论：ABCA（：D ABCD 3“8”字形 已知：在ABC中，点D在CA的延长线上，点E在BA的

2、延长线上，DEBC 结论：ABCAED ABCDE 4 反“8”字形 已知：在ABC中，点D在CA的延长线上，点E在BA的延长线上，ADEABC 结论：ABCADE 中小学最新教育资料 中小学最新教育资料 ABCDE 5 双垂直 已知：ABC中，BAC90，AD为斜边BC上的高 结论：ABCDBA，ABCDAC，ABDCAD DBCA 6 一线三等角（1）已知 RtABC和 RtCED，B，C，E三点共线，90BEACD 结论：ABCCED DBEAC（2）已知ABC和CDE，B，C，E三点共线，90BEACD 结论：ABCCED DBECA（3）已知ABC和CED，B，C，E三点共线，90B

3、EACD 结论：ABCCED DBECA 例题讲解 例 1 如图，已知A（1，0），B（4，0），C（2，6）三点，G是线段AC上的动点（不与点A，中小学最新教育资料 中小学最新教育资料 C重合）若ABG与ABC相似，求点G的坐标 xyCBAOG 解：设直线AC的表达式为ysxt，把A，C两点坐标代入可得062stst，解得22st 所以直线AC的表达式为22yx 设点G的坐标为（k，2k2），因为点G与点C不重合，所以ABG与ABC相似只有AGBABC一种情况 所以AGABABAC 而AB5，22(2 1)(6)3 5AC ，22(1)(22)51AGkkk，所以51553 5k，即513k

4、，解得123k，283k （舍）所以点G的坐标210(,)33 例 2 如图，抛物线2(2)(4)8yxx与x轴交于点A，B（点A在B的左侧），与y轴交于点C，CDx轴交抛物线于点 D P是抛物线上一点，问：是否存在点P，使以P，A，B为顶点的三角形与ABD相似（PAB与ABD不重合）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由 xyDCBAO 解：存在 因为点A（2，0），B（4，0），C（0，2），过点D（2，2）作DEAB于点E，由勾中小学最新教育资料 中小学最新教育资料 股定理得3 2,6ADBD 如图，当1PABABD时，1PBABABBD，所以16 6PB 过点1P作11PMAB于

5、点1M，所以111PMDEPBBD，解得116 2PM 11BMBEPBBD=，112BM，点1P的坐标为（8，6 2），因为此时点1P不在抛物线上，所以此种情况不存在 当2P ABBDA时，2P BABABAD=，所以26 2P B=过点2P作22PMAB于点2M，所以222PMDEP BAD=，解得222 2P M=因为22BMAEP BAD=，所以28BM，所以点2P的坐标为（4，2 2），将x4 代入抛物线的表达式得2 2y=，所以点2P在抛物线上 由抛物线的对称性可知：点2P与点3P关于直线x1 对称，所以3P的坐标为（6，2 2）当点4P位于点C处时，两个三角形全等，所以点4P的坐

6、标为（0，2-）综上所得，点P的坐标为（4，2 2），（6，2 2）或（0，2-）时，以P，A，B为顶点的三角形与ABD相似 xyM2P2M3P3P1M1DC(P4)BAO 例 3 如图，已知直线3yx 与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线2yxbxc 经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以 1 个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以2个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，中小学最新教育资料 中小学最新教育资料 M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似

7、?若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由 xyQMBAOP 解：3yx 与x轴交于点A，与y轴交于点B，A点坐标为（3，0），B点坐标为（0，3），将A（3，0），B（0，3）代入2yxbxc，得9303bcc，解得23bc，所以抛物线的解析式为2223(1)4yxxx 点M的坐标为（1，4），22112MB 所以222BMABAM，90MBA 如图，设运动时间为t秒，则OPt，(3)2BQt 当BOPQBM时，MBBQOPOB，即2(3)23tt，整理得：2330tt，而234 1 30 ，所以此种情况不存在；当BOPMBQ时，MBBQOBOP，即 2(3)23tt，解得94t 所以当9

8、4t 时，以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似 xyQMBAOP 进阶训练 1 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线234yxbxc 的图象交x轴于4,0A，中小学最新教育资料 中小学最新教育资料 1,0B 两点，交y轴于点 C （1）求抛物线的表达式和对称轴；（2）若P是线段OA上的一点（不与点O，A重合），Q是AC上一点，且PQPA，在x轴上是否存在点D，使得ACD与APQ相似？如果存在，请求出点D的坐标；如不存在，请说明理由 xyBACOQP 解：（1）抛物线的表达式为239344yxx，对称轴为32x （2）存在点D的坐标为4,0，7,08 提示（2）由题意知A

9、PQ为等腰三角形，如果ACD与APQ相似，那么ACD也是等腰三角形 如图 1，当AD为底边时，D，A关于y轴对称，此时点D的坐标为4,0；如图 2 当AC为底边时，58DAAC，所以58DA，此时点D的坐标为7,08 xy图1ODCAxy图2 OCDA 2 如图，设抛物线22yaxbx与x轴交于不同的点1,0A，,0B m，与y轴交于点C，已知ACB90（1）求m的值和抛物线的表达式；（2）已知点1,Dn在抛物线上，过点A的直线1yx交抛物线与另一点E若点P在x轴上，是否存在这样的点P，使得以点P，B，D为顶点的三角形与AEB相似？中小学最新教育资料 中小学最新教育资料 xyEACBOD 解：

10、2 （1）4m，抛物线的表达式为213222yxx；（2）存在点P的坐标为13,07或22,05【提示】（1）由已知条件可得OA1，OC2，易证AOCCOB，从而mOB4，再将A，B两点的坐标代入表达式即可求得（2）易求得点1,3D，6,7E，分别过点D，E作x轴的垂线，垂足分别为H，G易证EAGDBH 所以PBD和AEB相似存在两种情况：如图 1，当ABEBPD时，有ABBPAEBD，得点P的坐标为13,07 如图 2，当ABEBDP时，有ABBDAEBP，得点P的坐标为22,05 xy图1EACBODHGPxy图2EACBODP 3 如图，抛物线223yxx与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，直线l经过A，C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧部分上运动，直线m经过B，Q两点，与y轴交于点N，与直线l交于点G问：是否存在直线m，使得直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似（不包括全等）？若存在，求出直线m的表达式，若不存在，请说明理由 中小学最新教育资料 中小学最新教育资料 xymlGBNCAOQ 解存在，直线m的表达式为113yx【提示】根据AGBGNCGCN所以当AGBNGC时，只能AGBCGB90，所以AOCNOB，所以直线m的表达式为113yx